专题03 图形的平移与旋转（考题猜想易错必刷30题9种题型专项训练）（解析版）-2023-2024学年8下数学期末考点大串讲（北师大版）

专题03图形的平移与旋转（易错必刷30题9种题型专项训练）生活中的平移现象坐标与图形变化-平移中心对称关于原点对称的点的坐标利用旋转设计图案平移的性质旋转的性质中心对称图形作图-旋转变换

一．生活中的平移现象（共4小题）1．右图要被移动到其它位置，下面哪个图形是移动后的该图（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：根据移动的特点，B、C、D中图形的形状发生了改变，不是平移；A、是图形旋转180°得到的，是移动．故选：A．2．如图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD，长AB＝50米，宽BC＝25米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那小明沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（）A．74米 B．98米 C．99米 D．100米【答案】B【解答】解：由题意得：50+（25﹣2×0.5）×2＝50+24×2＝50+48＝98（米），∴从出口A到出口B所走的路线图中虚线长为98米，故选：B．3．如图是一个会场台阶的截面图，要在上面铺上地毯，则所需地毯的长度是3.2m．【答案】3.2．【解答】解：楼梯的长为2m，高为1.2m，则所需地毯的长度是2+1.2＝3.2（m）．故答案为：3.2．4．夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥（图中虚线），若荷塘周长为900m，且桥宽忽略不计，则小桥的总长为450m．【答案】450．【解答】解：∵荷塘周长为900m，∴小桥总长为：900÷2＝450（m）．故答案为：450．二．平移的性质（共2小题）5．如图：直角△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则内部五个小直角三角形的周长为30．【答案】见试题解答内容【解答】解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB＝30．故答案为：30．6．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，将△ABC沿着BC的方向平移至△DEF，若四边形ADFC的面积为24，则平移的距离为4．【答案】4．【解答】解：由平移得：AD∥CF，AD＝CF，∴四边形ADFC是平行四边形，∵四边形ADFC的面积为24，∠B＝90°，∴CF•AB＝24，∵AB＝6，∴CF＝4，∴平移的距离为4，故答案为：4．三．坐标与图形变化-平移（共1小题）7．如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线移动（即：沿着长方形移动一周）．（1）写出点B的坐标（4，6）．（2）当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并求出点P的坐标．（3）在移动过程中，当点P到x轴距离为5个单位长度时，求点P移动的时间．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据长方形的性质，可得AB与y轴平行，BC与x轴平行；故B的坐标为（4，6）；故答案为：（4，6）；（2）根据题意，P的运动速度为每秒2个单位长度，当点P移动了4秒时，则其运动了8个长度单位，此时P的坐标为（4，4），位于AB上；（3）根据题意，点P到x轴距离为5个单位长度时，有两种情况：P在AB上时，P运动了4+5＝9个长度单位，此时P运动了4.5秒；P在OC上时，P运动了4+6+4+1＝15个长度单位，此时P运动了＝7.5秒．四．旋转的性质（共16小题）8．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（）A． B． C．4 D．6【答案】B【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，∴AC＝AC1＝2，∠CAC1＝60°，∵AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，∴∠BAC1＝90°，∴在Rt△BAC1中，BC1＝＝．故选：B．9．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′（点B的对应点是点B'，点C的对应点是点C'），连接BB′，若AC′∥BB′，则∠C'AB′的度数为（）A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】B【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，∴∠BAB′＝∠CAC′＝120°，AB＝AB′，∴∠AB′B＝（180°﹣120°）＝30°，∵AC′∥BB′，∴∠C′AB′＝∠AB′B＝30°，故选：B．10．如图，直线c与直线a相交于点A，与直线b相交于点B，∠1＝130°，∠2＝60°，若要使直线a∥b，则将直线a绕点A按如图所示的方向至少旋转（）A．10° B．20° C．60° D．130°【答案】A【解答】解：∵∠2＝60°，∴若要使直线a∥b，则∠3应该为60°，又∵∠1＝130°，∴∠3＝50°，∴直线a绕点A按顺时针方向至少旋转：60°﹣50°＝10°，故选：A．11．如图，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝15°，在△OCD中，OC＝OD，∠COD＝45°，且点C在边OA上，连接CB，将线段OB绕点O逆时针旋转一定角度得到线段OE，使得DE＝CB，则∠BOE的度数为（）A．15° B．15°或45° C．45° D．45°或60°【答案】B【解答】解：如图，当OE在∠BOD内部时，若∠DOE＝∠COB＝15°，则由OD＝OC，∠DOE＝∠COB，OB＝OE可得，△ODE≌△OCB，故DE＝CB，此时∠BOE＝45°﹣15°﹣15°＝15°；当OE'在∠BOD外部时，则由OD＝OC，∠DOE'＝∠COB，OB＝OE可得，△ODE'≌△OCB，故DE'＝CB，此时∠BOE'＝45°﹣15°+15°＝45°；故选：B．12．如图，△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕A′逆时针旋转一定角度，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（）A．4，30° B．2，60° C．1，60° D．3，30°【答案】B【解答】解：由平移得：AB＝A′B′＝4，∠B＝∠A′B′C′＝60°，由旋转得：A′B′＝A′C，∴△A′B′C是等边三角形，∴∠B′A′C＝60°，B′C＝A′B′＝4，∵BC＝6，∴BB′＝BC﹣B′C＝6﹣4＝2，∴平移的距离为2，旋转角的度数为60°，故选：B．13．已知等边△ABC的边长为4，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是（）A． B． C．2 D．不能确定【答案】B【解答】解：如图，由旋转可得∠ACQ＝∠B＝60°，又∵∠ACB＝60°，∴∠BCQ＝120°，∵点D是AC边的中点，∴CD＝2，当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，此时，∠CDQ＝30°，∴CQ＝CD＝1，∴DQ＝＝，∴DQ的最小值是，故选：B．14．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为9．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，∴△ABC≌△A1BC1，∴A1B＝AB＝6，∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°，如图，过A1作A1D⊥AB于D，则A1D＝A1B＝3，∴S△A1BA＝×6×3＝9，又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，S△A1BC1＝S△ABC，∴S阴影＝S△A1BA＝9．故答案为：9．15．如图，△ABC是等边三角形，AB＝3，E在AC上且AE＝AC，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，则线段AF的最小值是1+．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图所示，过E作EG⊥BC于G，过A作AP⊥EG于P，过F作FH⊥EG于H，则∠DGE＝∠EHF＝90°，∵∠DEF＝90°，∴∠EDG+∠DEG＝90°＝∠HEF+∠DEG，∴∠EDG＝∠FEH，又∵EF＝DE，∴△DEG≌△EFH（AAS），∴HF＝EG，∵△ABC是等边三角形，AB＝3，AE＝AC，∴AE＝2，CE＝1，∠AEH＝∠CEG＝30°，∴CG＝CE＝，AP＝AE＝1，∴EG＝CG＝，∴HF＝，∴当点D运动时，点F与直线GH的距离始终为个单位，∴当AF⊥EG时，AF的最小值为AP+HF＝1+，故答案为：1+．16．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确有①②③（填序号）①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB＝150°④∠APC＝135°【答案】见试题解答内容【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵△BQC≌△BPA，∴∠BPA＝∠BQC，BP＝BQ＝4，QC＝PA＝3，∠ABP＝∠QBC，∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，∴△BPQ是等边三角形，∴PQ＝BP＝4，∵PQ2+QC2＝42+32＝25，PC2＝52＝25，∴PQ2+QC2＝PC2，∴∠PQC＝90°，即△PQC是直角三角形，∵△BPQ是等边三角形，∴∠BOQ＝∠BQP＝60°，∴∠BPA＝∠BQC＝60°+90°＝150°，∴∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC，∵∠QPC＞30°，即∠APC＜135°，故答案为：①②③．17．如图，O是等边△ABC内一点，OA＝6，OB＝8，OC＝10，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，下列结论：①△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O'的距离为8；③四边形AOBO'的面积为24+15；④∠AOB＝150°；⑤S△AOC+S△AOB＝9+24，其中正确的结论是①②④⑤．【答案】见试题解答内容【解答】解：在△BO′A和△BOC中，∴△BO′A≌△BOC（SAS）．∴O′A＝OC．∴△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，①正确；如图1，连接OO′，根据旋转的性质可知△BOO′是等边三角形，∴点O与O'的距离为8，②正确；在△AOO′中，AO＝6，OO′＝8，AO′＝10，∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°．∴Rt△AOO′面积为×6×8＝24，又等边△BOO′面积为×8×4＝16，∴四边形AOBO'的面积为24+16，③错误；∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，④正确；如图2，将线段，AO以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AO'，连接OO′，则△AO′B≌△AOC（SAS），△BOO′是直角三角形，∠BOO′＝90°，△AOO′是等边三角形，所以△AOC面积+△AOB面积＝四边形AO′BO面积＝△AOO′面积+△BOO′＝9+24，⑤正确．故答案为①②④⑤．18．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝5，BC＝7，点D是直线AB上一动点，线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，则线段BE长度的最小值为．【答案】．【解答】解：如图1，过点C作CT⊥CB于C，取CT＝CB，连接BT，DT，过点T作TH⊥AB于H，过点C作CK⊥AB于K，CT与直线AB交于O，∵∠ECD＝∠BCT＝90°，∴∠ECB＝∠DCT，∵CE＝CD，CB＝CT，∴△ECB≌△DCT（SAS），∴BE＝DT，∴当点D与H重合时，DT的值最小，此时BE的值最小，最小值＝TH的长，∵CK⊥AB，∴CK2＝AC2﹣AK2＝BC2﹣BK2，∴52﹣AK2＝72﹣（8﹣AK）2，∴AK＝，∴AC＝2AK，∴∠ACK＝30°，CK＝，设AO＝x，则OK＝+x，则OC2＝CK2+OK2＝BO2﹣BC2，∴（+x）2+（）2＝（8+x）2﹣72，∴x＝，∵S△BOT＝S△BCT﹣S△BCO，∴•TH•（8+）＝×7×7﹣××（8+），∴TH＝，∴BE的最小值为．解法二：如图2，过点C作CH⊥AB于H，过C作CG⊥CH于C，取CG＝CH，连接EG，延长EG交AB于F．∵∠ECD＝∠HCG＝90°，∴∠ECG＝∠DCH，∵CE＝CD，CG＝CH，∴△CGE≌△CHD（SAS），∴∠CGE＝∠CHD＝∠HCG＝90°，∵CH＝CG，∴四边形CHFG是正方形，∴点E在直线EF上运动，当BE⊥EF时，BE的值最小，最小值是BF，设AH＝x，则有52﹣x2＝72﹣（8﹣x）2，∴x＝，∴AH＝，CH＝HF＝，∴BF＝AB﹣AH﹣HF＝8﹣﹣＝﹣，∴BE的最小值为．故答案为：．19．如图，已知∠AOB＝90°，点A绕点O顺时针旋转后的对应点A1落在射线OB上，点A绕点A1顺时针旋转后的对应点A2落在射线OB上，点A绕点A2顺时针旋转后的对应点A3落在射线OB上，…，连接AA1，AA2，AA3…，依此作法，则∠AA2A3＝157.5°，∠AAnAn+1等于（180﹣）度．（用含n的代数式表示，n为正整数）．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵点A绕点O顺时针旋转后的对应点A1落在射线OB上，∴OA＝OA1，∴∠AA1O＝∠AOB＝，∵点A绕点A1顺时针旋转后的对应点A2落在射线OB上，∴A1A＝A1A2，∴∠AA2A1＝∠AA1O＝，∠AA2A3＝180°﹣＝157.5°，∵点A绕点A2顺时针旋转后的对应点A3落在射线OB上，∴A2A＝A2A3，∴∠AA3A2＝∠AA2A1＝，以此类推，∠AAnAn﹣1＝，∴∠AAnAn+1＝180°﹣．故答案为：157.5°，180﹣．20．阅读下面材料，并解决问题：（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝150°；（2）基本运用请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；（3）能力提升如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP，∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，由题意知旋转角∠PAP′＝60°，∴△APP′为等边三角形，PP′＝AP＝3，∠AP′P＝60°，易证△PP′C为直角三角形，且∠PP′C＝90°，∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°；故答案为：150°；（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAF＝∠E′AF，在△EAF和△E′AF中，∴△EAF≌△E′AF（SAS），∴E′F＝EF，∵∠CAB＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，即EF2＝BE2+FC2．（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2，∴BC＝，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，∴△A′O′B如图所示；∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，∴△BOO′是等边三角形，∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°，∴C、O、A′、O′四点共线，在Rt△A′BC中，A′C＝，∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝．21．如图，P是等边△ABC内的一点，且PA＝5，PB＝4，PC＝3，将△APB绕点B逆时针旋转，得到△CQB．（1）旋转角为60度；（2）求点P与点Q之间的距离；（3）求∠BPC的度数．【答案】（1）60；（2）4；（3）150°．【解答】解：（1）∵将△APB绕点B逆时针旋转，∴∠PBQ＝∠ABC，∵△ABC为等边三角形，∴∠PBQ＝∠ABC＝60°，∴旋转角度为60°，故答案为：60；（2）连接PQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，BA＝BC，∵△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到的，∴△QCB≌△PAB，∴BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，∵BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，∴△PBQ是等边三角形，∴PQ＝PB＝4；即点P与点Q之间的距离是4；（3）∵QC＝5，PC＝3，PQ＝4，而32+42＝52，∴PC2+PQ2＝CQ2，∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，∵△PBQ是等边三角形，∴∠BPQ＝60°，∴∠BPC＝∠BPQ+∠QPC＝60°+90°＝150°．22．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，OM，ON，ON始终在OM的右侧，∠BOC＝112°，∠MON＝α．（1）如图1，当α＝70°，OM平分∠BOC时，求∠NOB的度数；（2）如图2，当OM与OB边重合，ON在OB的下方时，α＝80°，将∠MON绕O点按每秒4°的速度沿逆时针方向旋转n（0°＜n＜180°），使射线ON与∠BOC的角平分线形成夹角为30°，求此时旋转一共用了多少秒；（3）当∠MON在直线AB上方时，若α＝90°，点F在射线OB上，射线OF绕点O顺时针旋转n度（0°＜n＜180°），恰好使得∠FOA＝2∠AOM，OH平分∠NOC，∠FOH＝124°，请直接写出此时n的值．【答案】（1）14°；（2）旋转一共用了26.5s或41.5s；（3）54.4°或144°．【解答】解：（1）∵∠BOC＝112°，OM平分∠BOC，∴∠MOB＝∠BOC＝56°，∵∠MON＝70°，∴∠NOB＝∠MON﹣∠MOB＝14°；（2）由（1）知∠HOB＝∠COB＝56°，设旋转时间为ts，①当点N′在OH的右侧时，∠HON′＝30°，∴∠N′OB＝56°﹣30°＝26°，∴∠NON′＝∠N′OB+∠BON＝26°+80°＝106°；∴t＝106°÷4°＝26.5；②当点N′在OH的左侧时，∠HON′′＝30°，∴∠N′OB＝56°﹣30°＝26°，∴∠NON′′＝∠N′′OH+∠HOB+∠BON＝30°+56°+80°＝166°；∴t＝166°÷4°＝41.5；综上，旋转一共用了26.5s或41.5s；（3）当0°＜n＜90°时，如图，∵∠BOF＝n，∴∠AOF＝180°﹣n，∵∠FOA＝2∠AOM，∴∠AOM＝∠AOF＝90°﹣n，∵∠MON＝90°，∴∠AOM+∠BON＝90°，∴∠BON＝n，∴∠HON＝∠HOF﹣∠BON﹣∠BOF＝124°﹣n，∠CON＝∠BOC﹣∠BON＝112°﹣n，∵OH平分∠CON，∴∠CON＝2∠HON，∴112°﹣n＝2（124°﹣n），解得n＝54.4°；当90°＜n＜180°时，如图，∵∠BOF＝n，∴∠AOF＝180°﹣n，∵∠FOA＝2∠AOM，∴∠AOM＝∠AOF＝90°﹣n，∵∠MON＝90°，∴∠AOM+∠BON＝90°，∴∠BON＝n，∴∠HON＝360°﹣∠HOF﹣∠BON﹣∠BOF＝360°﹣124°﹣n﹣n＝236°﹣n，∠CON＝∠BOC﹣∠BON＝112°﹣n，∵OH平分∠CON，∴∠CON＝2∠HON，∴112°﹣n＝2（236°﹣n），解得n＝144°；综上，n为54.4°或144°．23．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N．（1）如图1，若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM，MN，BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论．（2）如图2，当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM，MN，BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论．【答案】（1）AM+BN＝MN．证明见解答；（2）AM+BN＝MN．证明见解答．【解答】解：（1）AM+BN＝MN．证明如下：如图1，延长CB到E，使BE＝AM，连接DE，∵∠A＝∠CBD＝90°，∴∠A＝∠DBE＝90°，∵△ADC≌△BDC，∴AD＝BD，在△DAM和△DBE中，，∴△DAM≌△DBE（SAS），∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，∵∠A＝90°，∠ACD＝30°，∴∠ADC＝∠BDC＝60°，∵∠MDN＝60°，∴∠MDN＝∠ADC＝∠BDC，∴∠ADM+∠BDN＝∠BDE+∠BDN＝∠EDN＝60°＝∠MDN，在△MDN和△EDN中，，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN＝NE，∵NE＝BE+BN＝AM+BN，∴AM+BN＝MN；（2）AM+BN＝MN．证明如下：如图2，延长CB到E，使BE＝AM，连接DE．由（1）同理得△DAM≌△DBE（SAS），∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，∵∠MDN+∠ACD＝90°，∠ACD+∠ADC＝90°，∠ADC＝∠CDB，∴∠NDM＝∠ADC＝∠CDB，∴∠ADM＝∠CDN＝∠BDE，∠CDM＝∠NDB，∴∠MDN＝∠NDE．在△MDN和△EDN中，，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN＝NE，∵NE＝BE+BN＝AM+BN，∴AM+BN＝MN．五．中心对称（共1小题）24．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标为（）A．（﹣4，﹣5） B．（﹣5，﹣4） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣4，﹣3）【答案】A【解答】解：∵点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴A（4，3），设直线AB解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线AB解析式为y＝x﹣1，令x＝0，则y＝﹣1，∴P（0，﹣1），又∵点A与点A'关于点P成中心对称，∴点P为AA'的中点，设A'（m，n），则＝0，＝﹣1，∴m＝﹣4，n＝﹣5，∴A'（﹣4，﹣5），故选：A．六．中心对称图形（共2小题）25．如所示图形中，既是轴对称图形但又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．故选：C．26．数学兴趣小组活动时，提出了如下问题：如图1，在△ABC中若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．解决方法：延长AD到E．使得DE＝AD．再连接BE（或将ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD）．把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．迁移应用：请参考上述解题方法，证明下列命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．（1）求证：BE+CF＞EF；（2）若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明．【答案】见试题解答内容．【解答】（1）证明：如图，延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），∴CF＝BG，DF＝DG，∵DE⊥DF，∴EF＝EG．在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．（2）解：BE2+CF2＝EF2．证明如下：∵∠A