2024八年级数学下册第10章分式综合素质评价新版苏科版

第10章综合素养评价一、选择题(每题3分，共24分)1．【2024·无锡江南中学期中】代数式x3＋eq\f(4,3)，eq\f(1,x)，eq\f(2,3)x，eq\f(5,π)，eq\f(x－2,x＋1)中，属于分式的有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2.将关于x的分式方程eq\f(3,2x)＝eq\f(1,x－1)去分母可得()A．3x－3＝2x B．3x－1＝2xC．3x－1＝x D．3x－3＝x3．分式①eq\f(a＋2,a2＋3)；②eq\f(a－b,a2－b2)；③eq\f(4a,12(a－b))；④eq\f(1,x－2)中，最简分式有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．【2024·宜宾】分式方程eq\f(x－2,x－3)＝eq\f(2,x－3)的解为()A．2 B．3 C．4 D．55.某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设每辆大货车运输x吨货物，则所列方程正确的是()A．eq\f(75,x－5)＝eq\f(50,x) B．eq\f(75,x)＝eq\f(50,x－5) C．eq\f(75,x＋5)＝eq\f(50,x) D．eq\f(75,x)＝eq\f(50,x＋5)6．【2024·镇江外国语学校一模】化简eq\f(2a,a2－b2)－eq\f(1,a＋b)的结果是()A．a－b B．a＋b C．eq\f(1,a＋b) D．eq\f(1,a－b)7.对于非零的两个实数a，b，规定a*b＝eq\f(3,b)－eq\f(2,a)，若5*(3x－1)＝2，则x的值为()A．eq\f(5,6) B．eq\f(3,4) C．eq\f(2,3) D．－eq\f(1,6)8．【2024·扬州一模】若关于x的分式方程eq\f(2,x－1)＝eq\f(m,2x－1)有正数解，求m的取值范围．甲解得的答案是m＞4，乙解得的答案是m＜2，则下列选项正确的是()A．只有甲答案对 B．只有乙答案对C．甲、乙答案合在一起才正确D．甲、乙答案合在一起也不正确二、填空题(每题3分，共30分)9．eq\f(x,6ab2)与eq\f(y,9a2bc)的最简公分母是________．10．【2024·南充】若分式eq\f(x＋1,x－2)的值为0，则x的值为________．11．计算：eq\f(a2,a－b)＋eq\f(b2－2ab,a－b)＝________．12．【2024·南京二模】方程eq\f(1,x＋2)＝eq\f(1,x2－4)的解是________．13．【2024·泰州兴化市期中】为迎接“兴化千岛菜花”旅游节，市政府确定对2240公顷的千岛进行一次全面的升级改造，实际每天改造的面积比原支配多100公顷，结果提前7天完成改造任务．若设原支配每天改造面积是x公顷，依据题意可列方程为__________________．14．【2024·宿迁期中】若关于x的分式方程eq\f(x＋1,x－3)＝eq\f(m,x－3)的解大于0，则m的取值范围是__________．15．小明同学在对分式方程eq\f(2x,x－2)＋eq\f(3－m,2－x)＝1去分母时，方程右边的1没有乘x－2，若此时解得整式方程的解为x＝2，则原方程的解为________．16．在如图的解题过程中，第①步出现错误，但最终所求的值是正确的，则图中被盖住的x的值是________．先化简，再求值：eq\f(3－x,x－4)＋1，其中x＝★.解：原式＝eq\f(3－x,x－4)·(x－4)＋(x－4)…①＝3－x＋x－4＝－1.17.若mn＝n－m≠0，则eq\f(3,n)－eq\f(3,m)的值为________．18．【2024·重庆】若关于x的一元一次不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,2)≤4，,2x－a≥2))至少有2个整数解，且关于y的分式方程eq\f(a－1,y－2)＋eq\f(4,2－y)＝2有非负整数解，则全部满足条件的整数a的值之和是________．三、解答题(19～25题每题8分，26题10分，共66分)19．【教材P120复习题T3】计算：(1)eq\f(2a,a2－9)－eq\f(1,a－3)；(2)【2024·泸州】化简：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4m＋5,m＋1)＋m－1))÷eq\f(m＋2,m＋1).20．解下列分式方程：(1)eq\f(x,2x－3)＋eq\f(5,3－2x)＝4;(2)eq\f(x－2,x＋2)－1＝eq\f(16,x2－4).21．先化简，再求值：(1)【2024·随州】先化简，再求值：eq\f(4,x2－4)÷eq\f(2,x－2)，其中x＝1；(2)【2024·广安】先化简eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,a＋1)－a＋1))÷eq\f(a2－1,a2＋2a＋1)，再从不等式－2<a<3中选择一个适当的整数，代入求值．22．(教材P121复习巩固T11)已知M＝eq\f(2xy,x2－y2)，N＝eq\f(x2＋y2,x2－y2)，用“＋”或“－”连接M，N，有三种不同的形式：M＋N，M－N，N－M，任选其中一种进行计算，并化简求值，其中x∶y＝5∶2.

23.已知关于x的分式方程eq\f(m,x＋3)－eq\f(1,3－x)＝eq\f(m＋4,x2－9).(1)若m＝－3，解这个方程；(2)若原分式方程无解，求m的值．24．【2024·济宁】为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场支配购买A，B两种型号的充电桩．已知A型号充电桩比B型号充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型号充电桩与用20万元购买B型号充电桩的数量相等．(1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？(2)若该停车场支配共购买25个A，B型号充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型号充电桩的购买数量不少于A型号充电桩购买数量的eq\f(1,2).问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？25.我们定义：形如x＋eq\f(mn,x)＝m＋n(m，n不为零)，且两个解分别为x1＝m，x2＝n的方程称为“十字分式方程”．例如x＋eq\f(6,x)＝5为十字分式方程，可化为x＋eq\f(2×3,x)＝2＋3，∴x1＝2，x2＝3.再如x＋eq\f(7,x)＝－8为十字分式方程，可化为x＋eq\f((－1)×(－7),x)＝(－1)＋(－7)，∴x1＝－1，x2＝－7.应用上面的结论解答下列问题：(1)若x＋eq\f(12,x)＝－7为十字分式方程，则x1＝________，x2＝________；(2)若十字分式方程x－eq\f(6,x)＝－5的两个解分别为x1＝a，x2＝b，求eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＋1的值；(3)若关于x的十字分式方程x－eq\f(2023k－2022k2,x－1)＝2023k－2022的两个解分别为x1，x2(k＞2，x1＞x2)，求eq\f(x1＋4044,x2)的值．26．【2024·扬州一模】将a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的浓度为eq\f(a,b)(b＞a＞0)．(1)再往杯中加入m(m＞0)克糖，生活阅历告知我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为________；(2)请证明(1)中的数学关系式；(3)在△ABC中，三条边的长度分别为a，b，c，证明：eq\f(a,b＋c)＋eq\f(b,c＋a)＋eq\f(c,a＋b)＜2.

答案一、1．B2．A3．B4．C5．B6．D7．B8．D【点拨】eq\f(2,x－1)＝eq\f(m,2x－1).去分母，得4x－2＝mx－m.移项、合并同类项，得(4－m)x＝2－m，解得x＝eq\f(2－m,4－m).∵关于x的分式方程eq\f(2,x－1)＝eq\f(m,2x－1)有正数解，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2－m,4－m)＞0，,\f(2－m,4－m)≠1，,\f(2－m,4－m)≠\f(1,2)，))解得m＞4或m＜2且m≠0.∴甲、乙答案合在一起也不正确，故D正确．二、9．18a2b2c10．－111．a－b12．x＝313．eq\f(2240,x)－eq\f(2240,x＋100)＝714．m＞1且m≠4【点拨】解分式方程，得x＝m－1.∵该分式方程的解大于0，∴m－1＞0，即m＞1.又∵x－3≠0，∴x≠3，即m－1≠3.∴m≠4.综上可知，m的取值范围是m＞1且m≠4.15．x＝1【点拨】小明去分母得到的整式方程是2x－(3－m)＝1，把x＝2代入，得4－(3－m)＝1，解得m＝0.故原分式方程为eq\f(2x,x－2)＋eq\f(3,2－x)＝1，解得x＝1.经检验，x＝1是原分式方程的解．16．5【点拨】eq\f(3－x,x－4)＋1＝eq\f(3－x＋x－4,x－4)＝eq\f(1,4－x).当eq\f(1,4－x)＝－1时，解得x＝5.检验：当x＝5时，4－x≠0，∴题图中被盖住的x的值是5.17．－3【点拨】原式＝eq\f(3m,mn)－eq\f(3n,mn)＝eq\f(3(m－n),mn).∵mn＝n－m≠0，∴原式＝eq\f(－3mn,mn)＝－3.18．4【点拨】解不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,2)≤4，,2x－a≥2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤5，,x≥\f(a＋2,2)，))∵至少有2个整数解，∴eq\f(a＋2,2)≤4，解得a≤6.解分式方程eq\f(a－1,y－2)＋eq\f(4,2－y)＝2，解得y＝eq\f(a－1,2)，∵y的值是非负整数，a≤6，且a为整数，∴当a＝5时，y＝2，当a＝3时，y＝1，当a＝1时，y＝0，∵y＝2是分式方程的增根，∴a＝5(舍去)，即满足条件的a的值有3和1，∵3＋1＝4，∴全部满足条件的整数a的值之和是3＋1＝4.三、19．【解】(1)原式＝eq\f(2a,(a＋3)(a－3))－eq\f(a＋3,(a＋3)(a－3))＝eq\f(a－3,(a＋3)(a－3))＝eq\f(1,a＋3).(2)原式＝[eq\f(4m＋5,m＋1)＋eq\f((m－1)(m＋1),m＋1)]×eq\f(m＋1,m＋2)＝eq\f(m2＋4m＋4,m＋1)×eq\f(m＋1,m＋2)＝eq\f((m＋2)2,m＋1)×eq\f(m＋1,m＋2)＝m＋2.20．【解】(1)方程两边同乘2x－3，得x－5＝4(2x－3)，解得x＝1，检验：当x＝1时，2x－3≠0，∴x＝1是原分式方程的解．(2)方程两边同乘(x＋2)(x－2)，得x2－4x＋4－x2＋4＝16，解得x＝－2.检验：当x＝－2时，(x＋2)(x－2)＝0，∴x＝－2是增根，原分式方程无解．21．【解】(1)eq\f(4,x2－4)÷eq\f(2,x－2)＝eq\f(4,(x＋2)(x－2))·eq\f(x－2,2)＝eq\f(2,x＋2)，当x＝1时，原式＝eq\f(2,1＋2)＝eq\f(2,3).(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,a＋1)－a＋1))÷eq\f(a2－1,a2＋2a＋1)＝eq\f(a2－a2＋1,a＋1)·eq\f((a＋1)2,(a＋1)(a－1))＝eq\f(1,a－1).∵－2<a<3且a≠±1，∴a＝0符合题意．当a＝0时，原式＝eq\f(1,0－1)＝－1.22．【解】选择一：M＋N＝eq\f(2xy,x2－y2)＋eq\f(x2＋y2,x2－y2)＝eq\f((x＋y)2,(x＋y)(x－y))＝eq\f(x＋y,x－y).当x∶y＝5∶2时，x＝eq\f(5,2)y，∴原式＝eq\f(\f(5,2)y＋y,\f(5,2)y－y)＝eq\f(7,3).选择二：M－N＝eq\f(2xy,x2－y2)－eq\f(x2＋y2,x2－y2)＝eq\f(－(x－y)2,(x＋y)(x－y))＝eq\f(y－x,x＋y).当x∶y＝5∶2时，x＝eq\f(5,2)y，∴原式＝eq\f(y－\f(5,2)y,\f(5,2)y＋y)＝－eq\f(3,7).选择三：N－M＝eq\f(x2＋y2,x2－y2)－eq\f(2xy,x2－y2)＝eq\f((x－y)2,(x＋y)(x－y))＝eq\f(x－y,x＋y).当x∶y＝5∶2时，x＝eq\f(5,2)y，∴原式＝eq\f(\f(5,2)y－y,\f(5,2)y＋y)＝eq\f(3,7).(任选一种即可)23．【解】(1)把m＝－3代入原分式方程，得eq\f(－3,x＋3)－eq\f(1,3－x)＝eq\f(－3＋4,x2－9).方程两边同乘(x－3)(x＋3)，得－3(x－3)＋(x＋3)＝1，解得x＝5.5.检验：当x＝5.5时，(x＋3)(x－3)≠0，∴x＝5.5是原方程的解．(2)当(x＋3)(x－3)＝0时，x＝3或－3.方程两边同乘(x－3)(x＋3)，得m(x－3)＋(x＋3)＝m＋4，整理，得(m＋1)x＝1＋4m，当m＋1＝0时，1＋4m≠0，方程无解，此时m＝－1.当m＋1≠0时，x＝eq\f(1＋4m,m＋1).当x＝3时，(x－3)(x＋3)＝0，方程无解，即eq\f(1＋4m,m＋1)＝3，解得m＝2.当x＝－3时，(x－3)(x＋3)＝0，方程无解，即eq\f(1＋4m,m＋1)＝－3，解得m＝－eq\f(4,7).综上所述，若原方程无解，则m＝－1或2或－eq\f(4,7).24．【解】(1)设A型号充电桩的单价为x万元，则B型号充电桩的单价为(x＋0.3)万元，依据题意，得eq\f(15,x)＝eq\f(20,x＋0.3)，解得x＝0.9，经检验，x＝0.9是所列方程的解，∴0.9＋0.3＝1.2(万元)．答：A型号充电桩的单价为0.9万元，B型号充电桩的单价为1.2万元．(2)设购买A型号充电桩m个，则购买B型号充电桩(25－m)个，依据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.9m＋1.2(25－m)≤26，,25－m≥\f(1,2)m，))解得eq\f(40,3)≤m≤eq\f(50,3).∵m为整数，∴m＝14，15，16.∴该停车场共有3种购买方案，方案一：购买14个A型号充电桩、11个B型号充电桩；方案二：购买15个A型号充电桩、10个B型号充电桩；方案三：购买16个A型号充电桩、9个B型号充电桩．∵A型号充电桩的单价低于B型号充电桩的单价，∴方案三所需购买总费用最少．25．【解】(1)－3；－4(2)∵十字分式方程x－eq\f(6,x)＝－5的两个解分别为x1＝a，x2＝b，∴ab＝－6，a＋b＝－5.∴eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＋1＝eq\f(b2＋a2,ab)＋1＝eq\f((a＋b)2－2ab,ab)＋1＝eq\f((a＋b)2,ab)－1＝eq\f((－5)2,－6)－1＝－eq\f(31,6).(3)x－eq\f(2023k－2022k2,x－1)＝2023k－2022是十字分式方程，可化为x－1－eq\f(2023k－2022k2,x－1)＝2023k－2022－1＝2023k－2023，∴(x1－1)(x2－1)＝－(2023k－2022k2)＝k(2022k－2023)．(x1－1)＋(x2－1)＝2023k－2023＝k＋(2022k－2