平面与平面垂直课件（2）-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.3平面与平面垂直（2）

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.

这个定理说明，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直.4.平面与平面垂直的判定定理线面垂直

面面垂直图形语言：符号语言：βaAα1.下列命题正确的是A.若平面α内的一条直线a垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥βB.若平面α⊥β，则α内的直线垂直于平面βC.若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βD.若直线a与平面α内的无数条直线都垂直，则不能说一定有a⊥α√2.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法中正确的是A.若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB.若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥βC.若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βD.若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β√∵m∥α，m∥n，∴n∥α或n⊂α，又n⊥β，∴α⊥β.【练习】(1)在四面体A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能在图中发现哪些平面互相垂直，为什么？由AB⊥平面BCD可知：平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD．易证：CD⊥平面ABC，故：平面ACD⊥平面ABC．四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖臑”；将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”；底面是直角形的直三棱柱称之为“堑堵”．堑堵阳马鳖臑两个堑堵组成一个长方体一个阳马和一个鳖臑组成一个堑堵两个鳖臑组成一个阳马问题4如图，已知平面α⊥平面β，

α∩β=a，则β内异于a的直线b与a是什么位置关系？相应地，b与α是什么位置关系？因为b与a在同一平面内，故可能平行，也可能相交b//a→b//αb与a相交

→b与α相交问题5教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直,在黑板上任意画一条直线与地面垂直吗?怎样画才能保证所画直线与地面垂直?两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：5.平面与平面垂直的性质定理面面垂直

线面垂直图形语言：例3

如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAB．

PABC证明：过点A作AE⊥PB，垂足为E．∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，∴AE⊥平面PBC．∵BC平面PBC，∴AE⊥BC．又∵PA⊥平面ABC，BC

平面ABC，∴PA⊥BC．又PA∩AE＝A，∴BC⊥平面PAB．4.如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝_____.∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∠PAC＝90°，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直判定性质判定定义例1

如图所示，已知三棱锥A－BCD的各棱长均为2，求二面角A－CD－B的平面角的余弦值.如图，取CD的中点M，连接AM，BM，则AM⊥CD，BM⊥CD.由二面角的定义可知∠AMB为二面角A－CD－B的平面角.设点H是△BCD的中心，连接AH，则AH⊥平面BCD，且点H在线段BM上.11.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于√如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，则∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角，跟踪训练1如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小.由已知PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC.又∵BC