广东省佛山市顺德区京师励耘实验学校2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题（解析版）

广东省佛山市顺德区京师励耘实验学校2023-2024学年八年级（下）第一次月考数学试卷一、选择题（12个题，每题3分，共36分）1.在下列数学表达式：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】C【解析】【分析】根据不等式的定义逐个判断即可．解：不等式有：，，，，共4个，故选：C．【点睛】本题考查了不等式的定义，能熟记不等式的定义是解此题的关键，注意：用不等号，，，，表示不等关系的式子，叫不等式．2.与的和大于，用不等式表示为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查列不等式．根据与的和大于，列出不等式即可．解：与的和大于，用不等式表示为，故选：B．3.已知，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了不等式性质，不等式的性质——性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此即可判断答案．解：A、，原不等式成立，符合题意；B、，原不等式不成立，不符合题意；C、，原不等式不成立，不符合题意；D、，原不等式不成立，不符合题意；故选：A．4.一个不等式组的解在数轴上表示如图，则这个不等式组的解是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了用数轴表示不等式组的解集，根据“小于向左，大于向右”且“边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”写出解集即可．解：由题意得，该不等式组的解集为，故选：B．5.已知等腰三角形的一个底角为，则其顶角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和，根据等腰三角形等边对等角结合三角形内角和定理计算即可，掌握等腰三角形的性质是解题的关键.解：顶角为：，故选C.6.如图，要用“HL”证明Rt≌Rt，则需要添加的一个条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，能熟记定理是解此题的关键，注意：直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．利用HL定理进行分析判断．解：在Rt≌Rt中，，A．添加，无法证明Rt≌Rt，故此选项不符合题意；B．添加，无法证明Rt≌Rt，故此选项不符合题意；C．添加，可以用“HL”证明Rt≌Rt，故此选项符合题意；D．添加，无法证明Rt≌Rt，故此选项不符合题意；故选：C．7.如图，在中，，是中线，E是上一点，若，则（）A.7 B.6 C.5 D.4【答案】C【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质，由为中线，利用三线合一得到垂直于，再根据线段垂直平分线的判定与性质即可得解．解：∵是中线，∴，∴垂直平分，∴，故选：C．8.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）．A.6米; B.9米; C.12米; D.15米.【答案】B【解析】【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度．解：如图，根据题意BC=3米，

∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，

∴AB=2BC=2×3=6米，

∴BC+AB=3+6=9（米）．

故选B【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．9.已知甲、乙两弹簧的长度y（cm）与所挂物体x（kg）之间的函数解析式分别是y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，图象如图所示，当所挂物体质量均为2kg时，甲、乙两弹簧的长度y1与y2的大小关系为A.y1>y2 B.y1=y2 C.y1<y2 D.不能确定【答案】A【解析】试题解析：∵点（0，4）和点（1，12）在y1=k1x+b1上，∴得到方程组：，解得：，∴y1=8x+4．∵点（0，8）和点（1，12）代入y2=k2x+b2上，∴得到方程组为，解得：．∴y2=4x+8．当x=2时，y1=8×2+4=20，y2=4×2+8=16，∴y1＞y2．故选A．10.在平面内，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（）A.三条角平分线的交点 B.三条高线的交点C.三条中线的交点 D.三条边垂直平分线的交点【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得答案．解：平面内，有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的三边垂直平分线的交点，故选：D．11.下列三角形：①有两个角等于的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（）A.①②③ B.①②④ C.①③ D.①②③④【答案】D【解析】【分析】根据等边三角形的判定定理可进行求解．解：①有两个角等于的三角形是等边三角形；②有一个角等于的等腰三角形是等边三角形；③三个角都相等的三角形是等边三角形，可根据三角形内角和为求得每个内角的度数为；④三边都相等的三角形是等边三角形；综上所述：是等边三角形的有①②③④；故选D．【点睛】本题主要考查等边三角形的判定定理，熟练掌握等边三角形的判定是解题的关键．12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8．点F是AB边的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE，连接DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值是4；③四边形CDFE的面积保持不变．其中正确的结论是（）A.①②③ B.①② C.①③ D.②③【答案】C【解析】【分析】连接CF，由SAS定理可得，从而可证，，便可得到①正确；由△DFE是等腰直角三角形，可得最小时，DF也最小，即当时，DE最小，此时可得，即可判断②错误；再由割补法可证③是正确的．连接CFRt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，△DFE是等腰直角三角形故①正确；△DFE是等腰直角三角形最小时，DF也最小即当时，DE最小，此时故②错误；四边形CDFE面积四边形CDFE的面积保持不变故③正确；综上，正确的结论是①③故选：C．【点睛】此题考查的知识点有等腰直角三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质等知识点，综合性强，难度较大，利用“割补法”是求不规则图形的面积的常用方法．二、填空题（5个题，每题4分，共20分）13.在中，，，则______．【答案】2cm【解析】【分析】根据已知条件证明△ABC是等边三角形，由此得到答案.∵AB=AC，，∴△ABC是等边三角形，∴BC=AB=2cm，故答案为：2cm.【点睛】此题考查等边三角形的判定及性质：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，等边三角形的三条边相等.14.如果不等式组的解集是，那么_____．【答案】1【解析】【分析】本题考查的是根据不等式组的解集求解参数的值，先解不等式组再结合不等式组的解集，从而可得答案．解：，由①得，，由②得，，∵不等式组的解集为，∴，，∴，故答案为：1．15.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=__度．【答案】15【解析】【分析】根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵CG=CD，∴∠CDG=∠CGD=30°，∵DF=DE，∴∠E=∠DFE=15°．故答案为：15．【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练运用等边对等角是关键．16如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若DB＝10cm，则AC＝_____cm．【答案】5【解析】【分析】连接AD，可以得到BD=AD，再求得∠ADC=30°，所以AC=AD，求解即可解：如图，连接AD，∵AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E∴AD=BD=10，∠DBA=∠BAD=15°．∴∠ADC=30°，∵∠C＝90°，∴．故答案为：5．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、外角的性质、含30°角的直角三角形性质，解题的关键是掌握相应的性质．17.如图，为等边三角形，，则________.【答案】60【解析】【分析】根据已知条件去证和全等，进而得出对应角相等，即：,然后根据三角形的外角定理得：.解：为等边三角形，,.在和中：,..故答案为：60.【点睛】本题主要考查三角形全等的判定以及全等三角形的对应角相等利用等量代换结合外角定理最终求出答案.三、解答题（8个题，共计64分）18.解不等式组,并把解集在数轴上表示出来．【答案】x＞3【解析】【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．解：由①得，，由②得，，在数轴上表示为故答案为.【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19.（1）解不等式：；（2）若（1）中的不等式的最小整数解是方程的解，求a的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根据不等式的基本性质先去括号，然后通过移项、合并同类项即可求得原不等式的解集．（2）根据（1）中的x的取值范围来确定x的最小整数解；然后将x的值代入已知方程列出关于系数a的一元一次方程，通过解该方程即可求得a的值．解：（1），∴，∴，∴，∴；（2）由（1）得，最小整数解为，∴，∴．【点睛】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式．也考查了一元一次方程的解．掌握不等式的基本性质是解题的关键．20.近年来，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村座落在两相交公路内（如图所示）．医疗站必须满足下列条件：（1）使其到两公路距离相等，（2）到张、李两村的距离也相等，请你通过作图确定P点的位置．（不写作法，要保留作图痕迹）【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了角平分线和垂线的尺规作图，熟练掌握尺规作图是解题关键．先作两公路夹角的角平分线，再过张村和李村线段的垂直平分线，与角平分线的交点即为点P．解：如图，点P即为所求，．21.为庆祝商都正式营业，商都推出了两种购物方案．方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠，方案二：如交纳300元会费成为该商都会员，则所有商品价格可获九折优惠．（1）以x（元）表示商品价格，y（元）表示支出金额，分别写出两种购物方案中y关于x的函数表达式；（2）若某人计划在商都购买一台电视机，请分析选择哪种方案更省钱？【答案】（1）方案一：；方案二：；（2）当电视机价格大于时，选方案二；电视机价格等于时，两种方案都一样；电视机价格小于时，选方案一【解析】【分析】此题考查了一次函数应用，准确列出函数解析式和求出函数值是解题的关键．（1）根据方案分别写出函数解析式即可；（2）分三种情况，，，求出对应的取值范围即可得到结论．【小问1】根据题意可得，按方案一购买：；按方案二购买：；【小问2】分三种情况：①时，，解得：，∴电视机价格大于时，选方案二；②时，，解得：，∴电视机价格等于时，两种方案都一样；③时，，解得：，∴电视机价格小于时，选方案一，综上所述，当电视机价格大于时，选方案二；电视机价格等于时，两种方案都一样；电视机价格小于时，选方案一．22.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.已知AD=2cm，BC=5cm.（1）求证：FC=AD；（2）求AB的长.【答案】（1）证明见解析；（2）AB=7cm.【解析】试题分析：（1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．（2）根据线段垂直平分线的性质判断出AB=BF即可．试题解析：（1）∵AD∥BC∴∠ADC=∠ECF，∵E是CD的中点，∴DE=EC，∵在△ADE与△FCE中，，∴△ADE≌△FCE(ASA)，∴FC=AD；（2）∵△ADE≌△FCE，∴AE=EF，AD=CF，∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB=BF=BC+CF，∵AD=CF，∴AB=BC+AD=5+2=7(cm).23.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4交坐标轴于A、B两点，过x轴正半轴上一点C作直线CD交y轴正半轴于点D，且△AOB≌△DOC．（1）求出直线CD对应的函数表达式；（2）点M是线段CD上一动点（不与点C、D重合），ON⊥OM交AB于点N，连接MN，判断△OMN的形状，并说明理由；（3）若E（﹣1，a）为直线AB上的点，P为y轴上的点，请问：直线CD上是否存在点Q，使得△EPQ是以E为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）函数对应的表达式为：；（2）△OMN是等腰直角三角形，证明见；（3）存在，Q（﹣2，3）或（2，1），理由见；【解析】【分析】先求出OA=2，OB=4，由全等三角形性质可得OD=2，OC=4，利用待定系数法可求解析式；求全等三角形性质可得∠OBA=∠OCD，OB=OC，进而可证△OBN≌△OCM，可得OM=ON的结论；分两种情况讨论，由全等三角形性质和一次函数性质可求Q坐标．【小问1】解：把x=0代入y=2x+4中得：y=4，∴点B（0，4），∴OB=4，把y=0代入y=2x+4的：x=﹣2，∴OA=2，∵△AOB≌△DOC，∴OC=OB=4，OD=OA=2，∴C（4，0），D（0，2），设直线CD对应的函数表达式为：y=kx+b，把C（0，4），D（0，2）代入y=kx+b得：，解得：，∴函数对应的表达式为：；【小问2】解：△OMN是等腰直角三角形，理由如下：∵△AOB≌△DOC，∴∠OBA=∠OCD，OB=OC，又∵ON⊥OM，∴∠MON=90°，即∠MOD＋∠BON=90°，∵∠COD=90°，即∠COM＋∠MOD=90°，∴∠BON=∠COM，在△OBN与△OCM中，，∴△OBN≌△OCM（ASA），∴OM=ON，由∠MON=90°，∴△OMN是等腰三角形；【小问3】解：直线CD上存在点Q，使得△EPQ是以E为直角顶点的等腰三角形，∵E（﹣1，a）为直线AB上的点，∴a=2×（﹣1）+4，∴a=2，∴E（﹣1，2），当点P在点B下方时，如图，连接DE，过点Q作QM⊥DE，交DE的延长线于点M，∵D（0，2）∴DE⊥y轴，DE=1，点M的纵坐标为2，∠M=∠EDP=90°，∵△EPQ是以E为直角顶点的等腰三角形，∴EP=EQ，∠PEQ=90°，∴∠QEM＋∠PED=90°=∠QEM+∠EQM，∴∠DEP=∠EQM，在△DEP与△MQE中，，∴△DEP≌△MQE（AAS），∴MQ=ME=1，∴Q点纵坐标为3，把y=3代入中得：x=﹣2，∴点Q（﹣2，3）；当点P在点B上方时，如图过E点作EM∥y轴，过点Q作QM⊥EM于点M，过P作PN⊥EM交ME延长线于N点，则∠M=∠N=90°，∴N点横坐标为﹣1，则PN=1，∵△EPQ是以E为直角顶点的等腰三角形，∴EP=EQ，∠PEQ=90°，∴∠QEM+∠PEN=90°=∠PEN+∠NPE，在△E