高中数学《解析几何》教学设计与反思

高中数学《解析几何》教学设计与反思

课题：3.2.1抛物线及其标准方程

科目数学教学对象：二年级1617班全体学生课时：1课时

提供者：罗宗辉单位：河南省唐河县第一高级中学

-、教学内容分析

《抛物线及其标准方程》普通高中课程标准试验教科书数学(选修2-1)

第三章《圆锥曲线与方程》第二节第一课时内容。本节在教材中的地位和作用：

在初中阶段，抛物线为学生学习二次函数y=/+&x+c提供直观的图象感觉；在

高中阶段，它在一元二次不等式的解法、求最大(小)值等方面有着重要的作

用。但学生并不清楚这种曲线的本质，随着学生数学知识的逐渐完备，尤其是

学习了椭圆的第二定义之后，己具备了探讨这个问题的能力。从本章来讲，这

一节放在椭圆之后，一方面是三种圆锥曲线统一定义的需要，抛物线是离心率

e=l的特例；另一方面也是解析几何“用方程研究曲线”这一基本思想的再次

强化。本节对抛物线定义的研究，与初中阶段二次函数的图象遥相呼应，体现

了数学的和谐之美。教材的这种安排，是为了分散难点，符合认知的渐进性原

则。

二、教学目标

1.知识与技能

(1)掌握抛物线的定义.

(2)会推导抛物线的标准方程.

(3)初步掌握确定抛物线的标准方程的方法.

2.过程与方法

通过抛物线的定义及标准方程的推导，进一步掌握求曲线方程的方法.

3.情感、态度与价值观

营造亲切、和谐的氛围，以“趣”激学。引导学生用运动变化的观点发现

问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识，体会数学的简捷美、和

谐美。培养合作学习的意识，体会成功带来的喜悦。发展数学应用意识，认

识数学的应用价值。

三、学习者特征分析

我校是省示范性重点高中，有优越的多媒体设备，学生的数学基础较好，

有强烈的求知欲，具备一定的分析、观察等能力。在此之前，学生已经熟练握

二次函数图象、椭圆、双曲线的第二定义与求轨迹方程等内容，迫切想了解抛

物线的本质特征。但是在动手操作与合作学习等方面，发展不均衡，有待加强。

四、教学策略选择与设计

为了培养不仅能“学会”知识，而且能“会学”知识的人才以及根据我校

提出的“创设情景、激发情感、主动发现、主动发展”的教学模式，在课堂设

计上，教师应学会如何创设情景，激发学生学习的兴趣；围绕教材的重难点，

比如本节的“抛物线的标准方程及其推导”和“抛物线概念的形成”，教师设

计不同的活动环节，设置由浅入深、环环相扣的问题，通过教师适时的引导，

通过生生间、师生间的交流互动，通过学生自己的发现、分析、探究、反思，

使学生真正成为学习的主人，不断完善自己的知识体系，提高获取知识的能力，

尝试合作学习的快乐，体验成功的喜悦。

五、教学重点及难点

教学重点：抛物线的定义及其标准方程的推导。通过学生自主建立直角坐标系

和对方程的讨论选择突出重点。

教学难点：抛物线概念的形成。通过条件e=l的画法设计，标准方程与二次函

数的比较突破难点。

六、教学过程

知识一抛物线的定义

【问题导思】

如图，我们在黑板上画一条直线ER然后取一个三角板，将一条拉链

固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三

角板的另一条直角边贴在直线E尸上，在拉锁。处放置一支粉笔，上下拖动三

角板，粉笔会画出一条曲线.

(1)曲线上点D到直线EF的距离是什么？

(2)曲线上点。到定点C的距离是什么？

(3)曲线上的点到直线E尸和定点C之间的距离有何关系？

【提示】(1)线段D4的长；(2)线段DC的长；(3)相等.

抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线/(/不过F)的距离相等的点的集合叫作

抛物线,定点尸叫作抛物线的焦点,定直线/叫作抛物线的准线.

知识二抛物线的标准方程

【问题导思】

1.椭圆的标准方程是用什么方法推导的？

【提示】直接法.

2.求曲线方程时，要建立适当的坐标系，你是怎样理解“适当”的？

【提示】使所求的曲线方程简洁.

3.求曲线方程时，需要考察动点的几何性质，抛物线上的点所满足的几何条

件是什么？

【提示】到焦点的距离与到准线的距离相等.

抛物线的标准方程

图像\&L

4ynL谒%

标准y2=2〃x>2=-f=2〃y-2〃y

方程(。>0)(〃>0)S>0)(〃>0)

焦点

(岁°)(-冬0)(0,2)(0,一§

坐标

准线

尸入一”

2x=2y=~2y=2

方程

课堂互动探究

类型一抛物线的标准方程

例1分别根据下列条件求抛物线的标准方程：

(1)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2)；

(2)准线方程为尸东

(3)焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是5.

【思路探究】(1)(2)(3)焦点或准线位置确定，方程的形式就确定，求出参数

P即可.

【自主解答】(1)因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上，且一§=-2,则〃=

4,所以，

所求抛物线的标准方程为r=-8y.

(2)因为抛物线的准线在y轴正半轴上，且§=£，则

Q

所以，所求抛物线的标准方程为％2=-gy.

(3)由焦点到准线的距离为5,知p=5,又焦点在X轴负半轴上，

所以，所求抛物线的标准方程为产=-10工

规律方法

1.确定抛物线的类型是解决本题的关键.

2.抛物线的标准方程只有一个待定系数p,故求抛物线的标准方程时，

应设法建立参数p的关系式.

变式训练分别写出适合下列条件的抛物线的标准方程：

(1)准线方程为＞=一1；

(2)焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是2.

【解】(1)设抛物线的标准方程为*=20伊防＞0),且准线方程为)=一呈

则一号=-1,p=2,故抛物线的标准方程为f=4y.

(2)设焦点在x轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y2=2pxS＞0),

则焦点坐标为(^,0)，准线方程为x=一冬则焦点到准线的距离是一§一5

=p=2,因此，所求抛物线的标准方程是y2=4x.

类型二抛物线定义的运用

例2已知产是抛物线产=尤的焦点，A,8是该抛物线上的两点，依用+

|BF|=3,则线段A3的中点到y轴的距离为()

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A.4B.1C，4D.4

【思路探究】

如图，过A、8分别作准线/的垂线AO,BC,垂足分别为。，C,M是线

段AB的中点，MN垂直准线/于M由于MN是梯形ABC。的中位线，所以|MN|

\AD\+\BC\

=2,

【自主解答】由抛物线的定义知|AD|+|BC|=HW+|BE=3,所以|MN|

3I31

=2,又由于准线/的方程为x=一不所以线段A3中点到y轴的距离为]一

点故选C.

规律方法

1.解答本题的关键是利用抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的

距离.

2.与抛物线有关的问题中，涉及到焦点的距离或到准线的距离时，一般

是利用定义对两个距离进行相互转化.

变式训练

设抛物线V=8x的焦点为R准线为/,尸为抛物线上一点，PALI,A为

垂足.如果直线AR的斜率为一,，那么|Pf]=()

A.4小B.8C.8小D.16

【解析】如图，由直线AF的斜率为一小，得NAFH=60。，ZM/7=3O°,

二Z/MF=60°.

又由抛物线的定义知解|=|P~,...△R1F为等边三角形，

由|"目=4得|AF|=8,；.|P同=8.

【答案】B

类型三抛物线的实际应用

例3一辆卡车高3m,宽1.6m,欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱

口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为am,求使卡车通过的a的最小整数值.

【思路探究】本题主要考查抛物线知识的实际应用.解答本题首先建系,

转化成抛物线的问题，再利用解抛物线的方法解决问题.

【自主解答】以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系，

则点8的坐标为《，一，如图所示.

4-

设隧道所在抛物线方程为x2=my,

则留=，然•(一/，.\m=­a.,即抛物线方程为炉=-ay.

将(0.8,y)代入抛物线方程，得0.82=-ay,即〉=一十一.

欲使卡车通过隧道，应有y—(―*)>3,即皆一吟'>3.

V(7>0,.">12.21.二。应取13.

规律方法

1.解答本题的关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过

数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题.

2.在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为

一条坐标轴建立坐标系.这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原

点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用.

变式训练

.II.I_I_I_I,

I1III-

IIII

11/o'\II

行之三三三含三匹

<~~~4m*-

图2—2—1

(2012・陕西高考)如图2—2—1是抛物线形拱桥，当水面在/时，拱顶离水

面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽米.

【解析】设水面与桥的一个交点为A,如图建立直角坐标系则,

23x

%(2-2)

A的坐标为(2,-2).设抛物线方程为x2=-2py,带入点A得p=l,设

水位下降1米后水面与桥的交点坐标为(xo,-3),则而=—2X(—3),xo=±\R,

所以水面宽度为24米.

易错易误辨析

对抛物线的定义认识不清致误

典例若动点P到定点尸(1,0)和直线/：y=0的距离相等，则动点P的轨

迹是()

A.线段B.直线C.椭圆D.抛物线

【错解】由抛物线的定义，可知选D

【错因分析】忽略对抛物线定义中定点不在定直线上的条件，导致判断

错误.

【防范措施】抛物线的定义既给出了抛物线的判定，又给出了抛物线的

性质，理解抛物线定义的实质|PW=d及限制条件点/不在直线/上，是应用

定义解题的前提.

【正解】设动点P(x,y),则.(X—])2+.-])2=飙.化简得x=[

故动点P的轨迹是直线x=L

【答案】B

课堂小结

1.顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线可设为y2=2"或A2=2ay(aW0),

此时。不具有p的几何意义.

2.抛物线的定义体现了抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线距离的

关系，因此涉及抛物线上的点与焦点之间的距离可转化为点到准线之间的距

离，这样可使问题简单化.

3.对于抛物线的四种形式的标准方程，应准确把握、熟练应用，能做出

图形，会利用图形分析性质，学习时应能根据一种类型归纳出另外三种的相关

性质，注意数形结合思想的应用.

当堂双基达标

1.抛物线f=-8y的准线方程是()

A.y=~2B.y=~4C.y=2D.y=4

【解析】由已知得，p=4,

又•.•该抛物线开口向下，，其准线方程为y=2.

【答案】C

2.已知动点P(x,y)满足N(x—1)2+3-2)213'+1—1川,则P点的轨迹是

()

A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线

【解析】由题意知，动点P到定点(1,2)和定直线3x+4y—10=0的距离

相等，

又点(1,2)不在直线3x+4y-10=0上，所以点P的轨迹是抛物线.

【答案】D

3.抛物线V=4x的焦点到准线的距离是.

【解析】由已知得〃=2,...该抛物线的焦点到准线的距离为2

【答案】2

4.平面上动点P到定点/(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1,求动点尸的

轨迹方程.

【解】设点P的坐标为(x,y),

则有yj(x—l)2+y2=|x|+1,

两边平方并化简，得y2=2x+2|x|,

即点P的轨迹方程为>2=4x(x20)或)，=0(x<0).

七、教学评价设计

学生课堂表现评价量表

个人同学教师

项目A级B级C级

评价评价评价

认真听课，没有走听课比较认真，偶听课不认真，走神、

听课

神，讲闲话等现象尔有走神，讲闲话讲闲话现象比较严

情况

等现象重

积极举手发言，并能举手发言，答案很少发言，不表达

发言

有自己的见解中自己的思维较少自己的观点

情况

合作善于与人合作，虚能与人合作，能接缺乏与人合作的精

学习心听取别人的意见受别人的意见神，难以听进别人

情况的意见

课堂认真迅速地完成作能完成作业，速度不能完成作业

作业业，作业质量高比较慢或质量一般

情况

我这样评价自己：

伙伴眼里的我：

老师的话：

学生学习效果评价设计

评价内容

评价方式评价等级

评价项目

ABC1)

对本节课知识的兴趣浓厚较浓厚一般弱

自评

本节课独立思考的习惯强较强中弱

自信心体验到学习成功的愉悦多较多一般少

理解别人的思路,与同伴交流的意识好较好一般弱

在知识、方法等方面获得收获的程度高较高-一般低

本节课发言的次数多较多一般少

同伴互评本节课发言的质量好较好一般差

本节课课堂练习的正确性高牧局一般低

上课听讲的专心程度专注教好一般有时分心

参—活动的;程度高一般低

师评课堂发言反映出的思维深度强较强一般弱

课堂发现问题的角度