第15课圆内接四边形（教师版）九年级数学上册《考点题型技巧》完整版讲与完整版练高分突破（浙教版）

第15课圆内接四边形目标导航目标导航学习目标1.了解圆的内接四边形和四边形的外接圆的概念.2.理解圆的内接四边形的性质定理:圆的内接四边形的对角互补.3.会运用圆的内接四边形的性质定理进行有关的论证和计算.知识精讲知识精讲知识点01圆内接四边形圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．知识点02圆内接四边形的性质圆内接四边形的性质：圆的内接四边形的对角互补．能力拓展考点01圆内接四边形的性质的应用能力拓展【典例1】如图，⊙O经过△ABC的顶点A、B，与边AC、BC分别交于点D、E，连接BD、AE，且∠ADB＝∠CDE．（1）求证：△ABE是等腰三角形；（2）若AB＝10，BE＝12，求⊙O的半径r．【思路点拨】（1）由四边形ABED为圆内接四边形，得出∠ABE＝∠CDE．利用同弧所对的圆周角相等得出∠ADB＝∠AEB，再利用等量代换得到∠ABE＝∠AEB，从而得证；（2）连接AO并延长交BE于H点，连接OB，OE，【解析】（1）证明：∵四边形ABED为圆内接四边形，∴∠ABE＝∠CDE．又∵，∴∠ADB＝∠AEB．又∵∠ADB＝∠CDE，∴∠ABE＝∠AEB．∴AB＝AE，∴△ABE为等腰三角形．（2）解：如图，连接AO并延长交BE于H点，连接OB，OE，∵AB＝AE，OB＝OE，∴点A、O在BE的垂直平分线上，即AH垂直平分BE，∴AO⊥BE于点H，．∵AB＝10，BE＝12，∴，．∴在Rt△OBH中：r2＝（8﹣r）2+62，∴．【点睛】本题考查同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的判定等知识，掌握与圆有关的基础知识是解题的关键．【即学即练1】如图，四边形ABCD内接于圆O，点E在对角线AC上．（1）若BC＝DC，∠CBD＝39°，求∠BCD的度数；（2）若在AC上有一点E，且EC＝BC＝DC，求证：∠1＝∠2．【思路点拨】（1）根据BC=CD，得到＝，求出∠BAD=78°，根据圆内接四边形的性质计算即可；

（2）根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质解答即可．【解析】解：（1）∵BC＝CD，∴＝，∴∠BAC＝∠DAC＝∠CBD＝39°，∴∠BAD＝78°，∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠BCD＝102°；（2）∵BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，又∠BAC＝∠BDC，∴∠CBD＝∠BAE，∴∠CEB＝∠BAE+∠2，∵CB＝CE，∴∠CBE＝∠CEB，∴∠BAE+∠2＝∠CBD+∠1，∴∠1＝∠2．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．分层提分分层提分题组A基础过关练1.已知在圆的内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝2：3：7，则∠D等于（）A．40° B．60° C．100° D．120°【思路点拨】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C＝180°，∠B+∠D＝180°，根据∠A：∠B：∠C＝2：3：7求出∠A：∠B：∠C：∠D＝2：3：7：6，再求出∠D即可．【解析】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∠B+∠D＝180°，∵∠A：∠B：∠C＝2：3：7，∴∠A：∠B：∠C：∠D＝2：3：7：6，∴∠D＝180°×＝120°，故选：D．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则∠BOD的度数是（）A．65° B．115° C．130° D．140°【思路点拨】根据邻补角互补求出∠DCB的度数，再根据圆内接四边形对角互补求出∠BAD的度数，最后根据圆周角定理即可求出∠BOD的度数．【解析】解：∵∠DCE＝65°，∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣65°＝115°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠DCB＝180°，∴∠BAD＝65°，∴∠BOD＝2∠BAD＝2×65°＝130°，故选：C．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握这些定理和性质是解题的关键．3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，则⊙O的半径为（）A．4 B．2 C． D．4【思路点拨】先根据圆内接四边形对角互补得出∠ADC＝45°，由圆周角定理得出∠AOC＝90°，根据OA＝OC可得出答案．【解析】解：连接OA，OC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，∴∠ADC＝45°，∴∠AOC＝90°，由勾股定理得：OA2+OC2＝AC2，∵OA＝OC，AC＝4，∴，∴⊙O的半径为：．故选：B．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角与圆心角的关系，解题的关键是熟练运用相关定理．4.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连结CE，DE．若∠BAD＝105°，则∠DCE为（）A．10° B．15° C．20° D．25°【思路点拨】根据圆内接四边形的性质得出∠BAD+∠BCD＝180°，求出∠BCD＝75°，根据圆周角定理得出∠BCE＝90°，再求出∠DCE即可．【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BAD＝105°，∴∠BCD＝75°，∵BE是⊙O的直径，∴∠BCE＝90°，∴∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝90°﹣75°＝15°，故选：B．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的度数为72°．【思路点拨】根据圆内接四边形的性质计算即可．【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠D＝180°，∵∠B＝108°，∴∠D＝180°﹣∠B＝72°，故答案为：72°．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．6.在圆内接四边形ABCD中，∠D﹣∠B＝40°，则∠B＝70度．【思路点拨】根据圆内接四边形对角互补，直接求出即可．【解析】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B+∠D＝180°，又∠D﹣∠B＝40°，∴∠B＝70°；故答案为：70．【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，灵活应用圆内接四边形的性质是解决问题的关键．7.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，连接AC，若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是130°．【思路点拨】利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余计算∠B＝50°，利用圆内接四边形的性质求得∠ADC的度数．【解析】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°，故答案为：130°．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补．8.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠A＝55°，∠F＝30°，则∠E＝40°．【思路点拨】利用圆内接四边形的外角等于内对角，得到∠BCF＝∠A，根据对顶角相等，得到∠DCE＝∠BCF，利用三角形内角和定理，求出∠ADC的度数，再利用外角的性质，即可得到∠E的度数．【解析】解：∵∠A＝55°，∠F＝30°，∴∠BCF＝∠A＝55°，∠ADC＝180°﹣∠F﹣∠A＝180°﹣55°﹣30°＝95°，∵∠ECD＝∠BCF＝55°，∵∠ADC＝∠E+∠DCE，即：95°＝∠E+55°，∴∠E＝40°．故答案为：40．【点睛】本题考查圆内接四边形，三角形内角和以及外角的性质．熟练掌握圆内接四边形的外角等于内对角，是解题的关键．9.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，∠DAE＝∠DAC．DB与DC相等吗？为什么？【思路点拨】首先利用等腰三角形的性质得出∠DBC＝∠DCB，进而利用圆内接四边形的性质得出∠EAD＝∠DCB，再利用圆周角定理求出∠DBC＝∠DCB即可．【解析】解：DB＝DC；理由：∵∠DAE是四边形ABCD的一个外角，∴∠EAD＝∠DCB，∵∠DAE＝∠DAC，∴∠DAC＝∠DCB，又∵∠DAC＝∠DBC，∴∠DBC＝∠DCB，∴DB＝DC．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质、圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识，得出∠DBC＝∠EAD是解题关键．10.如图，⊙O的半径为2，四边形ABCD内接于⊙O，圆心O到AC的距离等于．（1）求AC的长；（2）求∠ADC的度数．【思路点拨】（1）过O作OE⊥AC于E，连接OA、OC，根据勾股定理求出AE，根据垂径定理求出AE＝CE，再求出AC即可；（2）根据直角三角形的性质求出∠AOE＝30°，求出∠AOC＝60°，根据圆周角定理求出∠ABC，根据圆内接四边形的性质求出∠ADC+∠ABC＝180°，再求出答案即可．【解析】解：（1）过O作OE⊥AC于E，连接OA、OC，则∠AEO＝90°，∵圆心O到AC的距离等于，∴OE＝，由勾股定理得：AE＝＝＝1，∵OE⊥AC，OE过圆心O，∴AE＝CE＝1，∴AC＝AE+CE＝1+1＝2；（2）∵OA＝2，AE＝1，∠AEO＝90°，∴AE＝OA，∵∠AEO＝90°，∴∠AOE＝30°，同理∠COE＝30°，∴∠AOC＝30°+30°＝60°，∴∠ABC＝AOC＝30°，∵四边形ADCB是⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣30°＝150°．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，圆周角定理等知识点，能求出AE的长是解此题的关键．题组B能力提升练11.如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，所对的圆心角为50°，则∠C+∠E等于（）A．155° B．150° C．160° D．162°【思路点拨】连接AE，利用圆内接四边形对角互补求解即可．【解析】解：连接AE，∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，∴∠C+∠AED＝180°，∵所对的圆心角为50°，∴∠AEB＝×50°＝25°，∴∠C+∠BED＝180°﹣∠AEB＝155°，故选：A．【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质，熟记“圆内接四边形对角互补”是解题的关键．12.如图，点A、B、C在⊙O上，P为上任意一点，∠A＝m，则∠D+∠E等于（）A．2m B． C．180°﹣2m D．【思路点拨】根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠APC＝180°，∠ABP+∠ACP＝180°，从而可得∠EBP+∠PCD＝180°，再利用平角定义可得∠APC+∠BPE＝180°，从而可得∠A＝∠BPE＝m，进而可得∠BPE＝∠CPD＝m，然后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．【解析】解：∵四边形ABPC是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠APC＝180°，∠ABP+∠ACP＝180°，∴∠EBP+∠PCD＝360°﹣（∠ABP+∠ACP）＝180°，∵∠APC+∠BPE＝180°，∴∠A＝∠BPE＝m，∴∠BPE＝∠CPD＝m，∴∠E+∠D＝360°﹣（∠BPE+∠CPD+∠EBP+∠PCD）＝360°﹣（2m+180°）＝180°﹣2m，故选：C．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．13.如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，AC＝AE，∠D＝128°，则∠B＝116°．【思路点拨】连接AC、CE，根据圆内接四边形的性质求出∠CAE，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理求出∠ACE，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．【解析】解：连接AC、CE，∵点A、C、D、E都是⊙O上的点，∴∠CAE+∠D＝180°，∴∠CAE＝180°﹣128°＝52°，∵AC＝AE，∴，∴，∵点A、B、C、E都是⊙O上的点，∴∠AEC+∠B＝180°，∴∠B＝180°﹣64°＝116°，故答案为：116．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．14.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，点O在∠D的内部，∠OAD+∠OCD＝50°，则∠B＝130°．【思路点拨】由圆的内接四边形的性质以及圆周角定理，可得∠BAD+∠BCD＝180°，∠B+∠D＝180°，∠AOC＝2∠D，由∠OAD+∠OCD＝50°，得出∠OAB+∠OCB＝130°．设∠D＝x，则∠B＝180°﹣x，∠AOC＝2x．根据四边形OABC的内角和为360°，列出关于x的方程，解方程求出x，继而求得答案．【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∵∠BAD+∠BCD＝180°，∠B+∠D＝180°，∠AOC＝2∠D，∵∠OAD+∠OCD＝50°，∴∠OAB+∠OCB＝130°．设∠D＝x，则∠B＝180°﹣x，∠AOC＝2x．在四边形OABC中，∵∠OAB+∠OCB+∠B+∠AOC＝360°，∴130°+180°﹣x+2x＝360°，∴x＝50°，∴∠B＝180°﹣x＝130°．故答案为130．【点睛】此题考查了圆内接四边形对角互补的性质，圆周角定理，四边形内角和定理．此题难度适中，设∠D＝x，列出关于x的方程是解题的关键．15.如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC过圆心O，且AC⊥BD，P为BC延长线上一点，PD⊥BD，若AC＝10，AD＝8，则BP的长为12．【思路点拨】根据圆周角定理得到∠ADC＝90°，根据勾股定理得到CD＝＝6，推出点C是PB的中点，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解析】解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∵AC＝10，AD＝8，∴CD＝＝6，∵AC⊥BD，∴AC平分BD，∵PD⊥BD，∴AC∥PD，∴点C是PB的中点，∴PB＝2CD＝12，故答案为：12．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．16.如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝AD，点E在CD的延长线上，且DE＝BC，连接AE，若AE＝4，则四边形ABCD的面积为8．【思路点拨】如图，连接AC，BD．由△ABC≌△ADE（SAS），推出∠BAC＝∠DAE，AC＝AE＝4，S△ABC＝S△ADE，推出S四边形ABCD＝S△ACE，由此即可解决问题；【解析】解：如图，连接AC，BD．∵∠BCD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵∠ADE+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADE，∵AB＝AD，BC＝DE，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAC＝∠DAE，AC＝AE＝4，S△ABC＝S△ADE，∴∠CAE＝∠BAD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ACE＝×4×4＝8．故答案为8．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．17.如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．其中正确的结论是①②③④（填序号）．①∠MAC＝∠PBC，②△ABC是等边三角形，③PC＝PA+PB，④若PA＝1，PB＝2，则△PCM的面积＝．【思路点拨】根据圆内接四边形的性质和平角的定义即可得到∠MAC＝∠PBC；故①正确；根据圆周角定理得到∠ABC＝∠BAC＝60°，推出△ABC是等边三角形，故②正确；根据圆内接四边形的性质得到∠MAC＝∠PBC，∠ACB+∠APB＝180°；根据平行线的性质得到∠M+∠APB＝180°，求得∠M＝∠ACB；根据等边三角形的性质得到∠ACB＝∠BAC＝60°，AC＝BC；而∠BPC＝∠BAC＝60°，求得∠M＝∠BPC；根据全等三角形的性质得到PB＝AM，PA+PB＝PA+AM＝PM；根据等边三角形的性质得到PC＝PA+PB，故③正确；根据全等三角形的性质得到AM＝PB＝2，求得PM＝PA+AM＝1+2＝3，由三角形的面积公式得到△PCM的面积＝CM2＝，故④正确．【解析】解：∵A、P、B、C是⊙O上的四点，∴∠PBC+∠PAC＝180°，∵∠PAC+∠MAC＝180°，∴∠MAC＝∠PBC；故①正确；∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，故②正确；∵四边形APBC是⊙O的内接四边形，∴∠MAC＝∠PBC，∠ACB+∠APB＝180°；∵CM∥BP，∴∠M+∠APB＝180°，∴∠M＝∠ACB；又∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠BAC＝60°，AC＝BC；而∠BPC＝∠BAC＝60°，∴∠M＝∠BPC；在△ACM与△BCP中，，∴△ACM≌△BCP（AAS）．∴PB＝AM，PA+PB＝PA+AM＝PM；∵∠M＝∠BPC＝60°，∠APC＝∠ABC＝60°，∴△MPC为等边三角形，∴PC＝PM，∴PC＝PA+PB，故③正确；∵△ACM≌△BCP，∴AM＝PB＝2，∴PM＝PA+AM＝1+2＝3，∵△PCM是等边三角形，∴△PCM的面积＝CM2＝，故④正确，故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．18.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长．【思路点拨】（1）由圆周角定理得到∠BAC＝∠CDB，而∠BAC＝∠ADB，因此∠ADB＝∠CDB，得到BD平分∠ADC，由圆内接四边形的性质得到∠ABD+∠ADB＝90°，即可求出∠BAD＝90°；（2）由垂径定理推出△ACD是等边三角形，得到∠ADC＝60°由BD⊥AC，得到∠BDC＝∠ADC＝30°，由平行线的性质求出∠F＝90°，由圆内接四边形的性质求出∠FBC＝∠ADC＝60°，得到BC＝2BF＝4，由直角三角形的性质得到BC＝BD，因为BD是圆的直径，即可得到圆半径的长是4．【解析】（1）证明：∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB，∴BD平分∠ADC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB＝180°，∴2（∠ABD+∠ADB）＝180°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∴∠BAD＝180°﹣90°＝90°；（2）解：∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠BAE＝∠ADE，∴∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠AED＝90°，∵∠BAD＝90°，∴BD是圆的直径，∴BD垂直平分AC，∴AD＝CD，∵AC＝AD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°∵BD⊥AC，∴∠BDC＝∠ADC＝30°，∵CF∥AD，∴∠F+∠BAD＝180°，∴∠F＝90°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠FBC+∠ABC＝180°，∴∠FBC＝∠ADC＝60°，∴BC＝2BF＝4，∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，∴BC＝BD，∵BD是圆的直径，∴圆的半径长是4．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由圆内接四边形的性质得到∠ABD+∠ADB＝90°，由垂径定理推出△ACD是等边三角形．19.如图1，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共点的三条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中“爪形A”，如图2，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC，（1）证明：圆中存在“爪形D”；（2）若∠ADC＝120°，求证：AD+CD＝BD．【思路点拨】（1）由圆周角的性质直接证明即可；（2）延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE，证明△BAD≌△BCE（SAS），再证明△BDE是等边三角形，即可求解．【解析】（1）证明：∵AB＝BC，∴∴∠ADB＝∠CDB，∴DB平分圆周角∠ADC，∴圆中存在“爪形D”；（2）证明：延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE，∵∠A+∠DCB＝180°，∠ECB+∠DCB＝180°，∴∠A＝∠ECB，∵CE＝AD，AB＝BC，∴△BAD≌△BCE（SAS），∴∠E＝∠ADB，∵∠ADC＝120°，∴∠E＝∠ADB＝∠ADB＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴DE＝BD，即AD+CD＝BD．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，全等三角形的判定及性质，正确地作出辅助线是解题的关键．20.如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC．（1）若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；（2）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β，请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．【思路点拨】由∠E＝∠F，易得∠ADC＝∠ABC，又由圆的内接四边形的性质，即可求得答案；（1）根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果；（2）连接EF，根据圆内接四边形的性质得∠ECD＝∠A，再根据三角形外角性质得∠ECD＝∠1+∠2，则∠A＝∠1+∠2，然后根据三角形内角和定理有∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD＝180°，即2∠A+∠AEB+∠AFD＝180°，再解方程即可．【解析】证明：∵∠E＝∠F，∠DCE＝∠BCF，∠ADC＝∠E+∠DCE，∠ABC＝∠BCF+∠F，∴∠ADC＝∠ABC，（1）解：∵∠ADC＝∠ABC，∵∠EDC＝∠ABC，∴∠EDC＝∠ADC，∴∠ADC＝90°，∴∠A＝90°﹣42°＝48°；（2）解：连接EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD＝∠A，∵∠ECD＝∠1+∠2，∴∠A＝∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD＝180°，∴2∠A+∠AEB+∠AFD＝180°，即∠A＝90°﹣（α+β）．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．21.如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）请判断△ABC的形状？说明理由；（2）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．（3）证明：PA+PB＝PC．【思路点拨】（1）利用圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，从而可判断△ABC的形状；（2）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为的中点时，PE+CF＝PC从而得出最大面积．（3）在PC上截取PH＝PA，得到△APH为等边三角形，证明△APB≌△AHC，根据全等三角形的性质，结合图形证明即可．【解析】解：（1）△ABC是等边三角形．理由如下：在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形；（2）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下：如图，过点P作PE⊥AB，垂足为E．过点C作CF⊥AB，垂足为F．∵S△APB＝AB•PE，S△ABC＝AB•CF，∴S四边形APBC＝AB•（PE+CF），当点P为的中点时，PE+CF＝PC，PC为⊙O的直径，∴此时四边形APBC的面积最大．又∵⊙O的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB＝，∴S四边形APBC＝×2×＝．(3)证明：在PC上截取PH＝PA，∵∠APC＝60°，∴△APH为等边三角形，∴AP＝AH，∠AHP＝60°，在△APB和△AHC中，，∴△APB≌△AHC（AAS）∴PB＝HC，∴PC＝PH+HC＝PA+PB．【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式，正确作出辅助线是解题的关键．22.如图，⊙O为四边形ABCD外接圆，其中＝，其中CE⊥AB于E．（1）求证：AB＝AD+2BE；（2）若∠B＝60°，AD＝6，△ADC的面积为，求AB的长．【思路点拨】（1）过C点作CF⊥AD交AD的延长线于F点．根据全等三角形的判定和性质即可证明；（2）首先根据三角形的面积公式求得CF的长，根据全等三角形的性质求得∠B＝∠CDF＝60°，从而求得DF的长，结合（1）的结论即可求解．【解析】（1）证明：过C点作CF⊥AD交AD的延长线于F点．∵＝，∴CD＝CB，∠1＝∠2．又∵CF⊥AD，CE⊥AB，∴CF＝CE．∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴AF＝AE，DF＝BE，∴AD+DF＝AB﹣BE，∴AB＝AD+DF+BE＝AD+2BE，∴AB＝AD+2BE．（2）解：∵S△ADC＝AD×CF＝，∴CF＝，由（1），得Rt△CDF≌Rt△CBE，∴∠B＝∠CDF＝60°，在△CDF中，求得DF＝．∴AB＝AD+2BE＝6+×2＝11．【点睛】解决此题的关键是巧妙构造全等三角形，综合运用圆周角定理的推论和全等三角形的判定及性质．题组C培优拔尖练23.如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，，∠BCD＝120°，连接AC，DE⊥AC于点E，连接BE，若∠BED＝150°，AC＝，则DE的长为．【思路点拨】连接BD，由，得到AB＝AD，求得△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质得到AB＝BD，∠ABD＝∠ADB＝60°，求得∠ACD＝∠ABD＝60°，推出CD＝2CE，根据全等三角形的性质得到AE＝CD，求得AE＝2CE，得到CD＝AE＝2，根据勾股定理即可得到结论．【解析】解：连接BD，∵，∴AB＝AD，∵∠BCD＝120°，∴∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD，∠ABD＝∠ADB＝60°，∴∠ACD＝∠ABD＝60°，∴∠CDE＝30°，∴CD＝2CE，∵DE⊥AC，∴∠AED＝∠CED＝90°，∵∠BED＝150°，∴∠AEB＝120°，在△ABE与△DBC中，，∴△ABE≌△DBC（AAS），∴AE＝CD，∴AE＝2CE，∵AC＝，∴AE＝2，CE＝，∴CD＝AE＝2，∴DE＝＝，故答案为：．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．24．面积为18的圆内接四边形ABCD的对角线AC是直径，AD＝DC，DE⊥AB于E，则DE＝3．【思路点拨】连接BD，发现等腰直角三角形ACD和BDE．设⊙O的半径为R，DE＝x，首先根据AC把四边形ABCD分割成的两个三角形的面积进行计算，求得AB+BC＝6，再根据DE把四边形ABCD分割成的两部分的面积进行计算，即可求解．【解析】解：如图，连接BD，因为AC是直径，所以∠ADC＝90°．因为AD＝DC，所以∠ACD＝45°，所以∠ABD＝45°，又∠DEB＝90°，所以△DEB为等腰直角三角形，所以DE＝BE．设⊙O的半径为R，DE＝x，则，∵AB2+BC2＝4R2，∴（AB+BC）2＝4R2+2•AB•BC＝4R2+2（36﹣2R2）＝72，AB+BC＝6，又，∴（AB+BC）x＝18，则x＝3．故答案为：3．【点睛】此题的难度较大，综合运用了圆周角定理的推论、勾股定理和图形的面积计算方法．25.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，BC＝CD＝5，AD＝5，E为对角线AC上一动点，连结BE并延长交⊙O于点F．（1）若BF⊥AD，求证：∠ABF＝∠ACB；（2）求四边形ABCD的面积；（3）若△BCE为等腰三角形，求BF的长．【思路点拨】（1）先根据垂径定理可得：＝，再由圆周角定理可得结论；（2）如图1，过点C分别作AD和AB的垂线，垂足分别为G，H，证明Rt△CGD≌Rt△CHB（HL），则四边形ABCD的面积＝四边形CGAH的面积，从而可以解答；（3）当△BCE为等腰三角形时，可分三种情况：BC＝CE，BC＝BE，CE＝BE，根据勾股定理，三角函数，圆周角定理和相似三角形的性质可以解答．【解析】（1）证明：∵AD为直径，BF⊥AD，∴＝，∴∠ABF＝∠ACB；（2）解：如图1，过点C分别作AD和AB的垂线，垂足分别为G，H，∵CD＝BC，∴＝，∴∠CAD＝∠BAC，∴CG＝CH，∴Rt△CGD≌Rt△CHB（HL），∴四边形ABCD的面积＝四边形CGAH的面积，∵CG＝CH，AC＝AC，∴Rt△ACG≌Rt△ACH（HL），∴S△ACG＝S△ACH，∵AD是直径，∴∠ACD＝90°，∵AD＝5，CD＝5，∴AC＝＝＝10，∵S△ACD＝•AC•CD＝•AD•CG，∴×5×10＝××CG，∴CG＝2，由勾股定理得：AG＝＝＝4，∴四边形ABCD的面积＝四边形CGAH的面积＝2S△ACG＝2×××＝40；（3）解：分三种情况：①当BC＝CE时，如图2，过点E作EM⊥AB于M，过点C作CG⊥AD于G，连接AF，DF，∵CD＝BC＝CE＝5，AC＝10，∴AE＝10﹣5＝5，∵∠CAG+∠ACG＝90°，∠ACG+∠DCG＝90°，∴∠DCG＝∠CAG＝∠EA