古典概型课件 2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第十章

概

率10.1随机事件与概率

10.1.3

古典概型一二三学习目标结合实际例子，理解古典概型能够理解古典概型的概率公式能计算古典概型中简单随机事件的概率学习目标复习回顾事件的关系及运算事件的关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生A⊆B并事件(和事件)A与B至少一个发生A∪B或A+B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B=

互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B=

,A∪B=Ω新课导入

研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小.对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率(probability)，事件A的概率用P(A)表示.

我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计.但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值.能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢?新知探究问题1

在10.1.1节,我们讨论过以下试验：[试验1]彩票摇号[试验2]抛掷一枚均匀硬币[试验3]掷一枚质地均匀骰子

观察它们的样本点及样本空间，它们的共同特征有哪些?Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}Ω＝{正面朝上，反面朝上}.Ω＝{1,2,3,4,5,6}.共同特征：（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个;

（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等.

我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型(classicalmodelsofprobability)，简称古典概型.同时新知探究（单选题）下列试验中，属于古典概型的是（

）A．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点B．某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环C．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲D．一只使用中的灯泡寿命长短不符合等可能性不符合有限性不符合有限性和等可能性C符合有限性和等可能性题后小结：判断一个试验是否为古典概型，在于检验这个试验是否同时具有有限性和等可能性，缺一不可.新知探究问题2

考虑下面两个随机试验,如何度量事件A和事件B发生的可能性大小?(1)一个班级中有18名男生、22名女生.采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A=“抽到男生”；(2)抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B=“恰好一次正面朝上”.这两个试验是古典概型吗？抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的比例大小.因此，可以用男生数与班级学生数的比值来度量.样本空间中有40个样本点事件A包含18个样本点对于问题(1)：

从40名学生中选1名学生，即样本点是有限个；

随机选取，即选到每个学生的可能性都相等；

故这是一个古典概型。新知探究对于问题(2)，我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则试验的样本空间问题2

考虑下面两个随机试验,如何度量事件A和事件B发生的可能性大小?(1)一个班级中有18名男生、22名女生.采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A=“抽到男生”；(2)抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B=“恰好一次正面朝上”.共有8个样本点，且每个样本点是等可能发生的，这是一个古典概型。

事件B发生的可能性大小，取决于这个事件包含的样本点在样本空间包含的样本点中所占的比例大小B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}所以事件B发生的可能性大小为Ω={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)},概念生成古典概型的概率计算公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率其中，n(A):事件A包含的样本点个数.

n(Ω):

样本空间Ω包含的样本点个数.典例解析例7

单选题是标准化考试的常用题型，一般是从A、B、C、D四个选项中选择一个正确答案。若考生掌握了考察的内容，就能选择唯一正确的答案。假设考生不会做，他随机的选择一个答案，问他答对的概率是多少？解:试验有选A、选B、选C、选D共4种可能结果试验的样本空间表示为Ω={A，B，C，D}，则n(Ω)=4考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，这是一个古典概型．设事件M=“选中正确答案”，因为单选题的正确答案是唯一的，则n(M)=1所以，考生随机选择一个答案，答对的概率新知探究问题3在标准化的考试中也有多选题，多选题是从A、B、C、D四个选项中选出所有正确答案（四个选项中至少有两个选项是正确的），你认为单选题和多选题哪种更难选对？为什么？所有可能的结果：①若选2个项，则有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种②若选3个项，则有ABC，ABD，ACD，BCD，共4种③若选4个项，则有ABCD，1种正确答案的所有可能结果有6＋4＋1＝11种，从这15种答案中任选一种的可能性只有1/11，因此更难猜对。链接1：2020新高考数学试题增加了多项选择题,要求为:“在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.”链接2：2024最新高考数学试题的多项选择题,要求为:“在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.”例

抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.典例解析(1)写出此试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；解:(1)抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，I号骰子的每一个结果都可以与号骰子的任意一个结果配对,组成掷两枚骰子试验的一个结果.用m表示Ⅰ号骰子出现的点数，用n表示Ⅱ号骰子出现的点数；则用(m,n)表示该试验的一个样本点，则样本空间：Ω={(m，n)|m，n∈{1,2,3,4,5,6}}共有36个样本点，由于骰子质地均匀，所有各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型.m\n（该试验的所有样本点用下表所示）列表法一般适用于分两步完成的结果的列举。例

抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.典例解析(2)求下列事件的概率：A=“两个点数之和是5”；

B=“两个点数相等”；

C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”m\n解：(2)∵A={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}，∴n(A)=4.m\n例

抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.典例解析(2)求下列事件的概率：A=“两个点数之和是5”；

B=“两个点数相等”；

C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”∵B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}，∴n(B)=6.∵C={(2,1),(3,2),(3,1),(4,3),(4,2),(4,1),(5,4),(5,3),(5,2),(5,1),(6,5),(6,4),(6,3),(6,2),(6,1)}，∴n(C)=15.例

抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.典例解析(2)求下列事件的概率：A=“两个点数之和是5”；

B=“两个点数相等”；

C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”m\n这时，所有可能的结果将是：新知探究问题4

在上例中，为什么要把两枚骰子标上记号？如果不给两枚骰子标记号，会出现什么情况?你能解释其中的原因吗?分析：如果不标上记号，类似于(1,2)和(2,1)的结果将没有区别。m\n

共有21种结果，和是5的结果有2个,它们是(1,4)和(2,3)，则A={(1,4),(2,3)}，∴n(A)=2.追问：同一事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢？36个结果都是等可能的；而合并为21个可能结果时，(1,1)和(1,2)发生的可能性大小不等，这不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式计算概率.（1）用适当的符号（字母、数字、数组等）表示试验的可能结果或样本空间（借助树状图或列表，不重不漏）；（2）根据实际问题情境判断样本点的等可能性；关键词：质地均匀、随机选择（3）计算样本点总个数n(Ω)及事件A包含的样本点个数n(A)，

求出事件A的概率P(A).求解古典概型问题的一般思路：归纳小结例

袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率:(1)A=“第一次摸到红球”；(2)B=“第二次摸到红球”；(3)AB=“两次都摸到红球”.典例解析解：将2个红球编号为1,2，三个黄球编号为3,4,5.第一次摸球时有5种等可能的结果，第二次摸球时有4种等可能的结果.将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果,如下表例

袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率:(1)A=“第一次摸到红球”；(2)B=“第二次摸到红球”；(3)AB=“两次都摸到红球”.典例解析变式1若把不放回依次随机摸出2个球改为同时摸出2个球，那么摸到的2个球都是红球的概率是多少?解：同时摸出2个球的所有可能结果为：(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5)，共10个.摸到的2个球都是红球的结果为(1,2)，结论：依次摸出2个球跟顺序有关，一次性摸出2个球与顺序无关，

但相同事件的概率相等.所以摸到的2个球都是红球的概率为例

袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率:(1)A=“第一次摸到红球”；(2)B=“第二次摸到红球”；(3)AB=“两次都摸到红球”.典例解析变式2

若把不放回地依次随机摸出2个球改为有放回地依次随机摸出2个球，那么摸到的2个球都是红球的概率是多少?解：有放回依次随机摸出2个球所有可能结果为：(1,1)(2,2)(3,3)(4,4)(5,5)摸到的2个球都是红球的可能结果有4个典例解析例

从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取2人.（1）分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样、按性别等比例分层抽样的样本空间.（2）在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率.设事件A=“抽到两名男生”抽样类型总样本的个数事件A包含的样本点P(A)有放回简单随机抽样不放回简单随机抽样按性别等比例分层抽样4×4=164×3=122×2=4(B1,B1),(B1,B2),(B2,B1),(B2,B2)(B1,B2),(B2,B1)Ω1={(B1,B1),(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,B2),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G1),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1),(G2,G2)}Ω2={(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1)}.Ω3={(B1,G1),(B1,G2),(B2,G1),(B2,G2)}无典例解析例

从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取2人.（1）分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样、按性别等比例分层抽样的样本空间.（2）在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率.解:

(1)设第一次抽取的人记为x1,第二次抽取的人记为x2,则可用数组(x1,

x2)表示样本点.①有放回简单随机抽样的样本空间：Ω1={(B1,B1),(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,B2),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),

(G1,G1),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1),(G2,G2)}②不放回简单随机抽样的样本空间：Ω2={(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1)}.③按性别等比例分层抽样(先抽1名男生,再抽1名女生)的样本空间：Ω3={(B1,G1),(B1,G2),(B2,G1),(B2,G2)}典例解析例

从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取2人.（1）分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样、按性别等比例分层抽样的样本空间.（2）在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率.解：(2)设事件A=“抽到两名男生”，对于有放回简单随机抽样:A={(B1,B1),(B1,B2),(B2,B1),(B2,B2)}，对于不放回简单随机抽样:A={(B1,B2),(B2,B1)}，按性别等比例分层抽样:A=

，∴P(A)=0.呼应前章

上例表明，同一个事件A=“抽到两名男生”发生的概率，在按性别等比例分层样时最小，在不放回简单随机抽样时次之，在有放回简单随机抽样时最大.因此，抽样方法不同，则样本空间不同，某个事件发生的概率也可能不同.

上一章我们研究过通过抽样调查估计树人中学高一学生平均身高的问题.我们知道，简单随机抽样使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现全是男生的“极端”样本，这就可能高估总体的平均身高.

上例的计算表明，在总体的男女生人数相同的情况下，用有放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的概率为0.25；用不放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的概率约为0.167，可以有效地降低出现“极端”样本的概率.特别s是，在按性别等比例分层抽