1.2 定义与命题（解析版）

1.2定义与命题学习目标：1.理解定义与命题的概念.2.分清命题的条件和结论,并能判断命题的真假.重点：理解命题的概念,找出命题的条件和结论.难点：正确找出命题的条件和结论.知识点一定义概念人们在进行各种沟通、交流时常需要应用许多名称和术语.为了不产生歧义,对这些名称和术语的含义必须有明确的规定.例如,商店降低商品的定价出售商品叫做打折;物体单位面积受到的压力叫做压强;在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线.一般地,能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义(definition).即学即练（2022秋·浙江宁波·八年级浙江省余姚市实验学校校考期中）下列语句中，属于定义的是（

）A．直线a和b垂直吗？ B．延长AB到C使BC=2ABC．两直线平行，内错角相等 D．无限不循环小数是无理数【答案】D【分析】根据定义的概念对各个选项进行分析，从而得到答案．【详解】解：A不是，这是一个疑问句；B不是，这是一个作法；C不是，这是一个定理；D是，这是无理数的定义；故选择：D.【点睛】本题主要考查了学生对命题与定理的理解及运用，难度适中．知识点二命题1.概念一般地,判断某一件事情的句子叫做命题(statement).注意：（1）“句子”是指陈述句，问句不符合命题.（2）能对事件作出判断(不论正确与否),它们都是命题，,没有对事情作出判断,它们不是命题.命题的格式——条件与结论命题一般由条件和结论两部分组成.条件是已知事项,结论是由已知事项得到的事项.这样的命题可以写成“如果……那么……”的形式,其中以“如果”开始的部分是条件(condition)，“那么”后面的部分是结论(conclusion).如“两直线平行,同位角相等”可以改写成“如果两条直线平行,那么同位角相等”注意：有一些命题的条件和结论并不一定那么分明，可以先思考把句子改成“如果……那么……”的形式，这样可以更清楚地找出它的条件和结论.即学即练（2022秋·浙江绍兴·八年级校考期中）将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的条件和结论：(1)三条边对应相等的两个三角形全等；(2)三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）命题的题设部分是两个三角形的三条边对应相等，结论部分是这两个三角形全等，再把命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．（2）此命题的题设是一个角是三角形的一个外角，结论部分是这个角等于和它不相邻的两个内角的和，再把命题写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．【详解】(1)如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等；条件：两个三角形的三条边对应相等，结论：这两个三角形全等；(2)如果一个角是三角形的一个外角，那么这个角等于和它不相邻的两个内角的和；条件：一个角是三角形的一个外角，结论：这个角等于和它不相邻的两个内角的和.【点睛】本题考查了命题，关键是正确确定命题的题设部分和结论部分．知识点三真命题与假命题1.真命题一般地,正确的命题称为真命题（truestatement）2.假命题一般地，不正确的命题称为假命题(falsestatement).3.真命题与假命题的判定要判定一个命题是真命题,常常通过推理的方式,即根据已知事实来推断未知事实.4.基本事实、定理与推论（1）人们经过长期实践,公认为正确的，我们成为基本事实.（2）从基本事实或其他真命题出发,用推理方法判断为正确的,并被选作判断命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.（3）由基本事实、定理直接得出的真命题叫做推论.即学即练1（2023秋·浙江金华·八年级统考期末）下列语句中，不是命题的是（）A．两点确定一条直线 B．垂线段最短C．作角A的平分线 D．内错角相等【答案】C【分析】根据命题的定义对各选项分别进行判断．【详解】两点确定一条直线，垂线段最短，同位角相等都是命题，而作角A的平分线为描述性语言，它不是命题．故选C．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．即学即练2（2022秋·浙江宁波·八年级慈溪市上林初级中学校考期中）能说明命题“对于任何实数a，都有a=a”是假命题的反例是（

A．a=-2 B．a=12 C．a=1 D【答案】A【分析】根据非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，故可得a<0时，a=a【详解】∵当a≥0时，a=a；当a<0∴a=-故选A．【点睛】本题考查命题的真假判断，绝对值的意义．理解非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数是解题关键．即学即练3（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）对于命题“如果a2>b2，那么a>b”，下面四组关于A．a=3，b=-2B．a=-2，b=3 C．a=3，b=2 D．a=-3，b=2【答案】D【分析】说明命题为假命题，即a、b的值满足a2>b【详解】解：在A中，a2=9，b2=4，满足在B中，a2=4，b2在C中，a2=9，b2=4，满足在D中，a2=9，b2=4，满足故选：D．【点睛】本题主要考查了反例的应用，举反例是说明假命题不成立的常用方法，但需要注意所举反例需要满足命题的题设，但结论不成立．题型一判断是否是命题例1（2022秋·浙江杭州·八年级期末）下列句子中，属于命题的是（

）A．直线AB和CD垂直吗？ B．过线段AB的中点C作AB的垂线C．同旁内角不互补，两直线不平行 D．已知a2=1，求【答案】C【分析】对一件事情作出判断的语句叫做命题，根据定义判断即可．【详解】解：A．是问句，不是命题，故该选项不符合题意，B．是作图，没有对一件事情作出判断，不是命题，故该选项不符合题意，C．对一件事情作出判断，是命题，故该选项符合题意，D．没有对一件事情作出判断，不是命题，故该选项不符合题意，，故选：C．【点睛】此题考查了命题的定义，熟记定义是解题的关键．对一件事情作出判断的语句叫做命题，注意，假命题也是命题．举一反三1（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）下列语句不是命题的是（

）A．三角形的内角和等于180度 B．把16开平方C．直角都相等 D．对顶角相等【答案】B【分析】根据命题的定义即可进行解答．【详解】解：A、C、D都是命题，B不是命题；故选：B．【点睛】本题主要考查了命题的定义，解题的关键是掌握：“判断一件事情的语句是命题”．举一反三2（2022秋·浙江杭州·八年级校联考期中）下列定理中，下面语句是命题的是（）A．π是有理数 B．已知a=3，求aC．作∠ABC的角平分线 D．正数大于一切负数吗？【答案】A【分析】根据命题的定义逐一判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、对事情作出了判断，是命题，符合题意；B、为陈述句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意；C、为陈述句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意；D、为疑问句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意．故选：A．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题是判断一件事情的句子，难度不大．题型二判断命题真假例2（2022秋·浙江丽水·八年级校联考期中）下列语句中，属于命题的是（

）A．将27开立方B．画线段AB=CDC．正数都小于零D．任意三角形的三条高线交于一点吗？【答案】C【分析】根据命题的定义对各选项进行判断．【详解】解：A．“将27开立方”为陈述句，它不是命题，所以选项不符合题意；B．“画线段AB=CD”为陈述句，它不是命题，所以选项不符合题意；C．“正数都小于零”为命题，所以选项符合题意；D．“等任意三角形的三条高线交于一点吗？”为疑问句，它不是命题，所以选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了命题，解题的关键是掌握判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成．举一反三1（2022秋·浙江杭州·八年级杭州市青春中学校考期中）对于命题“若a>b,则a>b”，能说明它是假命题的反例是（A．a=3,b=2 B．a=3,b=4 C．a=-3,b=-2 D．a=2,b=-2【答案】D【分析】本题需要将选项逐一代入题设中进行验证.【详解】选项A，将a、b值代入后命题成立，不能证明是假命题；选项B，a<b，与题设不符；选项C，将a、b值代入后命题成立，不能证明是假命题；选项D，将a、b值代入后，a=【点睛】真命题就是正确的命题，即如果命题的题设成立，那么结论一定成立．一个命题都可以写成这样的格式：如果+条件，那么+结论．条件和结果相矛盾的命题是假命题.举一反三2（2022秋·浙江舟山·八年级统考期末）下列句子属于命题的是（

）．A．正数大于一切负数吗？ B．钝角大于直角C．将16开平方 D．作线段AB的中点【答案】B【详解】A、正数大于一切负数吗？为疑问句，它不是命题，所以A选项错误；B、钝角大于直角是命题，所以B选项正确；C、将16开平方为陈述句，它不是命题，所以C选项错误；D、作线段AB的中点为陈述句，它不是命题，所以D选项错误，故选B．题型三举例说明假(真)命题例3（2023秋·浙江绍兴·八年级统考期末）要说明命题“若a2>b2，则a>bA．a=1，b=-2 B．a=2，b=1 C．a=4，b=-1 D．a=-3，b=-2【答案】D【分析】要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．【详解】解：A、∵当a=1，b=-2时，12∴a=1，b=-B、∵当a=2，b=1时，22>1∴a=2，b=1，不是假命题的反例，不符合题意；C、∵当a=4，b=-1时，42∴a=4，b=D、∵当a=-3，b=-2时，∴a=-3故选：D．【点睛】本题主要考查的是命题与定理，解题的关键是掌握要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．举一反三1（2023秋·浙江金华·八年级统考期末）已知命题：“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形【答案】D【分析】根据钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外部，进行判断即可．【详解】A、等腰三角形三条高线的交点不一定不在三角形的外部，不符合题意；B、直角三角形的三条高线的交点在直角顶点处，不在三角形的外部，不符合题意；C、锐角三角形的三条高线的交点在三角形的内部，不符合题意；D、钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外部，符合题意；故选D．【点睛】本题考查反例法证明命题是假命题．熟练掌握钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外部，是解题的关键．举一反三2（2022秋·浙江金华·八年级义乌市绣湖中学教育集团校考期中）对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是()A．∠1=50°，∠2=40° B．∠1=50°，∠2=50°C．∠1=∠2=45° D．∠1=40°，∠2=40°【答案】C【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．【详解】解：A、满足条件∠1+∠2=90B、不满足条件，故B选项错误；C、满足条件，不满足结论，故C选项正确；D、不满足条件，也不满足结论，故D选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了举反例判断假命题，理解题意是解题的关键．题型四写出命题的题设与结论例4（2023秋·浙江宁波·八年级宁波市第七中学校考期末）把命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”改写成“如果……，那么……．”的形式为：．【答案】如果一个点在线段的垂直平分线上，那么该点到线段两端的距离相等．【分析】根据线段垂直平分线的性质按照命题的形式改写即可．【详解】如果一个点在线段的垂直平分线上，那么该点到线段两端的距离相等故答案为：如果一个点在线段的垂直平分线上，那么该点到线段两端的距离相等．【点睛】本题考查了命题的相关问题，掌握命题的形式和方法是解题的关键．举一反三1（2022秋·浙江金华·八年级校考期末）把命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式为：如果，那么．【答案】两个角是对顶角这两个角相等【分析】命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．【详解】解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，故答案为：两个角是对顶角，这两个角相等．【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．举一反三2（2022秋·浙江绍兴·八年级校联考期中）将命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”改写为“如果……，那么……”的形式为．【答案】如果在同一平面内两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．【详解】解：命题可以改写为：如果在同一平面内两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行．故答案为：如果在同一平面内两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行．【点睛】本题考查命题的题设和结论，解题的关键是掌握任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别写在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意．题型五举反例例5（2022秋·浙江温州·八年级校联考期中）能说明命题“若n>-2，则n2>4”是假命题的反例是（A．n=4 B．n=3 C．n=1 D．n=-4【答案】C【分析】根据当n=1时，n2【详解】解：当n=1时，n2∴若n>-2，则n2故选：C．【点睛】本题主要考查了命题与定理，熟练掌握假命题的概念是解题的关键．举一反三1（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）要说明命题“若a=b，则a=b”是假命题，能举的一个反例是（A．a=3，b=3 B．a=-3，b=-3C．a=3，b=-3 D．a=0，b=0【答案】C【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．【详解】解：A．a=3，b=3，满足原命题，不符合题意；B．a=-3，C．a=3，b=-3，D．a=0，b=0，满足原命题，不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查的是命题与定理，解题的关键是掌握要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．举一反三2（2022秋·浙江湖州·八年级统考期末）能说明命题“若x2≥9，则x≥3”为假命题的一个反例可以是（）A．x＝4 B．x＝2 C．x＝﹣4 D．x＝﹣2【答案】C【分析】把x的值分别代入x2≥9且与3比较，即可判定【详解】解：当x＝﹣4时，满足x2≥9，但不能得到x≥3，说明命题“若x2≥9，则x≥3”是假命题的一个反例可以是x＝﹣4．故选：C．【点睛】本题考查了判定一个命题真假的方法，熟练掌握和运用判定一个命题真假的方法是解决本题的关键．单选题1.（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期末）要说明命题“若a>b，则a2>b2”是假命题，可设(

)A．a=3，b=4 B．a=4，b=3 C．a=－3，b=－4 D．a=－4，b=－3【答案】C【分析】说明是假命题，只需举一个反例即可，作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断即可．【详解】解：A选项和D选项中，a＜b，不满足条件，不能作为反例，不符合题意；B选项中，a=4，b=3，满足a>b，也满足a2>b2，不能作为反例，不符合题意；C选项中，a=－3，b=－4，满足a>b，a2＜b2，能作为反例，符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了命题与定理；熟记：要判断一个命题是假命题，举出一个反例就可以．2．（2022秋·浙江金华·八年级统考期中）有下列四个命题：①对顶角相等；②同位角相等；③两点之间，直线最短；④连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．其中是真命题的个数有（

）A．0个 B．1个 C．2个． D．3个【答案】C【分析】根据对顶角的性质、线段的性质、平行线的性质、垂线段的性质进行解答即可．【详解】解：①对顶角相等，原命题是真命题；②两直线平行，同位角相等，不是真命题；③两点之间，线段最短，原命题不是真命题；④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，原命题是真命题．故选：C．【点睛】此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．3．（2022秋·浙江杭州·八年级统考期末）对于命题“如果∠1与∠2互补，那么∠1=∠2=90°”，能说明这个命题是假命题的反例是（

）A．∠1=80°，∠2=110° B．∠1=10°，∠2=169°C．∠1=60°，∠2=120° D．∠1=60°，∠2=140°【答案】C【分析】根据反例和互补的定义逐项分析即可．【详解】解：A.∵80°+110°=190°，∴∠1与∠2不互补，∴不能作为说明这个命题是假命题的反例；B.∵10°+169°=179°，∴∠1与∠2不互补，∴不能作为说明这个命题是假命题的反例；C.∵60°+120°=180°，∴∠1与∠2互补，但∠1D.∵60°+140°=200°，∴∠1与∠2不互补，∴不能作为说明这个命题是假命题的反例；故选C．【点睛】本题考查了反例的定义，以及互补的定义，具备命题的条件，而不符合命题的结论就可以了，这样的例子叫做反例．4．（2022秋·浙江绍兴·八年级校联考期中）对假命题“若a>b，则a2>b2A．a=-1，b=2 B．a=2，b=-1 C．a=-1，b=0 D．a=-1，b=-2【答案】D【分析】根据有理数的大小比较法则、有理数的乘法法则计算，根据假命题的概念判断即可．【详解】解：当a=-1，b=-2时，a>b，则a2∴若a>b，则“a2故选：D．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．5．（2023秋·山东菏泽·八年级统考期末）下列四个命题，其中为真命题的是（

）A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等．B．三角形的一个外角大于任何一个内角．C．无限小数都是无理数．D．如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2．【答案】D【分析】根据命题的真假，平行线的性质，三角形外角的性质，无理数的概念和对顶角的概念求解即可．【详解】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C、无限不循环小数都是无理数，故原命题错误，是假命题，不符合题意；D、如果∠1和∠2是对顶角，那么故选：D．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质，三角形外角的性质，无理数的概念和对顶角的概念，难度不大．二、填空题1．（2023春·广西河池·八年级统考期中）命题“若a2=b2，则a=b．”是命题（填“真”或【答案】假【分析】根据题设可得a=±【详解】解：∵a2∴a=∴原命题是假命题，故答案为：假．【点睛】本题考查了判断真假命题，熟练掌握相关知识是解题的关键．2．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）判断命题“若a2=4，则a=2”是假命题，需要举出的反例是【答案】当a=-2时，满足a【分析】根据举反例的要求举出满足题设，但是不满足结论的例子即可．【详解】解：∵当a=-2时，满足a2∴“若a2=4，则a=2”是假命题的反例为：当a=-2时，满足故答案为：当a=-2时，满足a2【点睛】本题主要考查了乘方、命题以及证明，熟知举反例的要求举出满足题设，但是不满足结论的例子是解题的关键．3．（2022秋·浙江杭州·八年级期末）命题“如果a=b，那么|a|=|b|”命题是命题．（填“真”或“假”）【答案】真【分析】根据题意可直接进行求解．【详解】解：命题“如果a=b，那么|a|=|b|”命题是真命题；故答案为真．【点睛】本题主要考查真假命题，解题的关键是熟记相关概念．4．（2022秋·浙江·八年级期中）将命题“两个全等三角形的面积相等”写成“如果，那么”．【答案】两个三角形全等这两个三角形的面积相等【分析】根据如果的后面是条件，那么的后面是结论，即可求解．【详解】解：将命题“两个全等三角形的面积相等”写成“如果……，那么……”形式为如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．故答案为：两个三角形全等；这两个三角形的面积相等【点睛】本题主要考查了命题的“如果……，那么……”形式，熟练掌握如果的后面是条件，那么的后面是结论是解题的关键．5．（2022秋·浙江·八年级期中）将命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”改写成“如果…那么…”的形式．【答案】如果一个三角形是直角三角形，那么它斜边上的中线等于斜边的一半【分析】由题意将命题的条件改成如果的内容，将命题的结论改为那么的内容进行分析即可．【详解】解：将命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”改写成“如果…那么…”的形式为：如果一个三角形是直角三角形，那么它斜边上的中线等于斜边的一半．故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它斜边上的中线等于斜