陕西省咸阳市永寿县中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

永寿县中学2023~2024学年度第二学期期中考试高一数学全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．5．本卷主要考查内容：必修第二册第六章~第八章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足（i是虚数单位），则（）A．B．C．D．2．下列命题正确的是（）A．三点确定一个平面B．四条首尾相连的线段确定一个平面C．两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内D．空间两两相交的三条直线在同一平面内3．已知向量,它们的夹角为，则（）A．10B．C．D．134．已知球的半径为，则球的表面积为（）A．B．C．D．5．在中，角A,B,C的对边分别为，则外接圆的面积为（）A．B．C．D．6．如图，在等腰梯形中，,点E为线段的中点，点F是线段上的一点，且,则（）A．B．C．D．7．如图，A城气象台测得台风中心从A城正西方向600千米的B处以每小时千米的速度向北偏东的方向移动，距台风中心千米的范围内为受台风影响的区域，若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响的时长为（）A．10小时B．20小时C．小时D．小时8．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童．如图池盆几何体是一个刍童，其中上，下底面均为正方形，且边长分别为8和4，侧面是全等的等腰梯形，且梯形的高为，则该盆中最多能装的水的体积为（）A．B．C．D．448二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知z为复数，下列说法正确的是（）A．若,则B．若,则C．若，则D．10．已知m,n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若,则B．若,则C．若,则D．若,则11．在中，角A,B,C的对边分别为,角A的角平分线交于点D,，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．的面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．如图，四边形是梯形的直观图，四边形是等腰梯形，且，则梯形的周长为___________．13．在中，，则___________．14．如图，三棱台的上、下底边长之比为，三棱锥的体积为,四棱锥的体积为,则___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．（本小题满分13分）已知,复数（i是虚数单位）．（1）若z是纯虚数，求m的值；（2）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围；16．（本小题满分15分）已知向量．（1）若,求的值；（2）若，向量与的夹角为锐角，求的取值范围．17．（本小题满分15分）如图，在直四棱柱中，底面是菱形，，E,F分别为棱的中点，G是棱上的一点，是棱上的一点，．（1）求证：平面平面;（2）求证：平面平面．18．（本小题满分17分）在中，角A,B，C的对边分别为a，b,c,且的面积为．（1）求角A的大小；（2）若是的一条中线，求线段的长．19．（本小题满分17分）在四棱锥中，是等边三角形，四边形是矩形，，是棱的中点．（1）求证：;（2）求二面角的正切值．

永寿县中学2023~2024学年度第二学期期中考试·高一数学参考答案、提示及评分细则1．A设,所以,所以，所以．故选A．2．C如果三点在同一条直线上，则不能确定一个平面，故A错误；如空间四边形，四条首尾相连的线段不在一个平面，故B错误；两条平行直线确定一个平面，一条直线与这两条平行直线都相交，则这条直线就在这两条平行直线确定的一个平面内，故这三条直线在同一平面内，故C正确；空间两两相交的三条直线可确定一个平面，也可确定三个平面，故D错误．故选C．3．C因为向量,它们的夹角为，所以，所以．故选C．4．C．故选C．5．B设外接圆的半径为,解得外接圆的面积为．故选B．6．B．故选B．7．B台风中心从B处开始移动t小时，移动的距离为千米，则台风中心移动t小时时商A城的距离为，若A城受到这次台风的影响，则，得，解得，所以A城遭受这次影响的时长为小时．故选B．8．B根据题意可知，这个刍童为棱台．因为上、下底面为正方形，边长分别为8和4，侧面是全等的等腰梯形，且梯形的高为，所以该棱台的高为4，所以该棱台的体积．故选B．9．AD设,由为实数，得,所以,故A正确；若,则,故B错误；复数不能比较大小，故C错误；设,则,故D正确．故选AD．10．BD若,则或,故A错误；,则或m,n异面，故C错误．故选BD．11．AD由余弦定理得,即,所以，又，所以，,解得．在中，,故A正确；在中，，解得,故B错误；,解得，故C错误；，故D正确．故选AD．12．因为四边形是等腰梯形，且，所以，所以,且,所以,梯形的周长为．13．由正弦定理得，得，又，所以，所以．14．由三棱台的上、下底边长之比为，可得上、下底面的面积比为，设三棱台的高为h,则点到平面的距离也为h,上底面面积为S,则下底面面积为,所以，所以．15．解：（1）因为z是纯虚数，所以4分解得;6分（2）在复平面内z对应的点为,由题意可得10分解得,即m的取值范围是．13分16．解：（1）因为,所以,，4分又,所以，即，6分解得．7分（2）因为，所以．8分又向量与的夹角为锐角，所以12分解得且，即的取值范围是．15分17．证明：（1）分别取的中点M,N,连接,如图所示．因为M是的中点，E是的中点，易得四边形是平行四边形，所以．因为G是棱上的一点，是棱上的一点，,所以,所以四边形是平行四边形，所以,所以,又平面平面,所以平面．3分因为N是的中点，E是的中点，易得四边形是平行四边形，所以．又G是棱上的一点，,所以G是的中点，又F是的中点，所以,所以,又平面平面,所以平面,6分又平面,所以平面平面;8分（2）连接,因为底面是菱形，，所以是等边三角形，又E是的中点，所以,10分因为直四棱柱,所以平面,又平面,所以,12分又平面,所以平面,14分又平面,所以平面平面．15分18．解：（1）因为,又，4分所以,6分所以,又,所以；8分（2）因为D为的中点，所以,10分所以，15分所以．17分19．（1）证明：取的中点F,连接,如图所示．因为是等边三角形，F是的中点，所以．2分因为F是的中点，E是棱的中点，所以．又四边形是矩形，所以,所以,又,所以,4分又平面,所以平面,6分又平面,所以,7分又平面,所以平面,8分又平面,所