高中数学-数形结合思想在高中数学中的应用教学设计学情分析教材分析课后反思

数形结合思想在高中数学中的应用

教学设计

一、课型：二轮复习专题课

二、设计意图：

通过平时作题反映的情况来看：学生对“数形结合思想”掌握很不到位。主要体现在几个方

面：

a.脑子中缺少数形结合思想，单纯地用表达式进行求解，既费时费力，有时还不一定能解出

来，而且作为选择填空题，这样肯定是行不通的。

b.想到用数形结合，但观察表达式又不知道函数的图象是什么，因此也无从下手。

c.知道函数的图象但由于画图不熟练，或细节考虑不周，导致结果错误。

针对这种情况,为了加大同学们对数形结合思想的重视程度，以及学会能够大胆去构造函数,

分析函数的图象然后利用数形结合思想解决问题，为此设计了这节课。

三、学习目标：

(1)学会利用数形结合的思想来破解不等式中的问题；

(2)学会利用数形结合的思想来破解函数中的问题.

四、教学重点：理解“数形结合”思想的实质，有效掌握该类问题的基本技能。

五、教学难点：利用“数形结合”思想，通过“以形助数”，使复杂问题简单化，抽象问题

具体化，能够变抽象思维为形象思维.

六、设计思路：

授课前一天利用自习学生自主训练有关数形结合的习题，从批改情况来看，学生掌握并不理

想。从学生出现问题最多的题中抽出两类题型作为专题来分析：下面是两类题型中的四道题。

(-)利用数形结合思想破解不等式中的问题

1.若不等式log；>(a>0且a=1)对任意xe(0,?)都成立，则a的取值范围

是

A、(0,f)B、目1)C、仔，f)D、(0,1)

2.不等式\2x-x->kx+k(k为常数)的解集不为空集，则k的取值范围是()

A、(-8,y]B、[o,y]C、[o,1]D、(-8,j]

(二)利用数形结合思想破解函数中的问题

1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x^O时f(x)=,',

,1-|x-3|,xe口,+°0)

则关于x的函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为()

A、2a-1B、2—1C、l-2-aD、l-2a

2.若实数a满足X+IgX=4,实数b满足X+IO*=4,函数

f(x)=占+(a+b)x+2x<0，则关*的方程f(x)=x的根的个数为

12x>0

()

A、1B、2C、3D、4

七、教学过程：

1、自主探究：学生在卷子发下来的时候，就自己分析了一部分，课堂上再稍微给点时

间，能自己解决的问题基本完成。

2、小组合作：自己解决不了的以组为单位相互讨论，相互解答，基本上能找到正确的

思路。3、学生与教师一起点评：小组讨论也有局限性。比如有些同学的作法为什么不

对，或者其他作法能不能行得通？或者有些题为什么这么想？另外各组成员水平不一,

有些小组的解法并不一定符合要求？然后以学生为主体，教师为主导，分析这四道题的

各种解法以及学生出现问题的原因。

第一、二题是这节课的第一个学习目标。

(1)第一题学生当时选A的比较多。课堂上让学生讲解此题的作题思路，老师根据学

生思路打开几何画板，通过动画演示,让学生直观地看到当a>l和0〈a〈l的图象的变化，

以及当0<a<l时，图象移动到满足题意，直观形象。这一步涉及到分类讨论的思想，然

后解对数不等式，这一步学生忽略了函数的单调性及区间端点的等号问题。

在此我设计一个问题：若区间换成(0,三，答案有什么变化？让同学们注意端点问题。

(2)第二题学生选B的比较多或有些同学无从下手。究其原因，一是方法不对，二是

不知图象是什么？对此，课堂上让有不同想法的学生讲讲自己的作法，正确的加以表扬，

不正确的让其他同学帮助寻找原因。一种作法是分离变量，转化成不等式有解问题，这

种思路是正常思路,计算量比较大。第二种方法是数形结合,是我们这节课提倡的方法，

但学生忽视了这是不等式，kWO都成立。第三种方法是两边平方，转化成含有字母的二

次不等式有解问题，但因为学生容易忽视定义域，分类讨论，所以导致错误。实际上这

种方法也行得通，需用图象定位法来解决，但是比较复杂，学生接受起来也很难，所以

一点带过。通过比较，学生可以知道哪种方法好，哪种方法行不通，讨论问题要注意的

事项，在以后的学习中引起高度重视。

针对学生用数形结合出现的问题设计了一个问题：若不等号换成等号，结果如何？加深

学生对自己错误的更一步理解。

第三、四题是这节课的第二个学习目标。

(1)从批改上可以发现第一个问题是学生画x21的图象不是很好，课堂上让学生讲解

一是可以了解学生作图的思路，二是可以指导其他的作图思路。作图方法1、去掉绝对

值。方法2、取特殊值法(学生需要掌握这种思路)。方法3、由特殊函数平移得到。第

二个问题是X6(-L0],f(x)表达式的求法，这是此题关键所在。也可以转化成

xe[0,1),f(x)=-a,(转化思想)然后根据奇函数的性质求出x的值。这是需要指

导学生作图思路及技巧，并且课堂上通过几何画板演示更易理解。

(2)此题的问题出在1、学生变形不到位。需要构造三个函数y=10x,y=Igx,y=4-x

这三个函数，几何画板画出这三个函数的图象，然后一起分析指数函数与对数函数的特

点一一关于y=x对称，y=x与y=4-x互相垂直，强调：注意这些隐含条件的应用，根据

这些条件求出a+b的值，再利用直接求解或图象法判断根的情况。用图象法要注意图象

的准确性。

4、自主纠错。

5、学生自主总结本节课的收获，老师提出建议：1、平时作题要有数形结合的意识；(2)

要有胆量构造新的函数，大胆变形，转化成熟悉的函数；(3)注意作图细节。

6、检测当堂掌握情况

1.已知a是方程x+logf=2的根，而B是方程x+2x=2的根，求a+8

2.若不等式］og：<sin2x（a〉0且aH1）对任意X€—,二）都成立，求a的取值

范围

最后引用著名数学家华罗庚先生对数形结合的评价。“数缺形时少直观，形少数时难入微;

数形结合百般好，隔裂分家万事非”作为本节课的结束语。

数形结合思想在高中数学中的应用

学情分析

数学结合思想在高考中占有非常重要的地位，如果能巧妙地运用数学结合的思想，可以

达到事半功倍的效果。但通过平时学生作题反映的情况来看：学生对“数形结合思想”掌握

很不到位，主要体现在以下几个方面：

（1）缺少运用数形结合思想的意识。如选择填空中的函数题，若仅是运用表达式求解,

耗费了大量时间与精力，而效果甚微。

（2）对于函数的图像掌握不够熟练，如皋函数、对数函数，需要求导的复杂函数等。

（3）由图像观察性质、由性质分析图像的能力还有所欠缺，如涉及函数对称轴、周期性

等。

针对这种情况，为了加大同学们对数形结合思想的重视程度，为了培养学生“数形结合

的思想”，为了鼓励学生大胆去构造函数，分析函数的图象，特意设计了这节课。

数形结合思想在高中数学中的应用

效果分析

学生在课前做这四道题时存在的问题很多。通过小组合作，能够了解有些题的解题思路,

但对自己的作法及有些想法还存在疑问。课上通过学生自己分析每道题的想法，其他同学帮

助寻找错误的原因，让同学们明白自己的疑惑之处。另外通过同一道题不同的解法，相互比

较，找出最适合此题的思路及解法。而且在讲解及讨论中，总结出数形结合的几条规律：

1、做题时能用数形结合思想的第一时间要想到数形结合，即培养学生的用图意识。

2、在陌生表达式面前要勇于构造函数，通过变形分析函数，转化成熟悉的函数，借助数形

结合思想使抽象问题直观化，降低思维难度，提供简捷的解题途径。

3、学生作图时应该详略有致，有些地方只需粗略勾勒，有些地方需要精确描绘，做到淡妆

浓抹总相宜，所以作图技巧，作图能力的培养也是学生能否成功地运用数形结合思想方法解

决问题的重要因素。

通过这节课的学习，培养学生数形结合的意识，鼓励学生作选择题填空题大胆利用数形结合

的思路，而且平时要注意熟悉不同函数的图象。但习惯不是一时养成的，要不断地培养。

数形结合思想在高中数学中的应用

教材分析

所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问

题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，

抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规

律性与灵活性的有机结合。

1、数形结合思想在解题中的应用

(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；

(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；

(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；

(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；

(5)构建立体几何模型研究代数问题；

(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；

(7)由方程构建函数模型，利用求函数零点的方法求根的个数；

(8)由数量关系研究图形的形状、位置关系、性质等.

2、数形结合思想是数学解题中常用的思想方法。运用数形结合思想，不仅直观易发现解题

途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显

其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。

纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事

半功倍的效果.

数形结合思想在高中数学中的应用

自主探究案(课前)

学习目标：1、学会利用数形结合的思想来破解不等式中的问题；

2、学会利用数形结合的思想来破解函数中的问题.

一、利用数形结合思想破解不等式中的问题

自主探究：

1.若不等式log；>s沈2x(a>0且a=1)对任意xe(0,)都成立，则a的取值范围

是

A、(0,今B、仔，1)C、(Y，4)D、(0,1)

2.不等式、,,元=2kx+k(k为常数)的解集不为空集，则k的取值范围是()

A、(-8,yjB、[O,Y]C、[O,孑D.(-00,i]

二、利用数形结合思想破解函数中的问题。

自主探究：

L己知定义在R上的奇函数f(x)满足当XN0时f(x)='')

一|x-31,X6[1,+00)

则关于x的函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为()

A、2a-lB、2-a-1C、l-2-a1)、l-2a

2.若实数a满足X+IgX=4,实数b满足X+ICT=4,函数

f(x)=[x~+(a+b)x+2X<0，则关x的方程f(x)=x的根的个数为(

(.2x>0

A、1B、2C、3D、4

数形结合思想在高中数学中的应用

检测题(课中)

1.已知a是方程x+log占=2的根，而B是方程x+2*=2的根，求a+0

2.若不等式log：<sin2x(Q>0且aH1)对任意xG1广)都成立，则a

142

的取值范围是()

数形结合思想在高中数学中的应用

自主检测题(课后)

1、已知0<a<1，则方程a国।=的实根个数为()

A、1个B、2个C、3个D、1个或2个或3个

(|lgx|,0<x<10

2、已知函数f(x)=若a,b,c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c),

fcXIOfaXu

则abc的取值范围是()

A、(1,10)B、(5,6)C、(10,12)D、(20,24)

3.设函数f(x)=］卜+小g(x)=*侬)产+6&*)+&若函数86)有5个不同的

I0,x=0

零点，则()

A、b<-2Kc>0b>-2c=0

C^b<—2且c=0D、b>-2Kc>0

数形结合思想在高中数学中的应用

课后反思

1、小组合作:这一学期学校提倡小组合作学习，通过近一阶段的实践有了很大的进步，

学生们能够通过小组合作把自己做错的题找出错误的原因，把自己不会的题问会。中

难度及以下的题通过小组合作基本解决。但是中难度以上的题，小组合作就有一定的

局限性。通过观察发现，稍有难度的题学生讨论的方法并不理想，有些题只是会的学

生把自己的作法讲给其他同学听，为什么这么想，有时自己也不知所以然，另外其他

同学的作法能不能行得通，或错误的原因是什么也分析不出来。所以小组合作有其优

势的地方，也有其不足的地方，以后的教学中要注意小组合作的时候加以引导，并且

通过小组合作的时候询问学生的想法及错误的原因，更多的了解学情。

2、学生讲解，老师点评：讲评时通过学生自己讲解各题，可以掌握学生分析问题的思

路，寻求学生出错的原因，更好地掌握学情，也给其他学生指引了方向，找到了错误

的根源，加深了印象，以后作题会引起重视。通过第二题的一题多解的多种思路，引

导学生的发散思维，让同学们明白碰到这种题型可以怎样考虑一分离变量与数形结合,

而且通过比较可以发现数形结合对此题更适用。另外也可以找出•部分同学犯