函数的极值与最大（小）值 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

选修第二册

第五章《一元函数的导数及其应用》5.3.2

函数的极值和最大（小）值1.函数的极值函数的性质单调性函数的单调性与导数的关系用导数研究函数单调性的步骤f'(x)>0，函数单调递增；f'(x)<0，函数单调递减.1.定义域；2.求导；3.求临界点；4.画导数图象-判号；5.单调区间.复习回顾1.跳水运动员距离水面的高度h(t)在t=

a点处附近的情况：当t

=

a时,（1）运动员距水面高度如何？

（2）h(t)在此点的导数是多少呢？（3）这点附近的图象有什么特点？（4）导数的符号有什么变化规律？athoh(t)=-4.9t2+6.5t+10h'(a)=0探索新知将最高点附近放大t

=

at

<

at

>

ah'(t)<0h'(t)>0h'(t)先正后负高度最大h'(a)=0h(t)先增后减探究：由特殊到一般①函数y=f(x)在a，b，c，d，e，f，g，h点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？②y=f(x)在这些点的导数值是多少？③在这些点附近，y=f(x)的图象有何特点？③在这些点附近，

f'(x)的符号有什么规律？极大/小值点统称极值点；极大/小值统称极值.极值点x0为极大值点x0为极小值点极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值条件f'(x0)=0x0附近左侧f'(x0)>0x0附近右侧f'(x0)<0x0附近左侧f'(x0)<0x0附近右侧f'(x0)>0x0附近f(x)<f(x0)x0附近f(x)>f(x0)图像极值点左右两侧的导数值异号从导数角度深入探究yxO思考1：极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？aby=f(x)x1

x2x3f'(x1)=0f'(x2)=0

f'(x3)=0结论:

极值点处如果有切线，那么切线是水平的，即

f(x)=0.函数的极值与极值点思考2：如图，对函数f(x)=x3，①是否存在x0，使得f

(x0)

=0？②x0是函数f(x)的极值点吗？f(x)有极值吗？xyof(x)

x3思考3：“f(x0)=0”是“可导函数在x0点处取得极值”的什么条件？必要不充分从导数角度深入探究f

(x0)

=0x0

是可导函数f(x)的极值点

而

f

(x0)=0

x0是可导函数f(x)的极值点

f

(0)

=0没有函数的极值与极值点极大值点两侧极小值点两侧思考4：极值点两侧导数正负符号有何规律？y=f(x)xyoabf'(x)>0f'(x)>0f'(x)<0f'(x)<0极值点x0处，f

(x0)=0；且x0两侧单调性不同，即导数异号.从导数角度深入探究思考5：单调函数有极值吗？极值不单调，单调无极值左正右负取极大；左负右正取极小函数的极值与极值点探究3oax1x2x3x4bxy看图并回答下列问题：f(x1)f(x3)f(x2)f(x4)x1x3x4x2不一定，如f(x4)>f(x1)若x0是极值点（即f(x0)是极值），则f'(x0)=0；若f'(x0)=0，x0不一定是极值点;只有f

(x0)=0且x0两侧f(x)单调性不同时，x0才是极值点.

1、y=f(x)在某一点的导数为0是函数y=f(x)在这点取得极值的必要不充分条件.小结左正右负（先增后减）取极大左负右正（先减后增）取极小函数的极值与极值点

2、函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点

不可能成为极值点.3、极值是一个局部概念.极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是说极值与最值是两个不同的概念.

4、函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.5、极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.小结函数的极值与极值点例题精讲

（1）如图是函数y=f(x)的图象,试找出函数极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？（2）如果把函数图象改为导函数y=f'(x)的图象，有何结论?题组一：根据函数图象判断极值【课本P92/练习1】题组二：求函数的极值例2、解：x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)

f'(x)+0-0+

f(x)单增↗单减↘单增↗问题1：如何作出f(x)的大致图象？-22问题2：求函数极值的一般方法步骤？求函数极值的一般方法步骤：(1)求定义域；(2)求

f'(x)

；(3)求导数的零点；(4)列表断号；(5)下结论.方法总结+-x0-+x0如果同号，则f(x)在这个根处无极值.左正右负取极大；左负右正取极小求下列函数的极值:【课本P92/练习2】

【补充练习】

【补充练习】求函数的极值x(-∞,-1)-1(-1,0)(0,1)1(1,+∞)+0--0+所以，当x=-1时，函数的极大值是-2，当x=1时，函数的极小值是2导函数的正负是交替出现的吗？不是极大值极小值函数极值函数极值的定义函数极值的求法1.求导；