分层随机抽样高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

9.1.2分层随机抽样教学目标1．理解分层抽样的基本思想和适用情形．2．掌握分层抽样的实施步骤．3．了解两种抽样方法的区别和联系．1、简单随机抽样的概念:2、简单随机抽样的特点:3、简单随机抽样的常用方法：③机会均等抽样.①总体个数有限；②逐个进行抽取；①抽签法；②随机数表法.设一个总体含有有限个个体，并记其个体数为N．如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的机会相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.复习回顾抽样调查最核心的问题是样本的代表性，简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本，例如,在对树人中学高一年级学生身高的调查中,可能出现样本中50个个体大部分来自高个子或矮个子的情形,这种“极端”样本的平均数会大幅度地偏离总体平均数,从而使得估计出现较大的误差.能否利用总体中的一些额外信息对抽样方法进行改进呢？新知探究

问题3在树人中学高一年级的712名学生中，男生有326名，女生有386名.能否利用这个辅助信息改进简单随机抽样方法，减少“极端”样本的出现，从而提高对整个年级平均身高的估计效果呢？

我们知道，影响身高的因素有很多，性别是一个主要因素.高中男生的身高普遍高于女生的身高，而相同性别的身高差异相对较小.

那我们就可以利用性别和身高的这种关系,把高一年级学生分成男生和女生两个身高有明显差异的群体，对两个群体分别进行简单随机抽样,然后汇总作为总体的一个样本.由于在男生和女生两个群体中都抽取了相应的个体，这样就能有效地避免“极端”样本.在树人中学高一年级的712名学生中，男生有326名、女生有386名。样本量在男生、女生中应如何分配？思考

对男生、女生分别进行简单随机抽样，样本量在男生、女生中应分别分配？显然，为了使样本的结构与总体的分布相近，人数多的群体应多抽一些，人数少的应少抽一些.

这样无论是男生还是女生，每个学生抽到的概率都相等.当总样本量为50时，我们就可以计算出从男生、女生分别应抽取的人数为因此，按男生、女生在全体学生中所占的比例进行分配是比较合理的方式.即

一般地，按一个或多个变量把总体划分为若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.

在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.分层随机抽样：

分层抽样的步骤：(1)将总体按一定的标准分层；(2)计算抽样比；(3)按抽样比确定各层应抽取的样本容量；(4)在每一层进行简单随机抽样;(5)综合每层抽取的样本，组成总样本.注意：当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层随机抽样的方法.例1(1)某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人进行座谈访问，用下列哪种方法最合适(

)A.抽签法 B.随机数法C.简单随机抽样法 D.分层随机抽样法(2)分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体等可能抽样，要求(

)A.每层等可能抽样B.每层可以不等可能抽样C.所有层按同一抽样比等可能抽样D.所有层抽取的个体数量相同DC变式：1.下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是(

)A.从10名同学中抽取3人参加座谈会B.某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本C.从1000名工人中，抽取100人调查上班途中所用的时间D.从生产流水线上，抽取样本检查产品质量2.某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层随机抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为()A.15,5,25B.15,15,15C.10,5,30D.15,10,20BD

例2

某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人．教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程．分层随机抽样的步骤：

变式

某一地区共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为3:2:5:2:3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问：应采取什么样的方法？并写出具体过程．

解：因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层随机抽样的方法．具体过程如下：第一步，将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层．第二步，按照样本量的比例求得各乡镇应抽取的人数分别为60，40，100，40，60.第三步，利用简单随机抽样的方法抽取各乡镇应抽取的样本．第四步，将300人合到一起，即得到一个样本．我们按照上述方法抽取了一个容量为50的样本，其观测数据(单位：cm)如下：男生173.0174.0166.0172.0170.0165.0165.0168.0164.0173.0172.0173.0175.0168.0170.0172.0176.0175.0168.0173.0167.0170.0175.0女生163.0164.0161.0157.0162.0165.0158.0155.0164.0162.5154.0154.0164.0149.0159.0161.0170.0171.0155.0148.0172.0162.5158.0155.5157.0163.0172.0

通过计算，得出男生和女生身高的样本平均数分别为170.6，160.6.根据男生、女生身高的样本平均数以及它们各自的人数，可以估计总体平均数为所以树人中学高一年级学生的平均身高大约在165.2cm左右.思考

在分层随机抽样中，我们能否直接用样本平均数估计总体平均数？

在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n.

例3(1)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁4个社区做分层随机抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁4个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这4个社区驾驶员的总人数N为(

)A．101 B．808C．1212 D．2012(2)将一个总体分为A,B,C3层，其个体数之比为5:3:2.若用分层随机抽样的方法抽取一个容量为100的样本，则应从C中抽取________个个体．(3)分层随机抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为______．B20620.5

变式

将一个总体分为A,B,C3层，其个体数之比为5:3:2.若3层的样本平均数分别为15，30，20，则样本平均数为________．规律方法总结：(1)进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的2个关系：②总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．(2)样本的平均数和各层的样本平均数的关系为

练习－－－－－－－－－－教材184页证明：

解：这种说法有道理.因为一个好的抽样方法，一般随着样本量的增加，抽样调查结果会越来越接近于普查的结果.因此，只要根据误差控制范围的要求取相应的样本量进行调查，就可以节省人力、物力和财力.

练习－－－－－－－－－－教材184页2.有人说:“如果抽样方法设计得好，用样本进行视力调查与对24300名学生进行视力普查的结果差不多，而且对于想要掌握学生视力状况的教育部门来说，节省了人力、物力和财力，抽样调查更可取.”你认为这种说法有道理吗?为什么?3.高二年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2cm和160.8cm.(1)如果张华在各层中按比例分配样本，总样本量为100，那么在男生、女生中分别抽取了多少名?在这种情况下，请估计高二年级全体学生的平均身高.(2)如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况下，如何估计高二年级全体学生的平均身高更合理?

练习－－－－－－－－－－教材184页

探究

与考察简单随机抽样估计效果类似,小明也想通过多次抽样考察一下分层随机抽样的估计效果.他用比例分配的分层随机抽样,从高一年级的学生中抽取了10个样本量为50的样本,计算出样本平均数如下表所示.与上一节“探究”中相同样本量的简单随机抽样的结果比较，小明有了一个重要的发现.你是否也有所发现？

作出分层随机抽样的样本平均数分布图，并与简单随机抽样的平均数的分布图对比，如右图所示，其中红线表示整个年级学生身高的平均数.

从试验结果看，分层随机抽样的样本平均数围绕总体平均数波动，与简单随机抽样的结果比较，分层抽样并没有明显优于简单随机抽样.

但相对而言，分层随机抽样的样本平均数波动幅度更均匀，简单随机抽样中出现了(第2个)偏离总体平均数的幅度较大的样本平均数，即出现了比较“极端”的样本，而分层随机抽样没有出现.

实际上，在个体之间差异较大的情形下，只要选取的分层变量合适，使得各层间差异明显、层内差异不大，分层随机抽样的效果一般会好于简单随机抽样，也好于很多其他抽样方法.

分层随机抽样的组织实施也比简单随机抽样方便，而且除了能得到总体的估计外