2024高考数学讲义：平面向量与复数

2024高考数学湫：平面向量与复数

目录

1.平面向量的概念及线性运算........................................1

2.平面向量的基本定理及坐标表示...................................12

3.平面向量的数量积与平面向量应用举例............................22

4.复数..........................................................37

1.平面向量的概念及线性运算

课程标准考向预测

1.通过力和力的分析等实例，了解

向量的实际背景，理解平面向量和向量

相等的含义，理解向量的几何表示.考情分析：平面向量的相关概念，

2.通过实例，掌握向量加、减法的平面向量的线性运算，共线向量定理及

运算，并理解其几何意义.其应用仍是高考考查的热点，题型仍将

3.通过实例，掌握向量数乘的运算，是选择与填空题.

并理解其几何意义，以及两个向量共线学科素养：数学运算、直观想象、

的含义.数学抽象.

4.了解向量的线性运算性质及其几

何意义.

❷嫌分步落实

精梳理、巧诊断，过好双基关

V学生用书P89

I整知识I................................................

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方面的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模.

⑵零向量：长度为。的向量，其方向是任意的.

⑶单位向量：长度等于1个单位的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量.规定：0与任一

向量共线.

(5)相等向量：长度相等且方向相圆的向量.

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.

［注意］单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a

平行的单位向量有两个，即向量言和一言.

2.向量的线性运算

定义法则(或几何意义)运算律

(1)交换律：

a~\~b=b~Va

加求两个向三角形法则

(2)结合律：(a

法量和的运算

+b)+c=a+(b+

平行四边形法则

向量a加

上向量b的相

减。一力=a+(一

反向量叫做Q

法b)

与b的差，即a三角形法则

+(—b)=a-b

设九〃是实

⑴模：|Aa|=|z||a|

数.

⑵方向:

实数A与(lUfaa)=

当2>0时，4a与。的方向相

数向量a的积是(〃/)a

回；

乘一个向量,记作(2)Q+〃)a=

当k0时，4a与a的方向相

Xaa

反；

(3)23+。)=

当2=0时，

劝

3.共线向量定理

向量a(aWO)与。共线，当且仅当有唯一一个实数儿，使

1.三点共线的等价转化

A,P,8三点共线=协=AABGWO)c罚=(1-/)OA+tOB(0为平面

内异于A,P,B的任一点，PR)。源=xOA+yOB(0为平面内异于A,P,

B的任一点，x£R,y£R,x+y=1).

2.向量的中线公式

若P为线段AB的中点，。为平面内一点，则罚=1(OA+OB).

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)|«|与1"是否相等与处方的方向无关.()

(2)若a〃方，b//c,贝lja〃c.()

(3)向量箱与向量诙是共线向量，则A,B,C,D四点在一条直线上.()

(4)当两个非零向量a,〃共线时，一定有8=痴，反之亦成立.()

答案：(1)J(2)X(3)X(4)V

2.如图，设P,。两点把线段A3三等分，则下列向量表达式错误的是()

A.APABB.AQ=1AB

3上3

2

C.BP=一1ABD.AQ=BP

D［由数乘向量的定义可以得到A,B,C都是正确的，只有D错误.］

3.（必修4P86例4改编）如图，QABCO的对角线交于M,若筋=a,AD=

b,用a,b表示MD为（）

1,1,c11,

A.5a十］bB.5Q—2b

C.一；a~\bD.—；a+gb

D[MD=TBD(AD—AB)=：(/?—a)=—1a+：b.]

4.(必修4P87练习T2改编)化简：

(l)(Afi+MB)+B0+0M=；

⑵版+QP+MN-MP=.

解析：(1)原式=箱+B0+OM+MB=AB.

(2)原式=沛+PN=0.

答案：⑴加(2)0

5.已知a与8是两个不共线向量，且向量Q+劝与一(万一30共线，则％=

{X=­k,

解析：由题意知存在女WR,使得a+2>=女[一(万一3a)],所以:解

[1=3攵，

〈学生用书P90

平面向量的基本概念

[题组练透]

1.设。是非零向量，儿是非零实数，下列结论正确的是()

A.a与一痴的方向相反B.\—ka\'^\a\

C.。与乃a的方向相同D.|-za|=R|a

C[当4<0时，a与一痴的方向相同，所以选项A错误；当囚<1时，选项

B不成立，所以选项B错误；因为2是非零实数，所以N>0,因此。与乃a的方

向相同，所以选项C正确；又因为|一痴|是一个实数，是一个向量，所以选

项D错误.]

2.给出下列命题:

①零向量是唯一没有方向的向量;

②零向量的长度等于0;

③若都为非零向量，则使言+A=0成立的条件是。与）反向共线.

l«lI"

其中错误命题的个数为（）

A.0B.1

C.2D.3

B[①错误，零向量是有方向的，其方向是任意的；②正确，由零向量的定

义可知，零向量的长度为0；③正确，因为言与白都是单位向量，所以只有当

言与看是相反向量，即。与方反向共线时才成立.]

3.（多选）给出下列命题，不正确的有（）

A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同

B.若A,B,C,。是不共线的四点，且拔=DC,则ABC。为平行四边

形

C.。=分的充要条件是⑷=|回且

D.已知九4为实数，若〃=9，则。与方共线

ACD[A项错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两

个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B项正确，因为屈=DC,所以|油

|=|DC|且筋〃比，又A,B,C,。是不共线的四点，所以四边形ABCO为

平行四边形；C错误，当a〃）且方向相反时，即使同=|例，也不能得到。=万，

所以⑷=|加且。〃分不是。=方的充要条件，而是必要不充分条件；D项错误，当

2=〃=0时，a与b可以为任意向量，满足痴=〃），但Q与。不一定共线，故选

ACD项.]

向量有关概念的四个关注点

（1）平行向量就是共线向量，二者是等价的；

非零向量的平行具有传递性；

相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；相等向量具有传递

性.

(2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负

实数，可以比较大小.

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它

与函数图象的平移混为一谈.

(4)非零向量”与言的关系：言是与。同方向的单位向量.

1«11«1

平面向量的线性运算

(1)(2020.长沙市统一模拟考试)如图，在正方形ABC。中，E是。。的

中点，点F满足前=2丽，那么浙=()

A.AB—IADB.1AB+；AD

；丽；

C.ABADD.+AD

(2)在锐角AABC中，CM=3MB，AM=xAB+yAC(x,y《R),贝2=

y

解析：(1)因为E为。。的中点，所以比=；DC.因为汴=2FB,所以

CF=|CB.所以前=EC+CF=gDC+|CB=；AB+|DA=gAB

2.

一QAD,故选C.

rr—3f—3f_>,3

(2)由题设可得翁/=CM—CACB+AC(AB—AC)+AC

AB+|Ac,

31x

则x=W，y=4，故,=3.

答案：(1)C(2)3

平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略

(1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则.

(2)求已知向量的和或差.共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三

角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则.

(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出

来，与含参数的表达式进行比较，求出参数的值.

1.(多选)化简下列各式结果为0的是()

A.AB+BC+CA

B.AB-AC+BD-CD

C.OA+0D+AD

D.NQ+QP+MN-MP

ABD[AB+BC+CA=AC+CA=0；

AB-AC+BD-CD=AB+BD+DC+CA=0

OA+OD+AD=OA+AD+OD=2OD

NQ+QP+MN-MP=NQ+QP+PM+W=0,故选ABD.]

2.(2020•吉林梅河口五中模拟)在△ABC中，延长8C至点M使得BC=2CM,

连接AM,点N为AM上一点且病=|AM,若病=2AB+〃危,则2+〃

=()

A.|；

C.-2D.—

A[由题意，知病=?AM=；(AB+BM)=4AB+〈XyBC=；

AB+'(AC—AB)=—7AB+1AC,所以％=—；，〃,则2+〃=},

2o2o2厂3

故选A.]

共线向量定理及其应用讲练型

设两个非零向量a和万不共线.

(1)若筋=a+b,BC=2a+Sb,CD=3(a—b).求证：A,B,。三点共线;

(2)试确定实数上,使ka+5和a+必共线.

解析：(1)证明：因为油=a+b,BC=2a+Sb,CD=3(a—》)，

所以说)=BC+CD=2a+Sb+3(a~b)=5(a+b)=5AB,

所以屈，BD共线.

又施与防有公共点B,

所以A,B,。三点共线.

(2)因为ka+b与a+kb共线，

所以存在实数九使①+〃=/1(Q+奶)，

k=2,

即，一，解得Z=±1.

即k=±l时，ka+b与a+kb共线.

?归纳升华

共线向量定理的应用

(1)证明向量共线，对于向量a,b,若存在实数人使。=劝，则。与》共线.

(2)证明三点共线，若存在实数九使屈=Z4C,则A,B,C三点共线.

(3)求参数的值，利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值

(如本例(2)).

［提醒］证明三点共线时，要说明共线的两向量有公共点(如本例(1)).

1.在四边形A3CO中，AB=a+2b,BC=~Aa~b,CD=-5a~3b,则

四边形ABC。的形状是()

A.矩形B.平行四边形

C.梯形D.以上都不对

C［由已知，得疝=AB+BC+CD=-Sa-2b=2(-4a~b)=2BC,

故疝//BC.又因为福与而不平行，所以四边形ABCO是梯形.］

2.已知P是△ABC所在平面内的一点，若浦=XPA+PB,其中2GR,

则点尸一定在（）

A.△ABC的内部B.AC边所在直线上

C.边所在直线上D.BC边所在直线上

B［由丽=2/+PB得宓-PB=2或，&=2戌.则加，PA为共

线向量，又加，PA有一个公共点P,所以C,P,A三点共线，即点P在直线

AC上.］

3.（变条件）若将本例⑴中（（BC=2a+8b”改为UBC=a+mb”，若A,B,

。三点共线，则〃z=.

解析：BC+CD=（。+，泌）+3（。-6）=4a+（m—3）万，即8。=4a+（m—

3）b.

若A,B,。三点共线，则存在实数人使筋,

即4a+（"?-3）b=2（a+b）,

4=A

•U.一解得〃2=7.

m-3=x,

故当〃?=7时，A,B,。三点共线.

答案：7

4.（变结论）若将本例⑵中的“共线”改为“反向共线"，则％=.

解析：因为kz+方与a+@反向共线，

所以存在实数九使总+方=/。+妨）（2<0）,

伙=2,

所以k1

-一=1,

所以k=±l.

又AVO,k=X,所以女=-1.

故当k=-l时两向量反向共线.

答案：一1

微专题系列22［交汇创新］

定义两个平面向量的一种运算。鲂=MHMsin〈0,b),则关于平面向量

上述运算的以下结论中，

Qaeb=b®a；

②X(a®b)=；

③若a=Xb,则。纳=0；

④若a=劝且2>0,则(a+b)®c=(o®c)+S^c).

正确的序号是.

解析：①恒成立；②2(。她)=川〃|•网sin〈a,b},

(2a)M=|4a|・|Msin〈。,b),当A<0时，

A(a汕)=(2a)她不成立；

③。=/1瓦则sin〈a,b)=0,故〃M=0恒成立;

@a=Ab9且不>0,则Q+B=(1+Q仇(a+b)®c=|(l+Q|步|•|c|sin<b,c〉，

(於c)+(旅O=|初・|c|sin(b,c)+步|•|c|sin〈b,c〉=

|l+2仙Hc|sin〈b,c〉，

故(a+b)®c=(mc)+S®c)恒成立.

答案：①③④

NSfe本例是新定义下平面向量的运算，解答本题关键是把此定义运算

转化为我们所学的平面向量数量积运算，命题便可判断.

变式训练

定义平面向量的一种运算aOb=|a+回X|a—b|Xsin[a,b),其中〈a,b)

是。与8的夹角，给出下列命题：

①若〈a,b)=90°,则aQb=a1+b2；

②若同=步|,则(a+6)。(a一方)=4a如

③若⑷=|加，则aQb^2\a\2；

其中真命题的序号是.

解析：①中，因为〈a,b1=90°,则aOA=M+"X|a—"=屋+瓜，所

以①成立；

②中，因为|a|=\b\,所以〈(a+b),(a—b))=90°,所以(a+b)O(Q—b)

=\2a\X\2b\=4\a\\b\,所以②不成立;

③中，因为同=|例，所以aOZ>=|a+A|X|a一回Xsin(a,b)W|a+A|X|a一

22

.|a+Z>|+|a-6|,匕「上、

b\^----弓----L=2|a|2,所以③成立；

答案：①③

［友情提示］每道习题都是一个高考点，每项训练都是对能力的检验，认真

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2.平面向量的基本定理及坐标表示

课程标准考向预测

1.理解平面向量的基本定理及其意

义.考情分析：平面向量基本定理及

2.借助平面直角坐标系掌握平面向其应用，平面向量的坐标运算，向量共

量的正交分解及其坐标表示.线的坐标表示及其应用仍是高考考查的

3.会用坐标表示平面向量的加法、热点，题型仍将是选择与填空题.

减法与数乘运算.学科素养：数学运算、直观想象、

4.理解用坐标表示的平面向量共线数学抽象.

的条件.

❷0分步落实精梳理、巧诊断，过好双基关。

〈学生用书P92

]^32ir、|>>>

1.平面向量基本定理

如果勾，62是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向

量。，有且只有一对实数力，42,使a=4幺土及纥.

其中，不共线的向量臼，62叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

2.平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设”=(九I,yi),b=(x2,yi),则

a+Z>=(xi+x2,vi+y2),a—b=(xi-X2,yi—V2),

♦a=Clxi,儿yi),.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设A(xi,yi),8(x2,yi),

则AB=(X2—XI,丫2一丫1),

\AB|=A/(尤2-xi)2+(y2—yi/.

3.平面向量共线的坐标表示

设a=(xi,yi),>=(X2,yi),其中)#0.

a//b<=>xiV2X2Vi=0.

［注意］当且仅当X2y2Ho时，a//b与？=?等价.

xiy2

即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例.

?常用结论

1.向量共线的充要条件的两种形式

(1)。〃方ob=〃(aW0,4GR)；

(2)a〃》=xiy2—X2yi=0(其中a=(xi,yi),b=(x2,")).

2.已知△ABC的顶点A(xi,yi),8(x2,yi),C(X3,”)，则△ABC的重心G

的坐标为.

I练基础I...............................»>

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()

(2)在△ABC中，向量油，BC的夹角为NABC()

(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的.()

(4)若a=(xi,yi),。=(必"),则a〃》的充要条件可表示成?=合.()

X2yi

(5)若a,方不共线，且；ha+〃山=22。+〃2〃，则为=%2,〃i="2.()

答案：(1)X(2)X(3)X(4)X(5)V

2.(必修4P101习题T5改编)已知向量a=(4,2),b=(x,3),且a〃4则

x的值是()

A.-6B.6

C.9D.12

B［因为a〃b,所以4X3—2x=0,所以x=6.］

3.(必修4P101练习T6改编)设P是线段PP2上的一点，若是(1,3),P2(4,

0)且P是线段PR的一个三等分点(靠近点Pi),则点P的坐标为()

A.(2,2)B.(3,-1)

C.(2,2)或(3,-1)D.(2,2)或(3,1)

A[由已知PiP=gP1P2,PIP2=(3,-3).

设y),则(x-l,y—3)=(1,-1),所以无=2,y=2,点P(2,2).]

4.已知点A(0,1),B(3,2),向量危=(-4,-3),则向量比=.

解析：根据题意得屈=(3,1),

：.BC=AC-AB=(-4,-3)-(3,1)=(—7,-4).

答案：(-7,-4)

5.已知向量〃=(2,1),6=(1,—2),若小。+油=(9,一8)(机，〃£R),则

m—n的值为.

解析：*.*ma+nb=(2m+n,加一2〃)=(9,—8),

2m+〃=9,[m—2,

・V•V

m-2n=-8,[〃=5.

:・m—n=2-5=-3.

答案：一3

6❺分类突破微点拨、多维练，研:

V学生用书P93

平面向量基本定理及其应用讲练型

区向（1）（多选）（2020・文登区期中）四边形A8C。中，AB//CD,ZA=90°,

AB=2AD=2DC,

BC=3EC,AE=2AF,则下列表示正确的是()

A.CB=-1AB+AD

B.AF=|AB+|AD

C.CFAB—|AD

D.BF=—|AB+|AD

(2)如图，已知口ABC。的边BC,CO的中点分别是K,L,且病=ei,AL=

e2,试用e\,e2表示8c,CD.

解析:由已知四边形ABCD如图所示:

由图可得:

11

+荏+++

DA--2--2-AB

DA,故A错误.

AF=gAE=；(AB+BE)=g(AB+|BC)=；AB+；BC=gAB

+g1—3屈+Ab)=(7—i)屈+；疝=3Afi+'AD,B正确.

CF=CD+DA+AF=—ABAD+；AB+1AD=-AB—|

AD,C错误.

ii91

BF=AF-ABABAD~AB=~^ABAD,D正确.故选

BD.

(2)设比=a,CD=b,则城=|a,DL=~^b.

由油+BK=AK,AD+DL=AL,

—8+%=ei,①

{a—^b=ei,②

①+②义(-2),得］a—2a—e\—2ei,

224

即。=­M(ei-2e2)=-qei+gei,

24

所以BC=—gei+ge2.

2

同理可得办=q(—2ei+e2),

即⑦=—3ei+|C2.

答案：(1)BD

博归纲升华

平面向量基本定理的实质及解题思路

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形

法则进行向量的加、减或数乘运算.

(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该

基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.

变式训练

1.(2020•安徽阜阳质量诊断)如图，若宓=a,OB=b,OC=c,B是线

段AC靠近一点C的一个四等分点，则下列等式成立的是()

2,1r4,,1

A.c=§4aB.c=§〜十父a

4121

C.c=QZ>—aD.c=28+%a

C[由题意得，c=5t=OB+BC=OB+1AB=OB+|(OB-OA)

4一1一41

=1OB—§OA=§》一gA.故选C.]

2.已知在△ABC中，点。满足次+OB+OC=0,点P是。。上异于端

点的任意一点，且舁=mOA+nOB,则加+〃的取值范围是.

解析：依题意，设舁=见而

由。X+OB+OC=0,知庆=-«9A+OB),

所以泳=~AOA-XOB.由平面向量基本定理可知，

m+n=—22,所以机+〃£(—2,0).

答案：(一2,0)

平面向量的坐标运算自练型

［题组练透］

1.已知AB=(1,-1),C(0,1）,若⑦=2AB,则点。的坐标为（）

A.(一2,3)B.(2,-3)

C.(-2,1)D.(2,-1)

D［设D(x,y),则加=(x,y—1),2AB=(2,-2),根据前=2AB,

得(x,y—1)=(2,—2),

x=2,x=2,

即C解得,故选D.］

)—1=-2,〔尸一1，

2.（2020•福建三明第一中学月考）已知a=（5,—2),6=(—4,—3),若a

2b+3c=0,则c的坐标为（）

138'

A.L3.B.

3'X

134'4'

C.D.

3,

D［设c=(x,y).因为a—2〃+3c=0,所以(5,—2)—2(—4,—3)+3(%,))

r13

x=一了,

13+3x=0,

=(0,0),即(5+8+3x,—2+6+3y)=(0,0),所以，4+3尸0,解得

4

产一亍

134'

所以c=|一，

3,

3.（一题多解）如图，在正方形ABCD中，M,N分别是3C,

CD的中点，若危=AAM+fiBN,则％+〃=.

解析：法一：以AB,AO所在直线分别为x轴，y轴，建

立平面直角坐标系，如图所示，

设正方形的边长为1,则俞=fl,1C41)，

,BN

AC=(1,1),

VAC=/.AM+1.1BN

」5,

2

〃=亍

4+^=1.

法二：由巍=ABAD,BN=-3AB+AD,得危=AAM+fiBN

=(一?AB+g+“AD,又危=AB+AD,

A】,p4g

•••\解得J2••〃+〃=>

丁〃=1，1^=5-

答案：|

/练后悟通

向量坐标运算问题的一般思路

(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来

进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角

坐标系，使几何问题转化为数量运算.(如题3)

(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运

算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程

中要注意方程思想的运用.(如题3)

平面向量共线的坐标表示讲练型

ET2](1)(2020•河南、河北重点高中段考)已知向量，篦=(2+1,1),〃=(/1+2,

2),若(2/n+〃)〃(/则2=()

A.-1B.0

C.1D.2

(2)已知向量OA=伏,12),OB=(4,5),OC=(一匕10),且A,B,C三

点共线，则实数%的值是()

A--3B--3

C.；D.I

(1)B(2)A[(1)因为2m+〃=(32+4,4),机一2〃=(一丸一3,-3),且(2机

+n)//(m-2n),所以(一3>(34+4)—4•(一•一3)=0,解得2=0.故选B.

(2)AB=丽-OA=(4—k,-7),AC=OC~OA=(~2k,-2).

；A,B,。三点共线，：.AB,AC共线，

「・一2X(4_lc)=-7X(-2k),

解得攵=一2号.]

恸归纳升华

平面向量共线的坐标表示问题的解题策略

(1)利用两向量共线求参数：如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，

则利用“若a=(xi,ji),b=(x2,”)，则a〃分的充要条件是xiy2=X2yi”解题比

较方便.

(2)利用两向量共线的条件求向量坐标：一般地，在求与一个已知向量。共

线的向量时，可设所求向量为痴(AGR),然后结合其他条件列出关于丸的方程,

求出A的值后代入痴即可得到所求的向量.

(3)三点共线问题.A,B,。三点共线等价于油与庆共线.

变式训练

3

已知向量。〃且〃力，若均为正数，则：

1.=(3,—2),=(x,y—1),ax,y4

十2:的最小值是()

85

A.24B.8C.D.

B［因为。〃从所以一2%—3&-1)=0,化简得2x+3y=3,又因为x,y均

为正数,所以:+~=(|+|)><|(2x+3y)=|义(6+?+与+6)*X(12+

2、件W)=8,当且仅当?=当时,等号成立.所以1十:的最小值是81

\jyAyy

2.已知向量0=(1,1),点A(3,0),点8为直线y=2x上的一个动点，若油

//a,则点8的坐标为.

解析：设B(x,lx),则卷=(x—3,lx),因为屈//a,所以x—3—2x=0,

解得x=-3,所以5(—3,—6).

答案：(-3,—6)

微专题系列23［思想方法］

巧借坐标系一一提升运算能力

如图，在边长为4的正方形A3Q9中，动圆。的

半径为1,圆心Q在线段8C(含端点)上运动，尸是圆。上及

内部的动点，设向量能=mAB+nAD(m,〃为实数)，则加

+〃的取值范围是()

A.［1—乎,2+阴B,2+坐

C1］D.1—乎,I

A［如图建立平面直角坐标系，则屈=(4,0),AD=(0,4),AP=mAB

+nAD=(4孙4〃),设(2(4,t),r£［0,4］,则P在圆(x

-4)2+(y-r)2=l上，设尸(4+cos0,t+sin0),则

4+cos。=4m,

<4机+4〃=4+/+啦sin［夕+工］，

j+sin9=4〃，

,5n

当r=0,0=—时，机+〃取得最小值1—,当r=4,

0=~^时，〃?+〃取得最大值2+/，所以m+n的取值范围是口一乎，2+

乎1-1

，名师点评

巧建系妙解题，常见的建系方法

(1)利用图形中现成的垂直关系

若图形中有明显互相垂直且相交于一点的两条直线（如矩形、直角梯形等）,

可以利用这两条直线建立坐标系；

（2）利用图形中的对称关系

图形中虽没有明显互相垂直交于一点的两条直线，但有一定对称关系（如：

等腰三角形、等腰梯形等），可利用自身对称性建系.建立平面直角坐标系的基

本原则是尽可能地使顶点在坐标轴上，或在同一象限.

变式训练

如图2,“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点。且三组对

边分别平行.点A,B是“六芒星”（如图1）的两个顶点.动点P在“六芒星”

上（内部以及边界），若种=xOA+yOB,则x+y的取值范围是（）

C［如图建立平面直角坐标系，

令正三角形边长为3,则为=i,0A=—|J,

可得方，/=平0A+^3为，由图知当P在C点

时有，0P=事j=20A+30B,此时x+y有最大值5,同理点P在与。相对

的下顶点时有泳=一小j=-20A-3OB,此时x+y有最小值一5」

「友情提示］每道习题都是一个高考点，每项训练都是对能力的检验，认真

对待它们吧！进入“课时作业（三十）"，去收获希望，体验成功！本栏目内容以

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3.平面向量的数量积与平面向量应用举例

课程标准考向预测

1.通过物理中“功”等实例，理解

平面向量数量积的含义及其物理意义，

体会平面向量的数量积与向量投影的关

系.考情分析：平面向量数量积的概

2.掌握数量积的坐标表达式，会进念及运算，与长度、夹角、平行、垂直

行平面向量数量积的运算.有关的问题，平面向量数量积的综合应

3.能运用数量积表示两个向量的夹用仍是高考考查的热点，题型仍将是选

角，会用数量积判断两个平面向量的垂择题与填空题.

直关系.学科素养：数学运算、逻辑推理、

4.会用向量方法解决某些简单的几数学抽象.

何问题，力学问题与其他一些实际问题，

体会向量在解决数学和实际问题中的作

用.

❷等分步落实

精梳理、巧诊断，过好双基关。

V学生用书P95

I整知识I...............................»>

1.向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量。和4作宓=a,OB=b,则NAOB就是向

量a与小的夹角.

(2)范围：设。是向量a与方的夹角，则0°W〃W180°.

(3)共线与垂直：若。=0°,则a与9同向;若9=180°,则a与3反向;

若。=90°,则a与此垂直.

［注意］只有两个向量的起点重合时所对应的前才是两向量的夹角.

2.平面向量的数量积

设两个非零向量a,8的夹角为仇则数量㈤依cos，叫做a与1

定义

的数量积，记作。功

㈤cos.〃叫做向量a在8方向上的投影，

投影

依cos，叫做向量)在a方向上的投影

何数量积a*b等于a的长度间与方在a的方向上的投影囹cos_。的

意义乘积

3.平面向量数量积的性质

设m5都是非零向量，e是单位向量，。为a与伙或e)的夹角.则

(l)e・a=a・e=|a|cos0.

(2)a_Lbo。8=0.

(3)当。与方同向时，a-b=\a\-\b\；

当a与》反向时，a-b=~\a\-\b\.

特别地，或者㈤=、后.

q*b

GM"国

(5)a-b^\a\\b\.

4.数量积的运算律

(1)交换律:ab=ba.

(2)数乘结合律：aa)b=A(a-b)=aqb).

(3)分配律：(a+b)-c=ac+bc.

5.平面向量数量积的坐标表示

设向量a=(xi,yi),b=(X2,yi),向量a与6的夹角为仇贝U

数量积a-b=x\xi+y\y2

模⑷=q於+yi

龙1尤2+)'1>2

夹角8s5+4证+族

向量垂

直的Q_L〃Oa・b=00XLX2+yiy2=0

充要条

件

平常用结论

1.求平面向量的模的公式

(1)a2=a-a=|a|2^c|a|=y[a-a=亚；

(2)|a±6|=\](a±b)2=-\]a2±2a'b+b2；

(3)若a=(x,y),则⑷.

2.有关向量夹角的两个结论

(1)两个向量a与5的夹角为锐角，则有。山〉0,反之不成立(因为夹角为0

时不成立)；

(2)两个向量。与5的夹角为钝角，则有a山<0,反之不成立(因为夹角为“时

不成立).

I练基础I...............................»>

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“义”)

(1)两个向量的数量积是一个实数.()

(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.()

(3)由。力=0可得a=0或5=0.()

(4)(。2)c=a(万c).()

(5)两个向量的夹角的范围是[o,72Tj-()

答案：(1)7(2)V(3)X(4)X(5)X

2.(必修4P107例6改编)设a=(5,—7),。=(一6,。，若a仍=-2,则/

的值为()

A.-4B.4

「32「32

C.万D.—y

A[因为a•力=5义(-6)—7t=-2,所以，=—4.]

3.(必修4P108习题T6改编)已知闷=2,\b\=6,a力=一6小，则a与。

的夹角。为()

-2兀-5兀

C-TD-~6

D[cos6，=nj77=o咤=一半，又0W6W兀，贝1J.]

\a\\b\2X62o

4.设向量a=(l,0),6=(—1,tri),若a_L(加a一5)，则〃?=

解析：a=(l,0),b=(—1,m),则机a—b=(加+1,lm).

由6)得a(ma—b)=0,

即〃z+l=0,m——1.

答案：一1

5.已知同=5,\b\=4,。与〃的夹角。为120°,则向量