第13讲 概率初步高二数学（沪教版2020必修三）（解析版）

第13讲概率初步(核心考点讲与练)

1.随机试验

我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验，常用字母E表示.

2.随机试验的特点

(1)试验可以在相同条件下重复进行；

(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；

(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.

3.样本空间与事件

定义1：一个随机现象中依某个角度观察其所有可能出现(发生)的结果所组成的集合

称为一个样本空间，用Q表示，其中的元素称为基本事件或者样本点。

定义2：一个事件是指满足所述条件的所有基本事件全体。如果其中某个基本事件发生,

就说这个事件发生。因为样本空间是基本事件的全体，所以事件是样本空间的一个子集。

4.随机事件

一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了

叙述方便，我们将样本空间Q的子集称为随机事件,简称事件，并把只包含一个样本点的

事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A,8,C…表示.在每次试验中，当且仅当A

中某个样本点出现时，称为事件A发生.

5.必然事件，不可能事件

在每次试验中总有一个样本点发生，所以。总会发生，我们称Q为必然事件.而空集

0不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称。为不可能事件.

6.概率性质1必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Q)=1,P(①)=0.

7.概率性质2对任意的事件A,都有O4P(A)W1.

互斥:如果A与B没有共同的基本事件，即两个子集不相交，那么有AAB=①，则两个事件

不可能同时发生，或者说互斥。

8.对立事件:事件A发生的否定就是事件A不发生，它也是一个事件，称为事件A的对立事

件。简称为非A。

人口了二①AUA=QAnB=AUBAUB=AAB

9、概率性质3(可加性).两个不可能同时发生的事件至少有一个发生的概率是这两个事

件的概率之和。换言之,如果AAB=①，那么P(AUB)=P(A)+P(B)

10.概率性质4对任一给定事件，其发生的概率与不发生的概率的和总是1.换言之，有

P(A)=1-P(A)

11.概率的稳定性

频率与概率的联系

在大量重复的试验过程中，一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率，

而且试验的次数越多，频率与概率之间差距很小的可能性越大.频率也称

经验概率。

12概率意义

1.游戏的公平性

一个游戏包含两个随机事件A和B,规定事件A发生则甲获胜,事件B发生则乙获胜.

判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等如：

2.“降水概率是90犷的正确理解

“降水的概率为90%比较合理的解释是:大量观察发现，在类似的气象条件下,大约有90%的

天数要下雨.

只有根据气象预报的长期记录,才能评价预报的准确性.如果在类似条件下预报要下雨的那

些天里，大约有90%确实下雨了，可认为是准确的，反之则不准确

13频率估计概率

频率本身是随机的,在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率可

能不同;概率是一个确定的数,是客现存在的，与每次试验无关.概率可看作_频

率

在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，而频率在大

量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率，即事件A发生的频率元(A)它以会逐渐

稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我

们可以用频率加(A)估计概率P(A).

14、随机事件独立性的定义

(1)一般地，当P(A8)=P(A)P(B)时，就称A与B相互独立(简称独立)，事件A与B

相互独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不

会影响事件A发生的概率.

(2)如果事件A与B相互独立，则了与B,A与豆，入与后也相互独立.

(3)对于〃个事件4,4,…，4,如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生

的影响，则称〃个事件4,4,…，4相互独立.

15、独立事件的概率乘法公式

(1)若A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B),同时P(M)=P(A)P(B),

P(AB)=P(A)P(B),

P(AB)=P(A)P(B)；

⑵若4,4两两独立，则p(A4…A.)=p(A)p(4)•P(A).

Q方法技巧

i.概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：OWP(A)W1.

(2)必然事件的概率P(E)=1.

(3)不可能事件的概率P(F)=O.

(4)互斥事件概率的加法公式

①如果事件A与事件B互斥，则P(AUB)=P(A)+P(B).

②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A}=\-P(B).

2.基本事件的特点

(1)任何两个基本事件是互斥的.

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.

3.古典概型

具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型.

(1)试验的所有可能结果只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果.

(2)每一个试验结果出现的可能性相同.

3.如果一次试验中可能出现的结果有〃个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个

基本事件的概率都是%如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)==

4.古典概型的概率公式

事件A包含的可能结果数

,"I试验的所有可能结果数■

Q能力拓展

题型一：随机现象与样本空间

1.(2022•上海市行知中学高二阶段练习)为了丰富高二学生的课外生活，某校要组建数学、

计算机、航空模型、绘画4个兴趣小组，小明要随机选报其中的2个，则该实验中样本点的个

数为.

【答案】6

【分析】由列举法写出即可.

【详解】由题意，可得样本点为(数学，计算机)，(数学，航空模型)，(数学，绘画)，(计

算机，航空模型)，(计算机，绘画)，(航空模型，绘画)，共6个.

故答案为：6

题型二：古典概率

1.(2022.上海交大附中高二期中)已知样本空间为。，x为一个基本事件.对于任意事件A,

fQ(名A

定义〃A)=；,，给出下列结论：①/(Q)=1J(0)=O；②对任意事件A,O</(A)<1;

③如果4n3=0,那么/(AUB=/(A)+/(8)；④如A)+f(才)=1.其中,正确结论的个数

是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】根据/(A)的定义，利用分类讨论思想进行分析判定.

【详解】•••任意xeC恒成立，任意xe0恒不成立，.••/(C)=1J(0)=O,故①正确；

f0无名

对任意事件A,/(A)='.•.〃A)e｛O,l｝,.•.04/(4)41成立，故②正确；

I1,XGA

如果AA8=0,当xeAUB时，此时xeA或xeB.若xeA,则

x/B、/(4)=l,f(8)=O,f(AU8)=f(4)+f(8)成立；xeBH寸，xmA,

/(A)=O,/(B)=1,/(A)+/(B)=1,/(AUB)=/(A)+/(B)成立；

当x史AU8时，xgA.x^B,/(i4uB)=0,/(A)=0,/(B)=0,那么

/(4UB)=/(A)+f(8)成立，.•.③正确；

当xwA时，X任A,此时/'(A)=l,f(N)=0./(A)+/(X)=1成立：当xeA时，xe,，此

时"A)=OJ(Z)=1,f(A)+f(m=1成立,故④正确.

综上，正确的结论有4个，

故选：D

2.(2022.上海.格致中学高二期末)从集合｛2,4,6,8｝中任取两个不同元素，则这两个元素相

差2的概率为().

A.-B.；C.-D.|

3243

【答案】B

【分析】一一列出所有基本事件，然后数出基本事件数〃和有利事件数〃?，代入古典概型的

概率计算公式尸=竺，即可得解.

n

【详解】解:从集合｛2,4,6,8｝中任取两个不同元素的取法有(2,4)、(2,6)、(2,8)、(4,6)、(4,8)、

（6,8）共6种，其中满足两个元素相差2的取法有（2,4）、（4,6）、（6,8）共3种.故这两个元素

相差2的概率为

故选：B.

3.（2022・上海交大附中高二期中）抛掷一枚均匀的骰子两次，得到的数字依次记作乩

则实数a是方程2x-b=0的解的概率为.

【答案】\

【分析】利用列举法计数，然后根据古典概型求得结果.

【详解】得到数字九组成有序数对（。,9,其中，a,6e{l,2,3,4,5,6},列举可得对应（。力）共

有36种不同的情况，每种情况都是等可能的，实数。是方程2x-6=0的解只有（2,1）,（4,2）,（6,3）

31

三种情况，共其概率为匕=7；.

3612

故答案为：—

4.（2021•上海市南洋模范中学高二期中）一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是

0.5,物理超过90分的概率是0.7,两门课都超过90分的概率是0.3,则他的数学和物理至

少有一门超过90的概率为.

【答案】0.9

【分析】利用概率加法公式直接求解.

【详解】一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5,物理超过90分的概率是0.7,

两门课都超过90分的概率是0.3,

他的数学和物理至少有一门超过90的概率为：尸=0.5+0.7-0.3=0.9.

故答案为：09

5.（2022・上海长宁•高二期末）同时掷两枚骰子，则点数和为7的概率是.

【答案】—

o

【分析】利用古典概型的概率计算公式即得.

【详解】依题意，记抛掷两颗骰子向上的点数分别为a，b,则可得到数组（。，为共有

6x6=36组，

其中满足a+b=7的组数共有6组,分别为（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）,

因此所求的概率等于&=

366

故答案为：~.

O

题型三：频率与概率

1.(2021.上海.高二专题练习)下列关于“频率”和“概率”的说法中正确的是

(1)在大量随机试验中，事件A出现的频率与其概率很接近；

(2)概率可以作为当实验次数无限增大时频率的极限；

(3)计算频率通常是为了估计概率.

A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)

【答案】D

【分析】利用频率和概率的定义分析判断得解.

【详解】(1)在大量随机试验中，事件A出现的频率与其他概率很接近，所以该命题是真命

题；

(2)概率可以作为当实验次数无限增大时频率的极限，所以该命题是真命题：

(3)计算频率通常是为了估计概率，所以该命题是真命题.

故选D

【点睛】本题主要考查频率和概率的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

题型四：随机事件的独立性

一、单选题

1.(2021•上海市金山中学高二阶段练习)学生李明上学要经过4个路口，前三个路口遇到红

灯的概率均为;，第四个路口遇到红灯的概率为:，设在各个路口是否遇到红灯互不影响，则

李明从家到学校恰好遇到一次红灯的概率为

7「1一1一1

A.—B.-C.—D.-

244248

【答案】A

【分析】分两种情况求解：①前三个路口恰有一次红灯，第四个路口为绿灯；②前三个路口

都是绿灯，第四个路口为红灯.分别求出概率后再根据互斥事件的概率求解即可.

【详解】分两种情况求解：

①前三个路口恰有一次红灯，且第四个路口为绿灯的概率为G(gjXgX(1-g)=卷；

②前三个路口都是绿灯，第四个路口为红灯的概率为

由互斥事件的概率加法公式可得所求概率为提+上=三.

242424

故选A.

【点睛】求解概率问题时，首先要分清所求概率的类型，然后再根据每种类型的概率公式求

解.对于一些比较复杂的事件的概率，可根据条件将其分解为简单事件的概率求解，再结合

互斥事件的概率加法公式求解即可.

二、填空题

2.（2021•上海市延安中学高二期末）已知随机事件A和8相互独立，若P（AB）=0.36,

网可=0.6表示事件A的对立事件），则P（B）=

【答案】0.9

【分析】求出P（A）的值，再利用独立事件的概率乘法公式可求得P（8）的值.

【详解】由对立事件的概率公式可得尸⑷=1-尸（司=。6,

由独立事件的概率乘法公式可得P（AB）=P（A）P（5）,因此,的需U.9

故答案为：0.9.

3.（2020・上海市七宝中学高二阶段练习）若事件E与尸相互独立，且尸（E）=P（F）=；,则

P（EcF）=.

【答案】［

16

【分析】根据独立事件乘法公式进行求解即可.

【详解】因为事件E与尸相互独立，且P（E）=P（F）=；,

所以「（EcF）=P（E）尸（尸）

4416

故答案为：—

16

4.（2022.上海民办南模中学高二开学考试）已知A、8是随机事件，则下列结论中正确的有

（填写序号）

①若A、8是互斥事件，则P（AcB）=P（A>P（B）；

②若事件A、8相互独立，则P（AU8）=P（A）+P（B）；

③若A、8是对立事件，则4、8是互斥事件；

④事件A、B至少有一个发生的概率不小于A、B恰好有一个发生的概率.

【答案】③©

【分析】利用互斥事件、对立事件和独立事件的定义和性质分析判断

【详解】对于①，若4、8是互斥事件，则P（AB）=0,所以①错误，

对于②，若事件4、8相互独立，则尸（AcB）=P（A），（B）,而当A、B是互斥事件时，

P（AU8）=尸（A）+P（B）,所以②错误，

对于③，若A、B是对立事件，则4、B一定是互斥事件，所以③正确，

对于④，因为事件A、8至少有一个发生包含A、8恰好有一个发生和A、3同时发生两种情

况，所以事件A、B至少有一个发生的概率不小于A、8恰好有一个发生的概率，所以④正

确，

故答案为：③④

5.（2021•上海市延安中学高二期末）已知随机事件A和B相互独立，若P（A3）=0.36,

P（A）=0.6（.表示事件A的对立事件），则P（8）=

【答案】0.9

【分析】求出P（A）的值，再利用独立事件的概率乘法公式可求得「仍）的值.

[详解】由对立事件的概率公式可得P（A）=1-P（A）=0.6,

由独立事件的概率乘法公式可得P（4?）=P（A）P（8）,因此,

故答案为：0.9.

6.（2020・上海市七宝中学高二期中）某学生在上学的路上要经过三个路过，假设在各路口

是否遇到红绿灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是:，则这名学生在上学的路上到第三个

路口时第一次遇到红灯的概率为

4

【答案】—

【分析】依题意，在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，要使这名学生在上学的路上到第

三个路口时第一次遇到红灯，即前两个路口遇到的都不是红灯，第三个路口恰是红灯，根据

相互独立事件同时发生的概率公式计算可得；

【详解】解：依题意，在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，要使这名学生在上学的路上

到第三个路口时第一次遇到红灯,，即前两个路口遇到的都不是红灯，第三个路口恰是红灯.，

根据相互独立事件同时发生的概率公式可得尸=[1一:）（1一；]]=合

4

故答案为：—

【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率公式的应用，属于基础题.

7.（2016.上海市实验学校高二期末）两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率

分别为♦2和二3，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概

34

率为.

【答案】卷

【分析】根据独立事件乘法公式以及互斥事件加法公式求概率.

【详解】两个零件中恰有一个一等品的概率为争2（1-N3+a42）、/3五5

故答案为：J

【点睛】本题考查独立事件乘法公式以及互斥事件加法公式，考查基本分析求解能力，属基

础题.

8.（2022・上海奉贤区致远高级中学高二期末）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制

（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排

依次为“主主客客主客主设甲队主场取胜的概率为06客场取胜的概率为0.5,且各场比

赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是.

【答案】0.18

【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计

算公式求解.题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查.

【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是

0.63x0.5x0.5x2=0.108,

前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是04x0.62x0.52x2=0.072,

综上所述,甲队以4:1获胜的概率是4=0.108+0.072=018.

【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点

之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够

准确计算.

三、解答题

9.（2022•上海市杨浦高级中学高二期末）一项“过关游戏”规则规定：在第〃关要抛掷一颗正

六面体骰子”次，每次掷得的点数均相互独立，如果这〃次抛掷所出现的点数之和大于2"，

则算过关.

（1）这个游戏最多过几关？

（2）某人连过前两关的概率是？

（3）某人连过前三关的概率是？

【答案】（1）4关（29（3）骂

【分析】（1）由题意，可判断〃44时，6〃>2",当“W5,6〃<2",所以可判断出最多只能

过4关；（2）记一次抛掷所出现的点数之和大于2为事件A,两次抛掷所出现的点数之和大

4

丁2?为事件&,得基本事件的总数以及满足题意的基本事件的个数，计算出P（A）=z，

O

P（A2）=1-^=|,从而根据概率相乘求解得连过前两关的概率；（3）设前两次和为

366

a,2<a<l2,第三次点数为瓦14846,列出第三关过关的基本事件的个数，利用概率相乘

即可得连过前三关的概率.

(1)因为骰子出现的点数最大为6,当“44时,6〃>2",而V〃25,6〃<2",所以〃N5时,这

«次抛掷所出现的点数之和均小于2"，所以最多只能过4关.

(2)记一次抛掷所出现的点数之和大于2为事件A,基本事件总数为6个，符合题意的点数为

4

3,45,6,共4个，所以尸(4)=工：记两次抛掷所出现的点数之和大于2?为事件为,基本事

件总数为6x6=36个,不符合题意的点数为(1,1),。,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6个，则由

对立事件的概率得P(4)=I-三=2,所以连过前两关的概率为P(A4)=±xZ=1；

366669

(3)前两次和为a,2<a<12f第三次点数为bA<b<6

则考虑。+“8

a+b=

3+6,

4+5,4+6,

5+4,5+5,5+6,

6+3,6+4,6+5,6+6,

7+2,7+3,7+4,7+5,7+6,

8+1,8+2,8+3,8+4,8+5,8+6,

9+1,9+2,9+3,9+4,9+5,9+6,

10+1,10+2,10+3,10+4/0+5,10+6,

11+1,11+2,11+3,11+4,114-5,11+6,

12+1,12+2,12+3,12+4,12+5,12+6,

再考虑。

3=14-2,2+12种

4=1+3,3+1,2+23种

5=1+44+1,2+3,3+24种

6=1+5,5+1,2+4,4+2,3+35种

7=1+6,6+1,2+5,5+2,3+4,4+36种

8=2+6,6+2,3+5,5+34+45种

9=3+6,6+3,4+5,5+44种

10=4+6,6+4,5+53种

11=5+6,6+52种

12=6+61种

所以满足。+匕>8共有1X2+2X3+3X4+4X5+5X6+6X(5+4+3+2+1)=160.

因此某人连过前三关的概率是w等=丝.

6663243

10.（2021.上海市控江中学高二阶段练习）如图所示为M、N两点间的电路，在时间T内不

同元件发生故障的事件是互相独立的，它们发生故障的概率如下表所示：

（1）求在时间T内，&与K?同时发生故障的概率；

⑵求在时间T内，由于或&发生故障而使得电路不通的概率；

（3）求在时间丁内，由于任意元件发生故障而使得电路不通的概率.

【答案】（1）0.3；（2）0,8；（3）0.94

【分析】（1）利用独立事件概率公式即求；

（2）利用互斥事件概率公式及独立事件概率公式即求；

（3）设表示卬，=1,2,3）发生故障，由题可得鸟=鸟+尸（4）尸（6）尸（耳）,即得.

⑴设4表示K,（i=l,2）发生故障，

则P（A）=Q6,P（4）=O5,

单位时间7内，/与勺同时发生故障的概率：

6=P（A）P（4）=0.6X0.5=0.3.

（2）在时间T内.由于5或勺发生故障而影响电路的概率：

鸟=P（A）P（X）+尸（A）p（4）+尸（A）尸（4）=0.6x0.5+04x0.5+0.6x0.5=0.8.

（3）设Bi表示£,（/=1,2,3）发生故障，则

P（4）=0.4,P（B2）=0.5,尸（员）=0.7,

在时间T内，任一元件发生故障而影响电路的概率：

月=2+P⑻P⑸嘤）

=0.8+0.4x0.5x0.7

=0.94.

Q巩固提升

一、单选题

1.（2020・上海•高三专题练习）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，

每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

A.|B.1C.|D.?

【答案】A

【详解】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组

的情形只有3种，所求的概率为p=■1=；选A

2.（2016.上海市延安中学高三开学考试）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:

粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28

粒，则这批米内夹谷约为（）

A.134石B.169石C.338石D.1365石

【答案】B

【详解】设夹谷X石，则急=若，

1I4J，1

1534x28

所以X=»169.1,

254

所以这批米内夹谷约为169石，故选B.

考点：用样本的数据特征估计总体.

3.（2020•上海•高三专题练习）电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59的每一时刻都由

四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为

A.---B.---C.---D.---

180288360480

【答案】c

试题分析：由于一天有1440分钟，所以有1440种不同的结果，其中符合要求的有19：49,

41

19：58,18：59,09：59共四种，所以所求概率为*=江.

71T440360

考点：本小题主要考查古典概型求概率.

点评：古典概型求概率，要保证每个基本事件都是等可能的.

二、填空题

4.（2021・上海•高三专题练习）若生产某种零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生

产出废品的概率分别为0.01、0.02,每道工序生产废品相互独立，则经过两道工序后得到的

零件不是废品的概率是（结果用小数表示）

【答案】0.9702

【分析】利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出经过两道工序后得

到的零件不是废品的概率.

【详解】生产某种零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别0.01、

0.02,

每道工序生产废品相互独立，

则经过两道工序后得到的零件不是废品的概率：

p=（1-0.01）（I-0.02）=0.9702.

故答案为0.9702.

【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式等

基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

5.（2020・上海•高三专题练习）从甲、乙、丙、丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲

、乙两人都没有被选到的概率为（用数字作答）.

【答案】

O

【解析】先计算出从4名同学中选2名同学的情况，再计算出甲、乙两人都没有被选到的情

况，即可求出概率.

【详解】解：从4名同学中选2名同学共有盘=4等x3=6种，

甲、乙两人都没有被选到有1种，

甲、乙两人都没有被选到的概率为3

O

6.（2021.上海金山•一模）在五个数字1、2、3、4、5中，若随机取出三个数字，则剩下

的两个数字都是奇数的概率是.

3

【答案】—.

10

【详解】在五个数字1、2、3、4、5中，若随机取出三个数字，共有C；=10种不同的

方法，而剩下的两个数字都是奇数的基本事件有（1,3）,（1,5）,（3,5）,共3种不同情况；由古

3

典概型的概率公式，得剩下的两个数字都是奇数的概率乎=—.

10

考点：古典概型.

7.（2017.上海.模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮,

有人送来1524石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹

谷约为石.

【答案】168石

试题分析：由题意，得这批米内夹谷约为1524x京=168石.

考点：用样本估计总体.

8.（2022•上海市建平中学高三期中）通过手机验证码登录哈喽单车4即，验证码由四位不

同数字随机组成，如某人收到的验证码（4，/，/，，）满足4<%<%<%，则称该验证码为

递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为

【答案】2

O

【分析】利用概率的定义进行求解即可.

【详解】「4=2,2<a2<a3<aA,：.a2,%、%从中3~9选,

.p_C_1

只要选出3个数，让其按照从小到大的顺序排，分别对应生，4吗即可,

故答案为：—

6

【点睛】本题考查概率的定义，属于简单题

9.（2022.上海.高三专题练习）从3个函数：y=x±y=x2和丫=*中任取2个，其积函数

在区间（一应0）内单调递增的概率是.

【答案】|

【分析】由题意，分析积函数是否在区间（-8,0）内单调递增，最后根据古典概型计算概率

即可.

【详解】从三个函数中任取两个函数共有3种取法，

552

若取y=户।,y=/，积函数为丁=/，所以

525

因为当X<0时，炉=#>0,所以函数y=Q在（-8,0）单调递增；

若取,=£3和丫=》，积函数y=x3,所以y=（x3,

2--2

因为当X<O0寸，y=-x3<0,所以函数丫_/在（一°°，0）单调递减；

3y-x

若取丫=/和>=%,积函数y=d,所以、=3/,

因为当x<0时，y=3/>0,所以函数y=/在（-8,0）单调递增；

故满足题意的有2个积函数，所以概率值为:，

故答案为：

【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事

件数.（1）基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不

遗漏，可借助"树状图''列举.（2）注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.

10.（2022.上海市松江二中高三开学考试）随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之

和不超过5的概率为.

【答案】焉

【分析】先求出所有可能的点数组合数，再列举出所有点数和不超过5的组合，应用古典概

率的求法求概率.

【详解】两枚骰子可能点数组合有6x6=36种，而点数和不超过5的组合有（1,1）、（1,2）、（1,3）、

（1,4）、（2,1）、（2,2）、（2,3）、（3,1）、（3,2）、（4,1）共有10种,

所以向上的点数之和不超过5的概率为［=

3618

故答案为：y—.

1o

11.（2022・上海市实验学校高三阶段练习）设M、N为两个随机事件，给出以下命题：

(1)若为互斥事件，且P（M）=0.5,P(N)=0.25,贝iJP(MuN)=0.45

若P（M）=g,P（N）=；,P(MN)=1

(2),则M、N为相互独立事件；

若P（法）=g,尸（N）=g,「(MN).

(3)，则M、N为相互独立事件；

若P（"）=g，尸俨）=g，尸(MN)=、

(4),则M、N为相互独立事件；

若P（"）=g，尸（N）=g，尸回）=1

(5),则M、N为相互独立事件；

其中正确命题的个数为.

【答案】3

【分析】根据互斥事件的加法公式，易判断（1）的正误：根据相互对立事件的概率和为1,

结合相互独立事件M,N的概率满足P（MN）=P（〃）.P（N）,可判断（2）、（3）、（4）、（5）

的正误.

【详解】若"，N为互斥事件，且P（"）=0.5,P（27）=0.25,

则P（MuN）=0.75,故（1）错误；

若尸（M）=1，P（N）=?,P（MN）=!,

236

则由相互独立事件乘法公式知为相互独立事件，故（2）正确；

若P⑻=；,P（N）=g,尸（MN）=g,

则尸（M）=l_p（A?）=g,P（MN）=P（仞）.P（N）,

由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M,N为相互独立事件，故（3）正确；

若P（M）=；，咿）=*（MN）=g,

_o1o1

当M,N为相互独立事件时，P（2V）=l-P（W）=-,p（MN）=-x-=_,故（4）错误；

若尸（M）=g,尸（N）=；,P（丽）=:,

则P（MN）=P（M>P（N）=\,P（^7）=1_P（MN）

由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知为相互独立事件，故（5）正确.

故正确命题的个数为3.

故答案为：3.

12.（2022.上海.模拟预测）一名医护人员维护3台独立的呼吸机，一周内这些呼吸机需要维

护的概率分别为0.9,0.8和0.5,则一周内至少有一台呼吸机不需要维护的概率为

（结果用小数表示）

【答案】0.64#^|

【详解】由题意，一周内这些呼吸机需要维护的概率分别为0.9,0.8和0.5,

可得“3台都需要维护”的概率为0.9x0.8x0.5=0.36,

所以“至少有一台呼吸机不需要维护'’的概率为1-0.36=0.64.

故答案为：0.64#^|.

13.（2022•上海•高三专题练习）设〃€{1,3,5},Z>e{2,4,6},则函数是减函数的

Ix

概率为.

【答案】I2

【分析】由复合函数的单调性推出2>i,即可利用古典概型概率公式进行计算.

a

【详解】:。€{1,3,5}力€{2,4,6},.•.基本事件总数“=3x3=9,

•••函数f（x）=，ogj是减函数，且函数y」在（9,0）,（0,”）上单调递减，

aXX

••.，>1,则函数〃x）=四」是减函数包含的基本事件（a,b）有：

(1,2),(1,4),(1,6),(3,4),(3,6),(5,6)，共6个,

，函数〃x)=/ogj是减函数的概率为5=；.

0

故答案为：—

【点睛】本题考查古典概型，涉及对数函数的单调性、复合函数的单调性，属于基础题.

14.(2022•上海•高三专题练习)非空集合A中所有元素乘积记为T(A).已知集合

M={14,5,7,8},从集合M的所有非空子集中任选一个子集A,则7(A)为偶数的概率是

.(结果用最简分数表示)

【答案】奈24

【分析】先求出渠合M的所有非空子集的个数，然后求出7(A)为奇数的集合A的个数，从

而求出T(A)为偶数的集合A的个数，最后由古典概型的概率计算公式可求.

【详解】解：因为集合加={1,4,5,7,8},所