动态数学软体之教学设计

動態數學軟體之教學設計左台益Tai-YihTso國立臺灣師範大學數學系2010.09.30摘要抽象數學通常需借助外在表徵作為個體內在建構與外部溝通數學思維之仲介。自由軟體GeoGebra是整合幾何、代數、微積分及統計試算表等多重表徵的數學學習數位工具且以開放碼公諸於世使其自然形成有機體成為不斷發展之數學學習資源。本報告將從中學數學學習面向概述GeoGebra教學設計及其相關的資源應用。運用動態鏈結多重表徵於數學學習數學抽象概念通常需藉助外在的表徵作為個體內在建構與外部溝通的仲介。在數學的發展過程中，人們不僅深入發展數學的知識，同時也建構出各種表徵形式以溝通及存取抽象數學思維。學習者要瞭解、學習與應用數學，不僅要思考數學的本質意義，且要能充分掌握其各種表徵以及表徵之間的轉換與轉移（Lesh,1987;Kaput,1987,1989,2008），透過外在表徵的理解與操作來建構此概念的內在表徵（Goldin,2000）。數位學習活動架構現今的數學教學趨勢即是運用資訊科技整合多重表徵於學習系統，來鼓勵學習者透過自我探索以建構知識。而在數位學習活動中，設計者應從科技特色、學習理論及學科本質等三方面來做考量。數位學習活動架構增進學生深入了解數學概念科學探索活動學習者為中心生活議題為主軸多重表徵學習環境多媒體動態模擬網路科技工具科技特色學科本質學習理論數學數位學習環境設計構念多重表徵數位學習環境實作參考因素Ainsworth（2006）針對多重表徵的學習環境提出DeFT理論，認為教學設計者在布置教學環境時，應考量下列三個與學習有關的基本面向：多重表徵學習環境之設計參數（Designparameters）多重表徵的基本功能（Functions）學習者與表徵間進行互動時所要進行的認知作業（Task）多重表徵學習環境之設計參數在設計多重表徵之學習環境時，應考量到五個與表徵有關的設計參數著手表徵的數量(number)表徵物所呈現的訊息量(information)表徵系統的形式(form)表徵的呈現次序(sequence)表徵間的轉換(translation)多重表徵的基本功能與多重表徵互動時需進行的認知作業學習者應理解表徵物的形式學習者應理解表徵物與被表徵物間的關連學習者應理解如何選擇合適的表徵學習者可能需理解如何建構合適的表徵學習者可能需理解不同表徵物間的關連與轉換數位設計工具：GeoGebra簡介GeoGebra是由MarkusHohenwarter教授在2001年於奧地利Salzburg大學攻讀數學教育博士所發展出的一套自由軟體結合了幾何、代數、微積分及統計試算表等功能並透過JavaScript做為人機介面溝通的橋樑以開放源碼（opensource）方式使其成為不斷發展的有機體不到10年的期間（2002~2010）就已發展出51種多國語言且跨平台的軟體數位設計工具：GeoGebra特色GeoGebra能夠如同DGS一樣，透過點、線、圓等基本作圖工具進行動態構圖提供CAS中的函數繪圖、根解以及微分、積分等基本數值運算功能而在3.2版中更加入了能夠做基本統計運算的試算表，嘗試結合幾何、代數、微積分、統計試算DGSCASGeoGebraGeoGebra的溝通介面與表徵誠如上述所言，GeoGebra在3.2版中涵蓋了幾何、代數、統計與微積分等領域，因此介面的設計上主要包含了三大視區與指令輸入模式，分別是：幾何視區（GraphicsView）代數視區（AlgebraView）試算表視區（SpreadsheetView）指令列（InputBar）GeoGebra的三大視區與指令輸入模式代數視區幾何視區試算表視區指令列動態鏈結動態數學軟體GeoGebra做為數學學習工具，具有如下基本功能：動態圖形、動態行為、拉曳認知行動、多重表徵。在GeoGebra中的數學物件除了多重表徵的呈現外，更重要的是，不同表徵間具有動態鏈結的功能。換言之，當使用者操弄幾何視區中的數學物件時，其代數視區中所對應的代數表徵也會隨之變動，反之亦然。Hohenwarter&Preiner（2007）將此行為稱為表徵間的雙向連結（BidirectionalConnectionofRepresentations）。GeoGebra基本操作說明構圖工具：當使用者選定工具後，在工具列右側會出現工具的操作提示及說明指令操作：按F1可得到操作提示及指令說明幾何物件可透過代數變數來改變屬性示範操作GeoGebra動態網頁提供教師或教材設計者將作品以動態網頁形式放置在網際網路上供社群使用，形成一種可分享的公共資源。透過JavaScript來擴增applet的功能以及連結網頁中的元件功能（例如按鈕、文字方塊等等），與使用者進行互動JavaScript具有簡化人機溝通介面、整合多元資源、結構各項學習活動等幾項基本功能。GeoGebra動態網頁實例設定GGB中物件的變數值

方法：

setValue(物件名稱,數值)

例如：

document.ggbApplet.setValue(“a”,1);

document.ggbApplet.setVisible(“c”,3);GeoGebra動態網頁實例顯示或隱藏GGB中的物件

方法：

setVisible(物件名稱,顯示條件)

例如：

document.ggbApplet.setVisible(“H”,true);

document.ggbApplet.setVisible(“H”,false);GeoGebra教學設計國中課程高中課程大眾科普線型函數幾何證明二次函數複數乘法空間中的直線

與平面二次不等式九章算術複數乘法數位設計

教學目標透過六個活動引導學生整合複數乘法的一般式、極式以及幾何變換的表徵一般式：(a+bi)(c+di)極式：r(cosθ+isinθ)*s(cosφ+isinφ)幾何變換：旋轉與伸縮電腦環境動態連結多重表徵學習環境使用探索學生建構數學概念設計科技特色學習理論數學結構GeoGebra動態網頁DeFT理論一般式、極式、幾何變換複數乘法之動態視窗環境設計

設計結果

一、複數乘法之動態視窗學習環境

(一)一般式轉極式

(二)極式轉一般式

(三)一般式乘積

(四)極式乘法

(五)極式除法

(六)棣美弗定理

二、學習環境的特色

(一)動態連結多重表徵性質

(二)視窗型環境

(三)教學內容動態視窗環境之教學成效

後測前測表徵整合型表徵轉移型(+)表徵轉移型(–)單一表徵型(+)單一表徵型(–)合計表徵整合型3––––3(7%)表徵轉移型(+)2––––2(5%)表徵轉移型(–)111–––12(29%)單一表徵型(+)115–2–18(44%)單一表徵型(–)12–126(15%)合計28(68%)8(20%)0(0%)3(7%)2(5%)E二次不等式數位設計

教學目標透過四個活動引導學生統合運用圖形與代數表徵，形成過程概念(procept)。函數的表徵：圖形、代數、表列二次不等式的解二次多項式的正定性二次不等式之動態視窗環境設計

活動一：二次函數點集及其圖形活動二：二次函數圖形與x軸交點活動三：解二次不等式活動四：二次不等式之正定性解二次不等式可分解型的解題思維：

1.多重表徵策略

2.純代數策略

以因式分解式

與x2項係數

繪製拋物線概圖由圖形解讀出

不等式的解因式分解

並找出

二次方程式兩根利用數線標示

兩根由右至左

三區域函數值

分別為正、負、正找出二次

不等式的解解二次不等式恆正恆負型的解題思維：

1.多重表徵策略

2.純代數策略

判別式為負方程式無實根函數圖形

與x軸無交點由圖形解讀出

不等式的解判別式為負方程式無實根記憶法則或帶入數字計算求出

不等式的解產生錯誤產生錯誤產生錯誤空間中的直線與平面

之動態視窗環境設計

活動一：平面上直線的參數式活動二：平面中，直線方程式與方向向量、法向量的關係活動三：空間中，以法向量描述平面活動四：空間中，ax+by=c所代表的圖形?活動五：空間中，平面與法向量的關係活動六：空間中，直線與方向向量活動七：空間中，直線方程式與方向向量的關係發展中的台灣GeoGebra中心國立臺灣師範大學數學系的ELME也預計在近期向國際GeoGebra中心（InternationalGeoGebraInstitute,IGI）申請成為台灣GeoGebra中心將採用研究群的方式進行歡迎台灣從事動態幾何研究學者、具有豐富數學數位教材設計經驗之教師、以及GeoGebra的使用者，共同組成一個兼具研究與教學實務的GeoGebra研究中心台灣GeoGebra中心目標與運作功能教師培訓建立GeoGebra認證網絡舉辦工作坊與研討會的形式培養教師或研究者成為GeoGebra使用者、專家、培訓者或中心培訓者。教材發展與分享翻譯官方說明手冊與發行GeoGebra教學手冊建立中學數學課程的教材資源中心發行ELME通訊研究與發展結合數學師資培育與數學教育研究GeoGebra認證制度GeoGebra使用者具備基本的GeoGebra操作技巧使用GeoGebra設計與實施有效的教學。GeoGebra專家熟悉GeoGebra功能GeoGebra與JavaScript的設計GeoGebra輔導員舉辦過GeoGebra工作坊，並有能力進行相關行動研究GeoGebra中心輔導員具豐富經驗GeoGebra使用者、輔導員與研究者，並通過國際GeoGebra中心的認可GeoGebra工作坊與教材中心GeoGebra工作坊

/site/taiwanggb/cursesGGB教材中心

/site/taiwanggb/ggbreresourcesELME

.tw/ELME/台灣GeGeobra中心

http://www.ge