椭圆及其标准方程教学设计-高二上学期数学人教A版选择性

课题:椭圆及其标准方程教学设计学科：数学教师：于帮利教材分析椭圆单元的内容是学生在学习直线和圆的方程的基础上，先抽象椭圆的几何特征，然后建立它的标准方程，再利用方程研究它的几何性质，并利用它们解决简单的实际问题.从知识的前后联系看，本单元是坐标法的进一步运用，所要解决的仍然是解析几何的“两个基本问题”：建立曲线的方程，通过方程研究曲线的几何性质.从本章知识的内部结构看，椭圆、双曲线、抛物线的研究背景、研究问题、研究方法具有高度的相似性，因而本单元的学习在全章的学习中具有基础地位.椭圆单元，“椭圆的概念”部分，先在问题“椭圆具有怎样的几何特征？”的引领下进行画图操作，从中发现椭圆的几何特征，进而获得椭圆的概念，明晰研究的基础与出发点.“椭圆标准方程”部分，先根据椭圆的几何特征建立平面直角坐标系，然后通过代数运算得到椭圆的标准方程.“椭圆的简单几何性质”部分，在明确要研究的性质的基础上，通过椭圆的方程研究椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等.上述过程体现了研究圆锥曲线的一般思路和方法，包括如何发现曲线的几何特征、如何建立适当的坐标系、如何简化和优化方程、研究曲线的哪些性质、如何运用方程进行研究等.椭圆单元最重要、最根本的数学思想方法是坐标法.另外，在解决问题的过程中，数形结合、类比、特殊化与一般化、转化与化归等也发挥着重要作用.椭圆单元的学习有助于学生学会合乎逻辑地、有条理地、严谨精确地思考和解决问题，有助于发展学生数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算、直观想象等方面的素养.学生之前已经学习了直线与圆的方程，能够根据方程清晰熟练地描述直线与圆的几何特征，经历了用代数方法建立直线和圆的标准方程的过程，初步掌握推导圆的标准方程的一般步骤，已经了解平面解析几何主要研究两个问题：一是根据已知条件求曲线的方程；二是根据曲线方程研究曲线的性质.与直线、圆一样，本节课仍然按照“建系—设点—列等式—代坐标—化简方程—说明”的步骤推导椭圆的标准方程，为了便于研究椭圆的几何性质，同样需要建立适当的坐标系来使方程的形式更简单.方程形式能否简单要有一定的预判能力，充分利用好曲线的对称性，尽可能让曲线的中心、顶点的坐标简单；化简含有两个根式的椭圆方程时，因为学生以前没有遇到过类似问题，缺乏对复杂根式的化简经验，教学时应详细给出化简过程，并从数学的对称美、简洁美、和谐美的角度对每一步的变形给予合理的解释，通过引导学生反思，自主探究出椭圆其它两种形式的定义，培养学生养成自觉根据曲线方程研究曲线性质的习惯，也为后面学习双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。因此，本节课有承前启后的作用。学情分析在此之前，学生在上一章已经学习了直线和圆，已经初步经历和体验了研究解析几何的方法——坐标法，所以，学生对用坐标法研究本节内容，并不陌生，已有相关知识经验，为顺利开展本节课的教学提供了方法保障.由于本节课的教学重点就是利用解析思想推导椭圆的标准方程，同时这也是本节的难点.教学中，根据椭圆的定义，按着建系、设点、列式，化简、说明这五个步骤推导椭圆标准方程.引导学生类比圆的标准方程的简洁、优美的形式，小组讨论，得到椭圆的标准方程，这个运算过程需要学生有沉着冷静的思维品质，特别有利于提升数学运算这一核心素养.教学目标（1）理解并掌握椭圆的定义和椭圆的标准方程；（2）能运用“先定位，后定量”的方法求解椭圆的标准方程。（3）通过“先定位，后定量”求解方法，培养学生分析探索能力。（4）通过椭圆标准方程的教学，提高学生对知识的综合运用能力教学重难点1.重点：椭圆的标准方程的求解方法。2.难点：运用“先定位，后定量”求椭圆。教学准备多媒体课件、一条定长的细绳、图钉教学环节教学内容师生活动设计意图问题导入教师带领学生回顾椭圆的历史：古希腊时期，梅内克缪斯先是从圆柱或圆锥的截口上发现椭圆以及另两种圆锥曲线；阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中，用平面截对顶圆锥得到圆、椭圆、双曲线、抛物线，并且探究了椭圆的性质；17世纪，法国数学家舒腾在前人的研究基础上给出了椭圆的3种作图工具，得到轨迹定义；1822年比利时数学家旦德林由双球模型得出椭圆的定义；至此，终于人们找到了古希腊的截线定义与17世纪的轨迹定义的关系。通过此环节，让学生体会椭圆的历史发展，了解数学文化。在日常生活中，我们经常可以看到椭圆，例如我们常用的盘子和镜子的轮廓是椭圆、国家大剧院及其倒影的轮廓线也是椭圆.那你知道如何画一个标准的椭圆吗？师:坐标法是解析思想的具体体现，今天我们就是要用坐标法推导椭圆的标准方程。出标题。通过生活情境激发学生的探究欲望，提升学习兴趣，并引入新课内容.探索新知教师引导学生由椭圆的定义画出一个椭圆：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的两点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖作图。教师通过视频展示绘画过程。师生一起动手画椭圆通过视频展示绘画过程，培养学生的动手能力，培养直观想象素养。回忆求曲线方程的一般步骤板书：椭圆的标准方程建系，设点，列式，化简，说明师：类比求直线和圆的方程，谁能说一说求曲线方程的一般步骤吗？说步骤，补充完整。师板书：椭圆的标准方程明确求曲线方程的一般步骤，避免推导过程中思维的盲目性。掌握新知大屏幕出现，椭圆定义，和椭圆图形师板书强化椭圆的几何条件，为推导椭圆方程做准备问题：如何根据椭圆的图形特征，建立适当的坐标系？想一想你这样建系基于哪些思考建系，适当，尽可能多的对称和零点设点，求什么设什么学生展示，说明理由教师通过视频展示绘画过程，培养学生的动手能力，培养直观想象素养。椭圆定义教师从文字语言和符号语言两个角度给出椭圆的定义，并带领学生梳理定义中的易错点，并带领学生进行概念辨析。椭圆定义的文字描述：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。椭圆定义的符号描述：请根据椭圆的定义的推导椭圆的方程.概念辨析:请同学们思考以下两个问题当常数等于时，点的轨迹是什么？（2）当常数小于时，点的轨迹还存在吗？各种资料中的解析几何题大都不需要建系，所以学生对用坐标法解决问题的完整过程比较朦胧，这正是解析几何学习需要认真对待的问题.养成学生对解析思想的整体思考.观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段设M（椭圆的焦距为2c（c＞0），那么焦点F1、F2（c，0），（c，0），根据椭圆的定义，设点M与焦点F1、F2的距离的和等于由椭圆的定义可知，椭圆可看作这样一个点集PP=利用两点间的距离公式可以得到MF1、MF|MF1|于是我们可以得到方程①（x+c）2+y如何对方程①化简呢？将其中一个根号移到右边得：（x+c）2+y2再平方：（x+c）2+y2=4a2即：a2cx=a（两边再平方，得：a42a2cx+c2x2=整理得：（a2c2）x2+a2y2=a同除“右边项”因为：a2c2＞0所以：x2如果将M点放在Y轴上，则MF2=a，OF2=c，OM=不妨令OM=b则方程⑤可化为：x2a2+y2此方程叫做椭圆的标准方程，它表示焦点在x轴上，两个焦点坐标分别是F1（c，0），F2（c，类似地，以经过椭圆两焦点F1和F2的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系,可以求出椭圆的标准方程为y2a它表示焦点在y轴上，两个焦点坐标分别是F1（0,c），F2（0,小结：方程的特点x2a2+y2y2a2+x2（1）方程的左边是两项平方和的形式，等号右边是1；（2）在椭圆两种标准方程中，总有a＞b＞0；（3）a：椭圆上任意一点M到F1、F2距离和的一半；c：半焦距，且有关系式a2=先引导学生推导，后利用课件展示推导过程通过自主探究、师生交流等活动，使学生推导出焦点在x轴和焦点在y轴的上的椭圆的标准方程.椭圆标准方程的应用例1、求两个焦点的坐标分别为F1−2,0、F2学生作答，引导学生从知识上、方法上心得体会等方面总结.再次将课程中知识系统化，便于理解记忆，起到画龙点睛的作用。巩固练习求满足：a=4,c=15,焦点在y解：椭