人教版数学七年级下册第五章：5平行线及其判定

平行线及其判定

知识元

,力同一平面内直线的位置关系

避知识讲解

在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）.

'例题精讲

0同一平面内直线的位置关系

例1.

下列叙述中，正确的是（）.

A.在同一平面内，两条直线的位置关系有三种，分别是相交、平行、垂直

B.不相交的两条直线叫平行线

C.两条直线的铁轨是平行的

D.我们知道，对顶角是相等的，那么反过来，相等的角就是对顶角

【答案】C

【解析】

题干解析：

解：A、在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，分别是相交、平行，故A错误；

B、在同一个平面内，不相交的两条直线叫平行线，故B错误；

C、两条直线的铁轨是平行的，故C正确；

D、我们知道，对顶角是相等的，那么反过来，相等的角不一定是对顶角，故D错误；故选:

C.

例2.

下列与垂直相交的说法：

①平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行：

②平面内，一条直线如果它与两条平行线中的一条垂直，那么它与另一条也垂直;

③平面内，一条直线不可能与两条相交直线都垂直.

其中说法错误的个数有（）.

A.3个B.2个C.1个D.0个

【答案】D

【解析】

题干解析：

解：由垂直的定义和平行线的判定方法可知：

①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；

②在同一平面内一条直线如果它与两条平行线中的一条垂直，那么它与另一条也垂直;

③在同一平面内，一条直线不可能与两条相交直线都垂直，这三种说法都正确.故选D.

立体图形中平行线的判断

的知识讲解

在正方体长方体当中也会考察棱和边的位置关系，准备把握平行线定义是解题关键。

例题精讲

立体图形中平行线的判断

例1.

如图，在长方体ABCD-EFGH中，棱AB与棱HG的位置关系是

【答案】

平行

【解析】

题干解析:解：..•在长方体ABCD-EFGH中，HG〃EF,EF〃AB,，AB〃HG,故答案

为：平行.

例2.

如图所示，在长方体中.

(1)图中和AB平行的线段有哪些?

(2)图中和AB垂直的直线有哪些？

【答案】

⑴AB〃AB〃CiDi〃CD,即和AB平行的线段有A1B1、CM、CD；（2）

AB_LBBi，AB±BC,ABlAAi,AB_LAD,ABlCiC,ABlBiCi，AB±AiDi,

ABlDiD,即和AB垂直的直线有BBi、BC、AAi、AD、AC、BiCi>AMDiD.

【解析】

题干解析：（1）根据平行线的判定结合图形得出AB〃AiB】〃CQi〃CD,即可得出答

案；（2）根据垂直定义和平行线性质结合图形推出AB_LBBi，AB_LBC,

AB_LAAi，AB1AD,ABlCiC,ABlBiCi,ABlAiDuABlDiD,即可得出答案.

'酊平面图形中平行线判断

避知识讲解

在同一个平面的直线，我们可以通过其倾斜程度来判断是否平行。

例题精讲

平面图形中平行线判断

例L

如图，在同一平面内，有三条直线a、b、c,且2〃13,如果直线a与c交于点。，那么直线c

与b的位置关系是.

【答案】

相交

【解析】

题干解析:两直线平行，如果第三条直线与平行线中的一条相交，那么与另一条也

相交.

例2.

右图的网格纸中，AB〃，AB±

【答案】

CD

AE

【解析】

题干解析:由图形不难得出AB〃CD,而CD又垂直AE,则可得AB与AE垂直.解:

由图可得AB〃CD,而CDJ_AE,.•.可得AB_LAE.

作图一作平行线

辿

知识讲解

平行线的画法：

一放：放三角板，把直角三角板的一条直角边与已知边重合

二靠：靠直尺，把直尺靠在直角三角板另一条直角边上

三移：直尺固定不动，移动三角尺使其边与直线外已知点重合

四画：沿着直角三角板直角边画直线

例题精讲

作图-作平行线

例1.

我们已经掌握"在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”这一判定两直线平行的

方法.如图，已知直线AB和直线外一点C,请按照上述方法利用三角尺过点C画AB的平行

线.（保留作图痕迹，不用写作法）.

【答案】

解：如图所示：EF为所求作的图形.

【解析】

题干解析:利用直角三角板过点C作CD1AB,再利用直角三角板过点C作

EF±CD.

例2.

用三角尺、量角器或直尺画图，不要求写画法.

（1）过点P画0A的平行线，交射线0B于点M；

（2）过点P画0B的垂线，垂足为N；

（3）比较下列线段的长短：PMPN（用">"、"="或填写）.

B0

【答案】

解：（1）如图所示：（2）如图所示：（3）根据垂线段最短可得PM>

【解析】

题干解析：（1）利用平行线的画法过P画PM〃AO即可；（2）里用直角三角板,

一条直角边与0B重合，沿B0移动三角板使另一条直角边过点P画直线即可；

（3）根据垂线段最短可直接得到答案.

平行公理的理解

超知识讲解

平行线公理及推论：

（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义.从作图的角度说，它是“能但只能画出一

条”的意思.

（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线

平行时应用.

'例题精讲

2平行公理的理解

例1.

过一点画已知直线的平行线().

A.有且只有一条B.不存在

C.有两条D.不存在或有且只有一条

【答案】D

【解析】

题干解析：

解：若点在直线上，过这点不能画已知直线的平行线；

若点在直线外，根据平行公理，有且只有一条直线与已知直线平行.

故选D.

例2.

如图，直线a,点B,点C.

(1)过点B画直线a的平行线，能画几条？

(2)过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？

【答案】

解：(1)如图，过直线a外的一点画直线a的平行线，有且只有一条直线与直线

a平行(2)过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行.理由如下：如

图，b//a,c〃a,...c〃b.

［解析］------------*------

题干解析:根据平行公理及推论进行解答.------------)

平行公理推论应用

知识讲解

如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行，可以作为判定直线平行的依据。

例题精讲

平行公理推论应用

例L

三条直线a、b、c,若@〃<:,b〃c,则a与b的位置关系是（）.

A.a±bB.a//b

C.aj_b或a〃bD.无法确定

【答案】B

【解析】

题干解析：

解：由于直线a、b都与直线c平行，依据平行公理的推论，可推出a〃b.故选B.

例2.

下列语句：

①不相交的两条直线叫平行线

②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行

③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行

④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行

⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行

正确的个数是（）.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

题干解析：

解：①不相交的两条直线叫平行线，必须是在同一平面内，故错误；

②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，正确;

③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行，错误;

④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行，故正确；

⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误；

故选：B.

例3.

如图所示，梯形ABCD中，AD〃BC,P是AB的中点，过P点作AD的平行线交DCC于Q点

（1）PQ与BC平行吗？为什么？

（2）测量DQ与CD的长，DQ与CQ是否相等？

【答案】

解：（1）PQ/7BC,理由如下：,.*（21〃人。又..工口〃8（：.“（1〃8（：（在同一平面内,

平行于同一直线的两直线平行）；（2）通过测量，可得出DQ=CQ,

【解析】

题干解析：（1）根据平行线的传递性可得出答案；（2）先测量。

2飞同位角相等，两直线平行

避

知识讲解

定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.

简单说成：同位角相等，两直线平行.

「例题精讲

日同位角相等，两直线平行

例1.

如图，要得到2〃4则需条件（）.

A.Zl+Z2=180°B.Z1=Z2

C.Zl+Z2=90°D.Zl+Z2=120°

【答案】

【解析】

题干解析：

解：如图：

A、VZ1+Z2=18O°,Z3+Z2=180",

•,.Z1=Z3,

；.a〃b,故本选项正确；

B、根据/1=/2不能推出a〃b,故本选项错误；

C、根据/1+/2=90。不能推出a〃b,故本选项错误；

D、根据Nl+N2=120。不能推出a〃b,故本选项错误；故选：A.

例2.

如图，Zl=53°,22=127。，N3=53。，试说明直线AB与CD,BC与DE的位置关系.

A

23

【答案】

解：AB〃DC,CB〃DE,理由:VZ1=53°,Z3=53°,AZ1=Z3,；.CB〃DE,

VZ2=127°,.•.N4=53°,/.Z4=Z3,AABCD.

【解析】

题干解析:首先根据N1=N3可得CB〃DE,再根据邻补角互补可得N4的度数，然

后再根据/4=/3可得AB〃DC.

例3.

如图，己知AC_LAE,BD±BF,Zl=15°,Z2=15°,证明AE〃BF.

【答案】

见解析

【解析】

题干解析:：AC_LAE,BD±BF.-.ZEAC=ZFBD=90OVZ1=15°,

Z2=15°.•.NEAB=/FBG；.AE〃BF

：Y内错角相等，两直线平行

避

知识讲解

定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.

简单说成：内错角相等，两直线平行.

例题精讲

内错角相等，两直线平行

例1.

如图，下列各组条件中，不能得到c〃d的是（）.

A.Z2=Z3B.Zl+Z2=180°

C.Z2+Z4=180°D.Z2=Z5

【答案】

【解析】

题干解析：

解：A、VZ2=Z3,

.,.c//d,正确，故A错误;

B、由Zl+N2=180。能推出a〃b,不能推出£：〃出错误，故B正确;

C、VZ2+Z4=180°,

.♦.c〃d,正确，故C错误;

D、VZ2=Z5,

；.c〃d,正确，故D错误；故选：B.

例2.

如图，点A在直线DE上，若/BAC=度，则DE〃BC.

【答案】

57°

【解析】

题干解析:解：当NBAC=57°时DE〃BC,理由是：VZBAC=57°,ZDAB=78°,

.,.ZDAC=57°+78°=135°,VZACM=135°,AZDAC=ZACM,，DE〃BC,故答案

为：57°.

例3.

如图，己知NA=N1,ZC=Z2,求证：AB〃CD.

B

0---------

【答案】

证明：VZA=Z1,；.AB〃PQ,VZC=Z2,，CD〃PQ,AB〃CD.

【解析】

题干解析:先根据内错角相等，两直线平行，由NA=N1,/C=N2分别得到

PQ〃AB,PQ〃CD,然后根据两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行

得到结论.

7同旁内角互补，两直线平行

知识讲解

定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.

简单说成：同旁内角互补，两直线平行.

'例题精讲

a

同旁内角互补，两直线平行

例1.

如图，己知N1=70°,要使AB/7CD,则须具备另一个条件（）.

AD

A.Z2=70°B.Z2=100°

C.Z2=110°D.Z3=110°

【答案】c

【解析】

题干解析：

解：Zl=70°,要使AB〃CD,

则只要N2=180°-70°=110°（同旁内角互补两直线平行）.

故选：C.

例2.

如图，直线AB、CD与直线EF相交于E、F,N2=65。，当Nl=时，能使AB〃CD.

【答案】

115°

【解析】

题干解析:Nl=115°.理由是：VZ1=115°,AZAEF=Z1=115°,,：Z2=65°,

：.ZAEF+Z2=115°+65o=180°,AABCD.故答案为：115°.

例3.

如图，Z2+ZD=180°,Z1=ZB,那么AB〃EF吗？为什么？

【答案】

解：AB〃EF；理由如下：，.，Z2+ZD=180°,，EF〃CD,VZ1=ZB,AAB//CD,

，AB〃EF.

【解析】

题干解析:由同旁内角互补得出EF〃CD,由同位角相等得出AB〃CD,即可得出

AB〃EF.

平行公理推论判定平行

避知识讲解

定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行.

例题精讲

平行公理推论判定平行

例L

下列说法正确的是（）.

A.a、b、c是直线，若a_Lb,b〃c,贝Ua〃c

B.a^b、c是直线，若2_1_13,b±c,则aJ_c

C.a、b、c是直线，若2〃4b_Lc,贝！Ja〃c

D.a、b、c是直线，若2〃13,b〃c,贝！］a〃c

【答案】

【解析】

题干解析：

根据平行线的性质和判定逐个判断即可.

两直线同垂直一条直线，则平行

避知识讲解

定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行.

例题精讲

两直线同垂直一条直线，则平行

例1.

如图，下列条件中，能得到DG〃BC的是（）.

A.CD±AB,EF±AB

B.Z1=Z2

C.Z1=Z2,Z4+Z5=180°

D.CD1AB,EF1AB,Z1=Z2

【答案】D

【解析】

题干解析：

由平行线的判定得出A、B、C不能得到DG〃BC：由平行线的判定与性质得出D能得到

DG/7BC.

解:A不能;VCD1AB,EF1AB,

；.CD〃EF,

再没有条件得出DG〃BC；

:*A不能；

B不能，

Z1=Z2不能得到DG〃BC,

，B不能：

C不能；VZ4+Z5=180°,

；.DG〃CG,

不能得出DG〃BC,

；.C不能；

D能；VCD±AB,EF±AB,

；.CD〃EF,

/.Z2=Z3,

VZ1=Z2,

.*.Z1=Z3,

；.DG〃BC,

D能；

故选：D.

例2.

如图，在AABC中，CE_LAB于E,DF_LAB于F,AC〃ED,且NEDF=NBDF.求证：CE是NACB

的平分线.

B'

D

【答案】

解：VCE1AB,DF1AB,：.DF//CE,AZEDF=ZDEC,ZBDF=ZBCE,

VAC/ZED,，NDEC=NACE,VZEDF=ZBDF,AZBCE=ZACE,...CE是NACB的

平分线.

【解析】

题干解析:由CE与DF都与AB垂直，得到DF与CE平行，利用两直线平行内错角

相等得到一对角相等，再由AC与ED平行得到一对内错角相等，等量代换得到

ZEDF=ZACE,ZBDF=ZBCE,由已知角相等，等量代换即可得证.

yV平行线综合判定

知识讲解

运用平行线五种判定方法综合运用。

例题精讲

Z平行线综合判定

例L

如图，点E在CD延长线上，下列条件中不能判定AB〃CD的是（）.

A.Z1=Z2B.Z3=Z4

C.Z5=ZBD.ZB+ZBDC=180°

【答案】A

【解析】

题干解析：

解：选项B中，VZ3=Z4,/.AB/7CD（内错角相等，两直线平行），所以正确;

选项C中，...N5=/B,，AB〃CD（内错角相等，两直线平行），所以正确；

选项D中，：NB+NBDC=180°，,AB〃CD（同旁内角互补，两直线平行），所以正确;

而选项A中，N1与N2是直线AC、BD被AD所截形成的内错角，因为N1=N2,所以应是

AC/7BD,故A错误.故选A.

例2.

已知：如图，ZC=Z1,/2和/D互余，BE_LFD于点G.求证：AB〃CD.

【答案】

见解析

【解析】

题干解析:证明：VBE±FD,.,.ZEGD=90°,.,.Zl+ZD=90°,又N2和ND互余,

即N2+ND=90°，又已知NC=N1,AZC=Z2,AABCD.

例3.

如图，已知AC〃DE,CD〃EF,CD平分/ACB.求证:

(1)ZDCB=ZCDE；

(2)EF平分NDEB.

【答案】

证明：（1）VAC^DE,AZACD=ZCDE,「CD平分NACB,AZACD=ZDCB,

.,.ZDCB=ZCDE；（2）VDC/ZEF,AZDCB=ZFEB,ZDEF=ZCDE,又由（1）矢口

ZDCB=ZCDE,.，.ZFEB=ZDCE,AZDEF=ZFEB,；.EF平分/BED.

【解析】

题干解析：（1）由平行线的性质可得NACD=NCDE,由角平分线的定义可得

ZDCB=ZACD,可证得结论；（2）由平行可得NDCE=NFEB,且/DEF=NEDC,结

合（1）的结论，可证明EF平分NDEB.

的当堂练习

单选题

练习1.

下列叙述中，正确的是（）.

A.在同一平面内，两条直线的位置关系有三种，分别是相交、平行、垂直

B.不相交的两条直线叫平行线

C.两条直线的铁轨是平行的

D.我们知道，对顶角是相等的，那么反过来，相等的角就是对顶角

练习2.

已知直线I上有2个点A,B,点P是直线I外一点，PA=lcm,PB=2cm,有下列说法：

①点P到直线I的距离等于1cm；

②根据垂线段最短，可以判定PAL；

③过点P只能画一条直线与I平行.

这些说法正确的有（）.

A.0个B.1个C.2个D.3个

练习3.

在同一个平面内，不重合的两条直线的位置关系是（）.

A.平行B.相交C.平行或相交D.无法确定

练习4.

下列语句：

①不相交的两条直线叫平行线

②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行

③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行

④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行

⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行

正确的个数是（）.

练习5.

如图，下列各组条件中，不能得到C〃d的是（）.

A.Z2=Z3B.Zl+Z2=180°

C.Z2+Z4=180°D.Z2=Z5

练习6.

如图，下列说法中，正确的是（).

A.因为N2=N4,所以AD〃BC

B.因为NBAD+/D=180°,所以AD〃BC

C.因为N1=N3,所以AB〃CD

D.因为NBAD+NB=180°,所以AD〃BC

练习7.

如图，点E在CD延长线上，下列条件中不能判定AB〃CD的是（）.

A.Z1=Z2B.N3=N4

C.N5=NBD.ZB+ZBDC=180°

填空题

练习1.

观察如图所示的长方体后填空：

（1）用符号表示下列两棱的位置关系:

AiBiAB,AiAAB,AiDiCiDi，ADBC；

（2）AiBi与BC所在的直线是两条不相交的直线，它们平行线（填"是"或"不是"），由

此可知，在内，两条不相交的直线才能叫做平行线.

练习2.

如图，VZADE=ZDEF（已知），

，AD〃(),

VZEFC+ZC=180°(已知)，

；.EF〃(),

//()

练习3.

如图，在长方体