2024届高考材料（数学）汇编

2024届高考材料（数学）汇编一一高中数学静悟材料使用说明亲爱的同学们,为了帮助大家高三冲刺阶段高效地进行备考,夺取高考的胜利,老师们为大家量身定做了这份静悟材料,助力大家梳理知识,提升能力,题名金榜。如何科学使用静悟材料,让静悟材料成为高考前复习的重要辅助工具,特给同学们以下几点建议,帮助同学们系统、深入理解和掌握数学概念、公式、定理和解题技巧。此份静悟材料分为十四章,前十章涵盖了高中必修和选择性必修所有内容和考点,后四章讲解选填题目、新定义题目的解答策略。每一章都分为四个环节:课标要求、思维导图、易错点提醒、典型考点。一.课标要求课程标准是高考命题的基础。同学们高考前通过阅读本部分内容,可以更清楚地了解高考每个模块的命题方向和考试重点,明确高考对每部分内容考查要求,确保自己的复习方向正确、内容全面,不留漏点和盲点。二.思维导图本部分思维导图内容将复杂的知识点进行了梳理和归纳,使知识系统化、条理化。高中数学知识点琐碎繁多,逻辑性强,思维导图能够帮助大家将这些知识点按照逻辑关系进行组织,形成清晰的知识框架。快速定位到需要复习的知识点,避免在复习时遗漏重要内容。同时,由于思维导图的直观性和简洁性,大家可以在较短的时间内掌握大量的信息,提高复习效率。三.易错点提醒易错点是我们对某个知识点理解不够深入或存在误解的地方。通过复习易错点,我们可以更深入地理解这些知识点,确保真正掌握,避免重复犯错。本部分内容能帮助我们能提前识别并熟悉易错点,在考试时遇到相关问题时,我们就能更快地找到解题思路和答案,从而提高答题速度。四.典型考点本部分内容是静悟材料的核心部分,是历年高考中考查的热点、高中必须掌握的重点和难点知识,它反映了高考命题的规律和趋势,是我们备考的重要参考。通过有针对性地复习这些考点,我们可以更加明确复习方向,避免盲目性,从而大大提高备考效率。而且这些考点不仅涵盖了学科知识,还涉及到逻辑思维、问题解决能力等方面。通过复习这些考点,我们可以培养自己的综合素质,以确保在高考中取得优异的成绩。同学们要合理安排好静悟材料的使用时间,结合自身的具体情况制定好复习计划,有的放矢的进行静悟材料的充分使用。追风赶月莫停留,平芜尽处是春山。希望同学们合理安排时间,做好静悟计划,结合自身情况,科学进行复习反思、融会贯通,以达到最佳效果。加油,未来的你一定会感谢现在努力的自己!祝同学们笔尖流淌自信的墨水,书写属于你的精彩人生!目录静悟材料一:集合、常用逻辑用语、复数.1静悟材料二:平面向量.10静悟材料三:不等式19静悟材料四:计数原理与二项式定理.32静悟材料五:三角函数与解三角形.42静悟材料六:数列55静悟材料七:立体几何.70静悟材料八:概率与统计.89静悟材料九:解析几何.100静悟材料十:函数与导数.123静悟材料十一:单选题解答策略141静悟材料十二:多选题解答策略.153静悟材料十三:填空题的答题技巧163静悟材料十四：新定义题解答策略.174静悟材料一:集合、常用逻辑用语、复数主编单位:城阳第二中学【课标要求】1.集合的概念与表示(1)通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系.(2)针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合.(3)在具体情境中,了解全集与空集的含义.2.集合的基本关系理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.3.集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个集合的并集与交集.(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集.(3)能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用.4.必要条件、充分条件、充要条件(1)通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系.(2)通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系.(3)通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系.5.全称量词与存在量词通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义。6.全称量词命题与存在量词命题的否定(1)能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.(2)能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.7.复数的概念(1)通过方程的解,认识复数。(2)理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义.8.复数的运算掌握复数代数表示式的四则运算,了解复数加、减运算的几何意义.【思维导图】【易错点提醒】1.已知集合A={xA.−∞,12B.−∞,12【错解】忽略y=lgx的定义域限制,漏掉【正解】由x>0lgx<由2x−12<1得x−2.若集合A=xA.{0,1,2}【错解】集合A未看到整数的要求,错选C项.【正解】由题意,得A={−因为x+1x−5>−则∂RB={3.设集合A={xA.{x∣−1≤x≤【错解】看错交、并符号,误选C项.【正解】由A={x∣−4.设集合A={x∣−3≤xA.{a∣−3<a≤【错解】端点的取舍易出现错误,导致错选C项.【正解】因为A={x∣−所以a>−3,即实数a的取值范围是{a∣−∞,−2] C.【错解】集合B中误将y当成元素,错选C项.【正解】集合A={x∣B={x∣6.命题“∀xA.∃x∈C.∃x∈【错解】误将前后都否定,错选D.∃x【正解】命题“∀x∈Z7.复数2i⋅z=i−A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【错解】误将z看成z,错选A项.【正解】由2i⋅z=i−∴z=12−8.欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ把自然对数的底数c,虚数单位在一起,被誉为“数学的天桥”.若复数z满足z+eA.2B.22C.5D.【错解】读不懂新概念或看不懂新情境,导致无从下手.【正解】由欧拉公式得ei3π2=cos3π则z−i=2−i所以z=−【典型考点】1.集合间的基本关系(1)【&2023新高考II卷】设集合A={0,−aA.2B.1C.23【答案】B【分析】本题主要考查集合的子集,属于容易题.根据A⊆【解答】解:若a=2,此时若a=1,此时若a=23若a=−1,此时(2)【&2021全国乙卷】已知集合S={s∣sA.⌀B.SC.TD.Z【答案】C【分析】本题考查集合的包含关系,以及交集运算,属于基础题.首先判断集合T中任意元素都是集合S的元素,从而得出集合T是集合S的子集,然后即可求它们的交集.【解答】解:因为当n∈Z时,集合T所以T⊊S,于是2.集合的基本运算(1)【&2023新高考I卷】已知集合M={−2A.{−2,−1,0,【答案】C【分析】本题考查集合的交集运算,为基础题.对一元二次不等式求解求出N,再计算M∩【解答】解:N=−∞,−2]∪[3,+∞A.{x∣0≤x<【答案】D【分析】本题主要考查了集合的交集运算,属于基础题.先求出集合M,【解答】解:因为M={x∣3.常用逻辑用语等差数列,则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【分析】本题考查等差数列的判定、等差数列前n项和、充分必要条件的判定,属于中档题.结合等差数列的判断方法,依次证明充分性、必要性即可.【解答】解:方法1:an为等差数列,设其首项为a1,公差为d,则S故Sn反之,Snn为等差数列,即S即nan+1两式相减有:an=nan则甲是乙的必要条件,故甲是乙的充要条件,故选C.方法2:因为甲:an为等差数列,设数列an的首项a1,公差为d则Snn=反之,乙:Snn为等差数列.即即Sn当n≥2时,上两式相减得:an所以an=a又an+1则甲是乙的必要条件,故甲是乙的充要条件.(2)【&2023全国甲卷】“sin2α+sinA.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【答案】B【分析】本题考查充分、必要条件的判断,涉及同角三角函数的基本关系,属于中档题.先根据特殊值法判断,再结合同角三角函数的基本关系即可得出.【解答】解:当sin2α+sin2即sin2α+当sinα+cosβ综上可知,sin2α+(3)【&2023天津】“a2=bA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B【分析】本题主要考查充分条件、必要条件定义,属于基础题.根据已知条件,先对原等式变形,再结合充分条件、必要条件的定义,即可求解.【解答】解:a2=b2,即a+a2+b2=故“a2=b“a2+b故“a2=b4.复数的概念及几何意义(1)【&2023新高考II卷】在复平面内,1+A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【分析】本题考查复数的乘法运算和复数在复平面内的几何意义,为基础题.【解答】解:1+3i3(2)【&2023全国甲卷】若复数a+iA.-1B.0C.1D.2【答案】C【分析】本题考查复数的乘法运算、复数间的相等关系,属于基础题.利用复数的乘法运算法则,得到2a+【解答】解:由题知a+∴2a=2(3)【&2022全国乙卷】已知z=1−2i,且z+A.a=1C.a=1【答案】A【分析】本题主要考查共轭复数和复数相等,属于基础题.根据题干表示z,再出列出复数相等的等式,即可求解a,【解答】解:由题设,z=1−故a=5.复数的四则运算(1)【&2023新高考【卷】已知z=1A.−iB.i【答案】A【分析】本题考查复数的四则运算、共轭复数,为基础题.【解答】解:z=1−(2)【&2023全国乙卷】设z=2A.1−2iB.1+2i【答案】B【分析】本题考查共轭复数,复数的运算,属于基础题.利用复数的运算化简求出z,可得z.【解答】解:因为z=2+(3)【&2022新高考II卷】2A.−2+4iB.−2【答案】D【分析】本题考查复数的四则运算,为基础题.【解答】解:2+静悟材料二:平面向量主编单位:即墨第二中学【课标要求】1.内容要求:(1)了解平面向量的线性运算性质及其几何意义(2)理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系(3)能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角(4)通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义(5)会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用2.学业要求:(1)能够从多种角度理解向量概念和运算法则,掌握向量基本定理(2)能够运用向量运算解决简单的几何和物理问题,知道数学运算与逻辑推理的关系【思维导图】【易错点提醒】1.向量夹角定义不明致误例1已知等边△ABC的边长为1,则错解∵△ABC为等边三角形,∴BC=CA=AB=错因分析数量积的定义a⋅b=a⋅b⋅cosθ,这里θ是a与b的夹角,本题中BC与CA夹角不是正解如图BC与CA的夹角应是∠ACB的补角∠即180∘−∠ACB所以BC⋅同理得CA⋅故BC⋅2.忽视向量共线致误例2已知a=2,1,b=λ,错解: ∵cosθ=a⋅∴2λ+15⋅错因分析:当向量a,b同向时,θ=正解∵θ为锐角,∴又∵cosθ=a∴2λ+∴λ的取值范围是λλ>−3.错误使用向量a//b的等价条件例&3.已知a=2错解:a+2b42k错因分析:错误的运用向量平行的等价条件,对于mm//n⇔正解:a=2,1,1+2k⋅2k−4.混淆向量点乘运算和实数乘法运算例&4.已知a=4,b=6,且向量a错解:2a错因分析:混淆了a⋅b和实数正解:a⋅2a【典型考点】1.向量线性运算例1.如图所示,在△ABC中,AN=13NC,P311解析:设BP=λBN=BA+AN=−方法总结:向量线性运算的基本原则和求解策略(1)基本原则:向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍是一个向量.因此,对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.(2)求解策略:(1)向量是一个有“形”的几何量,因此在进行向量线性运算时,一定要结合图形,这是研究平面向量的重要方法与技巧.(2)字符表示下线性运算的常用技巧:首尾相接用加法的三角形法则,如AB+BC=2.平面向量数量积的运算例2(1)已知点A−1,1,BA.322B.3152(2)如图,在梯形ABCD中,AB//CD,AB(1)A(2)3解析:(1)AB=2,1,CD=5,(2)因为AC⋅BM=方法总结:向量数量积的求解策略(1)利用数量积的定义、运算律求解.,在数量积运算律中,有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛,即a+b2即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”,再合理地进行向量的移项以及平方等变形,求解数量积.(3)借助平行向量与垂直向量.,即借助向量的拆分,将待求的数量积转化为有垂直向量关系或平行向量关系的向量数量积,借助a⊥b,则(4)建立坐标系,利用坐标运算求解数量积.3.平面向量的坐标运算例3(1)(2018-北京高考)设向量a=1,0(2)设a=(1)若λa−b(2)若m=λa+μ思路分析:(1)用坐标表示出ma解析:(1)-1∵由a⊥ma−b(2)(1)因为a=2,又λa−b⊥b所以2λ−1−3=(2)因为a=因为m=所以2λ+即λ2+λμ+μ所以λ=1,方法总结:向量的坐标运算:若a=则:(1)a+(2)a−(3)λa(4)a⋅b=a1(6)a⊥(7)a(8)若θ为a与b的夹角,则cos4.平面向量的平行与垂直问题例4(1)已知向量m=λ+1A.-4B.−3 C.−2 (2)设A,B,(1)若AB=CD,求(2)设向量a=AB,b=BC,若解析:(1)B因为m+n=所以m+解得λ=−(2)[解](1,1)设Dx,y.因为AB=CD所以x−4=1,(2)因为a=所以ka因为ka−b与a+31.证明共线问题常用的方法(1)向量a,ba≠0共线⇔(2)向量a=x1(3)向量a与b共线⇔a(4)向量a与b共线⇔存在不全为零的实数λ1,λ2.证明平面向量垂直问题的常用方法a⊥b⇔5.平面向量的模、夹角问题例5已知向量e1,e2,且e1(1)求证2e(2)若m=n,求(3)若m⊥n,求(4)若m与n的夹角为π3,求λ思路分析:利用两向量垂直则数量积为零,关于向量模的问题,先对其平方,以及合理使用夹角公式.[解析]:(1)证明:因为e1=e2=所以2e1−(2)由m=n得λe因为e1=e所以λ2−9×1+2λ(3)由m⊥n知m⋅n=因为e1=e所以3λ+3−(4)由前面解答知e1而m2所以m=m⋅因为⟨m,n⟩=π化简得3λ2−5λ−经检验知λ=−13方法总结:1.解决向量模的问题常用的策略(1)应用公式:a=x2(2)应用三角形或平行四边形法则.(3)应用向量不等式∥a(4)研究模的平方a±2.求向量的夹角设非零向量a=x1,y16.平面向量在平面几何和物理中的应用例6(1)用两条成120∘角的等长的绳子悬挂一个物体,如图所示,已知物体的重力大小为10(2)如图所示,在正方形ABCD中,P为对角线AC上任一点,PE⊥AB,PF⊥BC,垂足分别为解析:(1)10 N因绳子等长,所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等,且等于60∘,故每根绳子的拉力大小都是(2)证明:法一:(基向量法)设正方形ABCD的边长为1,AE=a∴==−∴DP⊥EF法二:(坐标法)设正方形边长为1,建立如图所示的平面直角坐标系,设Px,x,则D0,由DP⋅EF=x1方法总结:平面向量两个方面的应用(1)平面几何应用向量几何问题共线向量点共线问题、直线与直线平行数乘向量求线段长度之比数量积线段的长度、直线与直线的夹角(2)物理应用:速度、位移、力、功.静悟材料三:不等式主编单位：莱西实验学校【课标要求】1.相等关系与不等关系相等关系与不等关系是数学中最基本的数量关系,是构建方程、不等式的基础.内容包括:等式与不等式的性质、基本不等式.(1)等式与不等式的性质:梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质.(2)基本不等式:掌握基本不等式ab≤2.从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法.内容包括:从函数观点看一元二次方程、从函数观点看一元二次不等式.(1)从函数观点看一元二次方程:会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程与方程根的关系.(2)从函数观点看一元二次不等式:经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.学业要求:能够从函数观点认识方程和不等式,感悟数学知识之间的关联,认识函数的重要性.掌握等式与不等式的性质.【思维导图】ab叫做几何平均数(等比中项):a+b2叫做算术平均数(等差中项)内容ab≤a+b2成立条件腾当且仅当a=b时，等号成立a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时，等号成立)ab≤a+b2【易错点提醒】1.误用不等式性质已知a,b,c为实数,则A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【错解】C【错因分析】误用a>【正解】B【纠错笔记】p是q的充分条件⇔p⇒q2.忽略限制条件若loga2<【错解】因为loga2<2,两边取倒数得【错因分析】忽略0<【正解】当0<a<1时loga2<a>2,所以a【纠错笔记】若a<b,则ab>3.同向相乘出错若−1<x【错解】−【错因分析】利用不等式同向相乘,忽略不等式两边为正.的前提条件【正解】当0<x<2,3<y<4时得0<xy<8,当【纠错笔记】若a>b>4.利用同向相加求范围出错设fx=ax2【错解】由已知得1≤a−b≤2(1),(2)+(3)得0≤2b≤∴f−2【错因分析】范围扩大.【正解】由f1=∴又∵1≤f【纠错笔记】在求式子的范围时,如果多次使用不等式的可加性,式子中的等号不能同时取到,会导致范围扩大.5.解分式不等式忽略分母不为零解不等式2x−【错解】2x−1x【错因分析】忽略x−【正解】2x−1x−2所以2x−1【纠错笔记】f6.连续使用基本不等式忽略等号能否同时成立已知x>0,y>【错解】∵x∴x+y的最小值为42.【错因分析】即x=2,y=【正解】∵x>0,y>0,∴x【纠错笔记】多次使用基本不等式要验证等号成立的条件.7.使用基本不等式求和的最值忽略各项为正函数fx【错解】f所以fx的值域为[【错因分析】忽略0<x【正解】当x>1时log2x>0,fx8.解含有参数的不等式分类不当致误解关于x的不等式ax【错解】原不等式化为ax∴当a>1当a<1时,不等式的解集为【错因分析】解本题容易出现的错误是:(1)认定这个不等式就是一元二次不等式,忽视了对a=0时的讨论;(2)在不等式两端约掉系数a时,若【正解】当a=0时,不等式的解集为{x∣当a<0时,原不等式等价于x−当0<a<1时,当a>1时,1a当a=1时,不等式的解集为综上所述,当a<0时,不等式的解集为当a=0时,不等式的解集为当0<a<当a=1时,不等式的解集为ϕ;当a>【纠错笔记】解形如ax2+bx+【典型考点】1.比较大小(2022年全国甲,第12题)已知9m=A.a>0>bB.a思路分析:(1)求m,m=(2)比较m与lg11的大小,观察m=lg者的结构统一,借助基本不等式进行放缩思路探求(3)比较m与log8(4)构造函数,研究其单调性详细答案:A方法一:由9m=10而lg9所以lg10lg9>lg又lg8所以lg9lg8>lg综上,a>方法二:由9m=10可得m=log910∈1,32,由于a=又f9=9方法总结:比较大小的常用方法有单调性法、中间量法、