数学分析知识点

第一章实数集与函数

§1实数

授课章节：第一章实数集与函数一一§1实数

教学目的：使学生掌握实数的基本性质.

教学重点：

(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；

(2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等

式.(它们是分析论证的重要工具)

教学难点：实数集的概念及其应用.

教学方法：讲授.〔局部内容自学)

教学程序：

引言

上节课中，我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究

对象、主要内容等话题.从本节课开场，我们就基本按照教材顺序

给大家介绍这门课程的主要内容.首先，从大家都较为熟悉的实数和

函数开场.

［问题］为什么从“实数〃开场.

答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数〃

是定义在“实数集”上的(后继课《复变函数》研究的是定义在复数

集上的函数〕.为此，我们要先了解一下实数的有关性质.

一、实数及其性质

1、实数

有理数:任何有理数都可以用分数形式且（p,g为整数且qwO）表示，

P

也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示.

・无理数:用无限十进不循环小数表示.

R={x\x为实数}一全体实数的集合.

［问题］有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利

的.为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表

示为“无限小数”.为此作如下规定：

对于正有限小数x=a0.a1a2an.其中

0<a,<9,i=1,2,NO,%为非负整数，t己彳=4.。|an_x（an-1）9999;

对于正整数x=a。,则记x=（a。-1）.9999;对于负有限小数（包括负

整数）y,则先将-y表示为无限小数，现在所得的小数之前加负

号.0表示为

0=0.（XXX）

例：2.001.2.0009999.；

利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示.在

此规定下，若何对比实数的大小

2、两实数大小的对比

1）定义1给定两个非负实数x=a,，y=b0.btbn.其中

%也为非负整数，%也（左=1,2,）为整数，04%49,0W/W9.假设有

dk=b鹏=0,1,2,,,则称x与y相等，记为x=y;假设或存在非

负整数/,使得q=/,左=0,1,2,,而4+1>仿+i，则称x大于y或y小于

X,分别记为x>y或y<x.对于负实数X、y,假设按上述规定分别

有-x=-y或-x>-y,则分别称为x=y与（或y>x）.

规定：任何非负实数大于任何负实数.

2）实数对比大小的等价条件（通过有限小数来对比）.

定义2（缺乏近似与过剩近似］：%=%%%为非负实数，称有

理数%为实数X的几位缺乏近似；X.=x“++称为实数X的N

位过剩近似，n=0,1,2,.

对于负实数X=­。（）吗，其〃位缺乏近似Z=一4.4an-5〃

位过剩近似三=一%4a”.

注：实数x的缺乏近似x“当“增大时不减，即有天4玉;过

剩近似高当n增大时不增，即有哈士*2.

命题：记了=如。1册,y=b0.btbn为两个实数，则x>y的等

价条件是：存在非负整数n,使%>力（其中x“为x的〃位缺乏近似，

可为y的〃位过剩近似）•

命题应用

例L设为实数，x<y,证明存在有理数「，满足

证明：由x<y,知：存在非负整数n,使得x“<.令r=gk“+%），

则r为有理数，且

x<xn<r<yn<y.即x<r<y.

3、实数常用性质（详见附录II.也9-取2）.

1）封闭性〔实数集R对+,-,x,一〕四则运算是封闭的.即任意两

个实数的和、差、积、商〔除数不为0）仍是实数.

2）有序性：\/a,b&R,美系a〈b,a>b,a=b,三者必居其一，也只

居其一.

3）传递性：Va,b,ceR,若a>b,b>c,则a>c.

4）阿基米德性：R,b>a>O=>m〃eN使得na>b.

5）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数.

6）一一对应关系：实数集/?与数轴上的点有着一一对应关系.

例2.设R,证明：假设对任何正数£,有则aW".

（提示：反证法.利用“有序性"，取£="-））

二、绝对值与不等式

1、绝对值的定义

实数。的绝对值的定义为fl-0.

2、几何意义

从数轴看，数4的绝对值⑷就是点口到原点的距离.表示就

是数轴上点x与a之间的距离.

3、性质

1）|a|=|—a|20;|a|=0=a=0（非负性）；

2）-1a|<a<|a|；

3）\a\<ho-h<a<h,\a\<ho-h<a<h.（h>0）;

4）对任何R有a土+|b|（三角不等式）;

5）\ab\=\a\-\b\;

三、几个重要不等式

INa~+b2|sinx|<l.|sinx|<|x|.

2、均值不等式:对Vqs，…，4，R+，记

加皿)"+生+...+*」£《,(算术平均值)

nn/=1

\_

；，

G(a,.)=^a,a2---an=ffj«,|,(几何平均值)

2!

^,)=-r-r一r=VT=r+(调和平均值)

---1----F•■■4---〉,〉,

«,W«„〃&a：Mq

有平均值不等式：H(ai)<G(a,)<M(ai),即：

等号当且仅当/=w=…=。”时成立.

3、Bernoulli不等式：(在中学已用数学归纳法证明过)

Vx>-1,有不等式(1+x)"21+nx,neN.

当%>-1且x/0,且〃22时,有严格不等式(1+x)">1+nx

证：由l+x>0且1+xxO,=>(1+x)"+〃-l=(l+x)"+1+1+…+1>

4、利用二项展开式得到的不等式:对V〃>0,由二项展开式

有(1+力)”>上式右端任何一项.

［练习］P4.5

一实数及其性质

［课堂小结］：实数：,二绝对值与不等式

［作业］P4.1.(1),2.⑵、(3),3

§2数集和确界原理

授课章节：第一章实数集与函数一一§2数集和确界原理

教学目的：使学生掌握确界原理，建设起实数确界的清晰概念.

教学要求：

(1)掌握邻域的概念；

(2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正

确地加以运用.

教学重点：确界的概念及其有关性质(确界原理).

教学难点：确界的定义及其应用.

教学方法：讲授为主.

教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此

后导入新课.

引言

上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又

让大家自学了第一章§1实数的相关内容.下面，我们先来检验一下

自学的效果若何！

1>证明：对任何xeR有：⑴|x-l|+|x-2|21;(2)

|x-l|+|x-2|+|x-3|>2.

((1)|x-1|=|l+(x—2)|>1—|x—2|,.,.|x-l|+|x—2|>1)

((2),_"+卜_2|之1,,_2|+卜_3|之1,卜_2|+卜_3巧2.三式相力口化简即可)

2、证明：||x|-

3、设a,bGR,证明：假设对任何正数£有4+》<£,则

4、设证明：存在有理数r满足y<r<x.

［引申］:①由题1可联想到什么样的结论呢这样思考是做科研时

的经常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题

引出一般的结论：一般的方法②由上述几个小题可以体会出“大学数

学"习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非

凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语

言应用.提请注意这种差异，尽快掌握本门课程的术语和工具.

本节主要内容：

1、先定义实数集R中的两类主要的数集一一区间与邻域；

2、讨论有界集与无界集；

3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理〔确界原理〕.

一、区间与邻域

1、区间(用来表示变量的变化范围)

设且a<0.区间<,其中

无限区间

2、邻域

联想:“邻居〃.字面意思：”邻近的区域〃.与。邻近的“区域”

很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢就是“关于。的对称区

间”；若何用数学语言来表达呢

⑴a的b邻域:设aeR»>0,满足不等式|x-a|<S的全体实数x

的集合称为点a的5邻域，记作U(a»),—'------~-

Oa-3a

U(a»)={x||x-a|<3}=(a-b,a+b).

其中a称为该邻域的中心，5称为该邻域的半径.

〔2〕点。的空心3邻域

U"(a;5)={x|0<|x—a|<3}=(a—b,a)u(a,a+3)，U"(a).

(3〕。的S右邻域和点。的空心5右邻域

(4)点a的5左邻域和点。的空心b左邻域

(5)8邻域，+8邻域，—邻域

U(°°)={X||X|>M},(其中M为充分大的正数);

二、有界集与无界集

1、定义1［上、下界)：设S为R中的一个数集.假设存在数M(L),

使得一切xeS都有则称S为有上〔下)界的数集.数

/⑷称为S的上界［下界)；假设数集S既有上界，又有下界，

则称S为有界集.

闭区间［a,可、开区间(a,b)(a,〃为有限数)、邻域等都是有界数集，

集合E={_y|y=sinx,xe(-8,+8)}也是有界数集.

假设数集S不是有界集，则称S为无界集.

(-00,+8),(-8,0),(0,+8)等都是无界数集，

集合E={y［y=JX€(O,1)}也是无界数集.

注：1)上(下)界假设存在，不唯一；

2〕上(下)界与S的关系若何看下例：

例1讨论数集乂={川〃为正整数}的有界性.

解：任取〃小%，显然有所以M有下界1;

但时无上界.因为假设M有上界M,则M>0,按定义，对任意

n0eN+,都有n0<M,这是不可能的，如取

%+符号［"］表示不超过M的最大整数)，则%eM,且

综上所述知：乂是有下界无上界的数集，因而是无界集.

例2证明：（1）任何有限区间都是有界集；［2）无限区间都是无

界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.

［问题］:假设数集S有上界，上界是唯一的吗对下界呢（答：不唯

一，有无穷多个）.

三、确界与确界原理

1、定义

定义2（上确界）设S是R中的一个数集，假设数〃满足：（1）

对一切xwS,有1即〃是S的上界）；（2）对任何,存在/eS,

使得x0〉a（即〃是S的上界中最小的一个），则称数〃为数集S的上

确界，记作〃=supS.

从定义中可以得出:上确界就是上界中的最小者,

命题=supE充要条件

1）\/x&E,x<M;

2）V£>o,3x0eS,使得%>M-£.

证明：必要性，用反证法.设2）不成立，则

为0>0,使得VxeE,均有xWM-%,与M是上界中最小的一个矛盾.

充分性（用反证法〕，设M不是E的上确界，即三叫,是上界，但

M>MQ.^-£=M,由2）,BxQeE,使得Xo>M—£=M）,与M（,是

E的上界矛盾.

定义3（下确界）设S是R中的一个数集，假设数4满足：（1）

对一切xwS,有X*（即J是S的下界）；⑵对任何/?>《，存在

使得玉,<，（即J是S的下界中最大的一个），则称数J为数集S的下

确界，记作“infS.

从定义中可以得出：下确界就是下界中的最大者.

命题2j=infS的充要条件：

1)VXGE,x>^;

2)\/£,0,/£S,有尤o<§+£.

上确界与下确界统称为确界.

■、

例3(1)S=«l+(D>，则supS=]_;infS=0.

n

[2)E={j|y=sinx,xe(O,乃)}.贝！IsupS=，;infS=0.

注：非空有界数集的上(或下)确界是唯一的.

命题3：设数集A有上(下)确界，则这上(下)确界必是唯一

的.

证明：设〃=supA,?/=supA且;7工〃，,则不妨设77<〃’

H=supA=>\/x&A^x<r/

=supAn对〃<〃，，三天)€4使〃<入0，矛盾.

例：supR-=0,sup(—]=1,inff-^=—

nez\n+\)f〃+U2

E={-5,0,3,9,11}则有infE=—5.

开区间(a,8)与闭区间[凡句有一样的上确界匕与下确界a

例4设S和A是非空数集,且有SnA则有supS>supA,infS<infA.

例5设A和3是非空数集.假设对VxeA和e&都有xWy,则有

supAWinfA

证明：VyeB,y是A的上界，=>supA<y.nsupA是8的下

界，=supA<infB.

例6A和8为非空数集，S=AU8试证明：infS=min{infA,infB}.

证明：VxeS,有xeA或xe8,由infA和inf8分别是A和8的下界,

有

x>infA§5(,x>infB.=>x>min{infA,infB}.

即min{infA,infB}是数集S的下界，

=>infS>min{infA,infB}.又Sz>A=S的下界就是A的下

界，infS是S的下界，=>infS是A的下界，ninfSVinfA;同理有

infS<infB.

于是有infS<min{infA,infB}.

综上，有infS=min{infA,infB}.

1.数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.以例3⑵为例做

解释.

2.确界与最值的关系：设E为数集.

(1)E的最值必属于E,但确界未必,确界是一种临界点.

(2)非空有界数集必有确界(见下面确实界原理)，但未必有最

值.

⑶假设maxE存在,必有maxE=sup£对下确界有类似的结论.

4.确界原理：

Thl.1(确界原理).设S非空的数集.假设S有上界，则S必有上确

界；假设S有下界，则S必有下确界.

这里我们给一个可以承受的说明EuR,E非空，我们可以

找到一个整数P,使得〃不是E上界，而〃+1是E的上界.然后我们遍

查p.l，p.2,…,p.9和p+1,我们可以找到一个外,°”。",使得P4)不

是E上界，，①。+D是E上界，如果再找第二位小数0,…，如此下去,

最后得到MM矽…，它是一个实数，即为E的上确界.

证明：（书上对上确界的情况给出证明，下面讲对下确界的证明）

不妨设S中的元素都为非负数，则存在非负整数"，使得

1〕VxGS'有尤>〃；

2〕存在为€5，有xW〃+l；

把区间（〃,“+1]10等分，分点为A.1，m2,...,27.9,存在外,使得

1）VGS»有；x>；

2）存在x,eS，使得/W几勺+古.

再对开区间（几々,〃.“+2]10等分，同理存在％，使得

1）对任何xeS，有x>n.nxn2；

2）存在》2，使+志

继续重复此步缠，知对任何k=1,2,…，存在出使得

1）对任何xwS，X>％-木；

2）存在X—S，Xk<n.n]n2•••〃&•

因此得到〃=n.nxn2……・以下证明〃=infS.

（i）对任意XGS，X>〃；

[ii）对任何a>〃,存在VeS使&>£.

[作业]:P91（1）,（2）；2；4（2）、[4）；7

§3函数概念

授课章节：第一章实数集与函数一一§3函数概念

教学目的：使学生深刻理解函数概念.

教学要求：

[1）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的

定义，熟悉函数的各种表示法；

（2）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象.会求初等函

数的存在域，会分析初等函数的复合关系.

教学重点：函数的概念.

教学难点：初等函数复合关系的分析.

教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、局部内容可自学.

教学程序：

引言

关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解.为便于今后的

学习，本节将对此作进一步讨论.

一、函数的定义

1.定义1设RMuR,如果存在对应法则八使对Vxe。，

存在唯一的一个数yeW与之对应，则称/是定义在数集。上的函数,

记作

数集。称为函数/的定义域，x所对应的y,称为/在点x的函数

值，记为/(幻.全体函数值的集合称为函数/的值域，记作/(。).

即f(D)={y\y=f(x),x&D}.

2.几点说明

[1)函数定义的记号中“gDfM”表示按法则/建设。到M

的函数关系，xfy表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作

习惯上称X自变量，y为因变量.

(2)函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域.当对应法

则和定义域确定后，值域便自然确定下来.因此，函数的基本要素

为两个：定义域和对应法则.所以函数也常表示为：y=f(x),x^D.

由此，我们说两个函数一样，是指它们有一样的定义域和对应法

则.

例如：1)/(x)=l,xeR,g(x)=l,xw/?\{0}.(不一样，对应法则一样,

定义域不同）

2）e（x）=|x|,xe/?,〃（x）=J7,xeR1一样，只是对应法则的

表达形式不同）.

（3）函数用公式法〔解析法〕表示时，函数的定义域常取使该

运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定义域〕.

此时，函数的记号中的定义域可省略不写，而只用对应法则/来表示

一个函数.即“函数y=/（x）〃或“函数.

[4）“映射〃的观点来看，函数一本质上是映射，对于

称为映射一下。的象.a称为75）的原象.

〔5〕函数定义中，Vxe。，只能有唯一的一个y值与它对应，这

样定义的函数称为“单值函数"，假设对同一个x值，可以对应多于

一个y值，则称这种函数为多值函数.本书中只讨论单值函数（简称

函数）.

二、函数的表示方法

1主要方法：解析法[公式法）、列表法（表格法）和图象法（图

示法）.

2可用“特殊方法〃来表示的函数.

1）分段函数：在定义域的不同局部用不同的公式来亍'y

l,x>01

例如sgnx=<0,x=0,（符号函数）

—1,xv0

y

（借助于sgnx可表示f（x）=\x\,即3

y=M2

-3-2-101234x

•一©-2

/(x)gx|=xsgnx).

2)用语言表达的函数.(注意；以下函数不是分段函数)

例1〕万印(取整函数〕

比方：[3.5]=3,[3]=3,[-3.5]=-4.

常有[x]4x<[x]+l,0<x-[x]<L

与此有关一个的函数y=x-{*]非负小数函数〕图形是一条

大锯，画出图看一看.

2)狄利克雷(Dirichlet)函数

这是一个病态函数，很有用处，却无法画出它的图形.它是周期

函数，但却没有最小周期，事实上任一有理数都是它的周期.

3)黎曼[Riemman〕函数

三函数的四则运算

给定两个函数记D2,并设ON。，定义/

与g在。上的和、差、积运算如下：

E(x)=/(x)+g(x),xe。;G(x)=/(x)—g(x),xe£);

〃(x)=/(x)g(x),xe。.

假设在。中除去使g(x)=O的值，即令，

可在。上定义一与g的商运算如下；L(x)=^,xeD.

g(x)

注：1)假设。2="，则/与g不能进展四则运算.

2)为表达方便，函数;■与g的和、差、积、商常分别写为:

.f+g，于一g，fg，—­

g

四、复合运算

1.引言

在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才

建设起它们之间的对应关系.

例：质量为m的物体自由下落，速度为v,则功率E为

„11.

E=—mv^21

2>=>E=—mg~t9.9

v=gt_

抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数/(V)=gw2,V=gf，把

M)代入人即得

/(())=

这样得到函数的过程称为“函数复合"，所得到的函数称为“复合函

数〃.

［问题］任给两个函数都可以复合吗考虑下例；

y=/(w)=arcsinu,uGZ)=f-l,l］,u=g(x)=2+x2,xeE=R.

就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数"的值域

与“外函数〃的定义域的交集不空(从而引出下面定义).

2.定义(复合函数〕设有两个函数y=/(〃),MeO,〃=g(x),xwE,

E={%|/(x)e£>}E,假设则对每一个通过g对应。内

唯一一个值“，而“又通过了对应唯一一个值y,这就确定了一个定义

在E上的函数，它以x为自变量，y因变量，记作y=/(g(x)),xeE或

y=(fg)(x),xe£.简记为/g.称为函数/和g的复合函数，并称,为

外函数，g为内函数，"为中间变量.

3.例子

例y=/(“)=〃，w=g(x)=l-x2.求(/°g\x)=/[g(x).]并求定义

域.

例⑴

f(i-x)=x2+X+1,f(x)=.

(2)/仁+']=/+3.贝I]/(%)=()

VX)x

A,尤2,B.x~+1,C./—2,D・%2+2.

例讨论函数y=/(«)=4u,U€[0,+oo)与函数U=g(x)=V1-X2,XGR

能否进展复合，求复合函数.

4说明

1)复合函数可由多个函数相继复合而成.每次复合，都要验证能

否进展在哪个数集上进展复合函数的最终定义域是什么

例如：y=sinu,u=Vv,v=1-JC2,复合成：

y=sinV1-X2,XG[-1,1].

2)不仅要会复合，更要会分解.把一个函数分解成假设干个简单

函数，在分解时也要注意定义域的变化.

①

y=log„\J\-x2,xe(0,1)fy=log„u,u=Vz,z=l-x2.

②y=arcsinA/X2+1—»y=arcsinu,u=JU,v=x2+1.

③y=2s,nA—>y=2",〃=/,u=sinx.

五、反函数

1.引言

在函数y=/（x）中把x叫做自变量，y叫做因变量.但需要指出的

是，自变量与因变量的地位并不是绝对的，而是相对的，例如：

/（w）=Vw,w=r+1,那么"对于一来讲是自变量，但对r来讲，〃是因变

量.

习惯上说函数y=/（x）中x是自变量，y是因变量，是基于y随x的

变化现时变化.但有时我们不仅要研究y随x的变化状况，也要研究x

随y的变化的状况.对此，我们引入反函数的概念.

2.反函数概念

定义设y：x—R是一函数，如果vxi，XXx,由

%产9=>/（%）。/（工2）

（或由/（%）=/区）=玉=々），则称/在x上是1T的.

假设y：x.y,y=/（x）,称一为满的.

假设f：x是满的IT的，则称/为1T对应.

/：XfR是1T的意味着y=/（x）对固定y至多有一个

解x，/:X-»y是1T的意味着对yeY，y=/（x）有且仅

有一个解x.

定义设fy是1-1对应.VyeY,由y=/（x）唯一确

定一个xwX，由这种对应法则所确定的函数称为

y=/（X）的反函数，记为x=/T（y）.

反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域

显然有

厂'"于=I:XTX（恒等变换）

广广:/二一丫（恒等变换）

（尸）T=/：Xfy

从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函数,

习惯上我们还是把反函数记为y="'（幻，这样它的图

A

y

形与y=/a)的图形是关于对角线y=x对称的.

严格单调函数是IT对应的，所以严格单调函数有反函数.

但对应的函数(有反函数〕不一定是严格单调的，看下面

例子

它的反函数即为它自己.

实际求反函数问题可分为二步进展：

1.确定的定义域x和值域y,考虑1-1对应条件.固定

y&Y,解方程/a)=y得出》=尸(土

2.按习惯，自变量工、因变量)互换，得

例求y=M(x)=优;：RfR的反函数・

解固定y,为解八丈二二，令e，=z，方程变为

2

z=y++](舍去y_+])

得x=ln(y+J/+i)，即y=ln(x++])=昕|(》)，称为反双曲正弦,

定理给定函数y=/(x),其定义域和值域分别记为X和丫，

假设在y上存在函数g(y),使得g(/(x))=x,则有g(y)=/T(y).

分析：要证两层结论：一是y=f(x)的反函数存在，我们只要证它

是1-1对应就行了;二是要证g(y)=/T(y).

证要证y=/(x)的反函数存在，只要证f(x)是X到V日勺1一1对应.

VX]，/eX，假设f(与)=f(“2)，则由定理条件，我们有

=>X=工2,即/：x—>y是1~1对应.

再证g(y)=L(y).v，3xeX»使得y=f(x).

由反函数定义X=/T(y),再由定理条件

g(y)=g(/(x))=x.ng(y)=/'(y)

例广RfR，假设”/(x))存在唯一不动点，则，

J占、、、♦

证存在性，设x*=/"(x*)],/(x*)=/。/"。*)],

即/(x*)是/。/的不动点，由唯一性/(X*)=X*,

即存在了(幻的不动点X

说明［是的不动点，由唯一性，x=x*.

从映射的观点看函数.

设函数y=/(x),xe£>.满足：对于值域/(。)中的每一个值y,

D中有且只有一个值x,使得/(x)=y,则按此对应法则得到一个

定义在/(。)上的函数，称这个函数为一的反函数，记作

尸"(D)->D,(y|fx)或尤=f'(y),yef(D).

3、注释

a)并不是任何函数都有反函数，从映射的观点看，函数/有反

函数，意味着一是D与/(0)之间的一个---映射，称尸为映射/

的逆映射，它把/⑷)一。；

b)函数/与尸互为反函数，并

有：=/(/-'(%))=y,ysf(D).

C)在反函数的表示x=/T(y),ye/(。)中，是以y为自变量，x为因

变量.假设按习惯做法用x做为自变量的记号，y作为因变量的记

号，则函数一的反函数二可以改写为

应该注意，尽管这样做了，但它们的表示同一个函数，因为其定

义域和对应法则一样，仅是所用变量的记号不同而已.但它们的图形

在同一坐标系中画出时有所差异.

六、初等函数

1.基本初等函数(6类)

常量函数y=C(C为常数)；

塞函数y=r(tze/?);

指数函数4=优3>0,"1)；

对数函数y=log“x(a>0,awl)；

二角函数y=sinjr,y=cosx,y=tgx,y—ctgx;

反三角函数y=arcsinx,y=arccosx.y=arctgx,y-arcctgx.

注：塞函数y=/(aGR)和指数函数y=能(。>0,./1)都涉及乘塞，

而在中学数学课程中只给了有理指数乘事的定义.下面我们借助

于确界来定义无理指数累，便它与有理指数基一起构成实指数乘

塞，并保持有理批数塞的基本性质.

定义2.给定实数。设x为无理数，我们规定：

这样解决了中学数学仅对有理数片定义优的缺陷.

［问题］:这样的定义有意义否更明确一点相应的“确界是否存在

呢〃

2.初等函数

定义3.由基本初等函数经过在有限次四则运算与复合运算所

得到的函数，统称为初等函数

］

如：y=2sinx+cos2x,y-sin(—),y=log”元+-——-——,y=1xI.

xx

不是初等函数的函数，称为非初等函数.如Dirichlet函数、

Riemann函数、取整函数等都是非初等函数.

注：初等函数是本课程研究的主要对象.为此，除对基本初等

函数的图象与性质应熟练掌握外，还应常握确定初等函数的定义域.

确定定义域时应注意两点.

例2.求以下函数的定义域.

3.初等函数的几个特例：设函数/(幻和g(x)都是初等函数，则

(1〕"(x)|是初等函数，因为"(切=后帚.

⑵①(x)=max{/(x),g(x)}和0(x)=min{/(x),g(x)}都是初等函数,

因为中(无)=max{/(x),g(x)}=1[/(x)+g(x)+|/(x)-g(x)|],

0(x)=min{f(x),g(x)}=g[/(x)+g(x)-|/(x)-g(x)|].

⑶基指函数(/(x)严)(八幻＞())是初等函数，因为

［作业］4：3；4:(2)、(3)；5:(2)；7:(3)；11

§4具有某些特性的函数

授课章节：第一章实数集与函数一一§4具有某些特性的函数

教学目的：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语.

教学目的：深刻理解有界函数、单调函数的定义；理解奇偶函数、周

期函数的定义；

会求一些简单周期函数的周期.

教学重点：函数的有界性、单调性.

教学难点：周期函数周期的计算、验证.

教学方法：有界函数讲授，其余的列出自学题纲，供学生自学完成.

教学程序：

引言

在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，如

有界函数、单调函数、奇偶函数与周期函数.其中，有些概念在中学

里已经表达过，因此，这里只是简单地提一下.与“有界集〃的定义

类似，先谈谈有上界函数和有下界函数.

一、有界函数

1、有上界函数、有下界函数的定义

定义1设/为定义在D上的函数，假设存在数M(L),使得对每

一个有/(x)<M(/(x)1)，则称/为D上的有上(下〕界函数，M(L)

称为/在D上的一个上(下)界.

注：(1)/在D上有上(下)界，意味着值域外。)是一个有上(下〕

界的数集；

(2)又假设M(L)为/在D上的一个上(下)界，则任何大

于M(小于L)的数也是/在D上的上［下)界.所以，函数的上［下)

界假设存在，则不是唯一的，例如：y=sinx,1是其一个上界，下界

为一1，则易见任何小于一1的数都可作为其下界；任何大于1的数

都可作为其上界；

13〕任给一个函数，不一定有上(下)界；

(4)由(1)及“有界集〃定义，可类比给出“有界函数”

定义：

了在D上有界是一个有界集o/在D上既有上界又有下界

=/在D上的有上界函数，也为D上的有下界函数.

2、有界函数定义

定义2设/为定义在D上的函数.假设存在正数M,使得对每一

个有|/(x)区/，则称/为D上的有界函数.

注：［1)几何意义：/为D上的有界函数，则/的图象完全落在

y=M和y=-M之I司;

(2)/在D上有界of在D上既有上界又有下界；例子：

y=sinx,y=cosx;

(3)关于函数/在D上无上界、无下界或无界的定义.

3、例题

例1证明了:X->A有界的充要条件为：3M,m,使得对

证明如果有界，按定义三用>0,VxeX有［/(x)区",即

-M</(x)<M,取〃?=-M,M=M即可.

反之如果三用，比使得心6乂,利勺/(>)<加，令Mo=max{M+l，|m|}，

则|/(浜弧,即三网>0,使得对VxeX有火砌，即/:XfR

有界.

例2.证明/(幻='为(0,1］上的无上界函数.

X

例3.设f,g为D上的有界函数.证明：(1)

inf/(x)+infg(x)Winf{/(x)+g(x)}；

(2)sup{/(%)+g(x)}<sup/(x)+supg(x).

xeDxeDxeD

例4验证函数=在R内有界.

解法一由2/+3=(折:)2+(扬2叫后>画=2两乂，当XHO时,有

|/(0)|=0<3,

对VxeR,总有"(x)|<3,HP/(x)在R内有界.

解法二令丁=—J,n关于x的二次方程2yx2_5x+3y=0有实

2x+3

数根.

解法三令犬=栏后,f对应了€(-8,+8).于是

二、单调函数

定义3设/为定义在D上的函数，V玉,々6。,改<与(1)假设

/(%,)</(%2),则称/为D上的增函数;假设/(芭)</(々)，则称/为D

上的严格增函数.(2)假设/(为注/(电)，则称/为D上的减函数；假

设/(%)>/(/),则称/为D上的严格减函数.

例5.证明：y=d在(7收)上是严格增函数.

%X

证明：设王</，X；—X：=(1-2)(X；+XtX2+%2)

如x}x2<0,贝！J%2>0〉再n无：<石

如玉工2>0,贝Ijk+Xiz+W>°，nx：<考

故d-只<0即得证.

例6.讨论函数y=印在R上的单调性.

­.Vx„x2e/?,当西时一，有后卜危］，但此函数在R上的不是严格

增函数.

注：1)单调性与所讨论的区间有关.在定义域的某些局部，/可

能单调，也可能不单调.所以要会求出给定函数的单调区间；

2)严格单调函数的几何意义：其图象无自交点或无平行于x

轴的局部.更准确地讲：严格单调函数的图象与任一平行于x轴的直

线至多有一个交点.这一特征保证了它必有反函数.

总结得下面的结论：

定理1.设y=/(x),xe。为严格增(减)函数，则/必有反函数尸,

且尸在其定义域/(0上也是严格增(减)函数.

证明：设/在。上严格增函数.对Vye/⑷),有xe。，使f(x)=y.下面

证明这样的x只有一个.事实上，对于。内任一玉AX,由于/在。上严

格增函数，当石<》时f(x)<y,当』>x时/(xj>y,总之/GWy.即

Vye/(£)),都只存在唯一的一xe£>,使得/'(x)=y,从而

例7讨论函数y=V在(_0+8)上反函数的存在性；如果>=/在

(_8,+00)上不存在反函数，在(-O0,+8)的子区间上存在反函数否

结论：函数的反函数与讨论的自变量的变化范围有关.

例8证明：y="当a>l时在R上严格增，当0<。<1时在R上严格

递减.

三、奇函数和偶函数

定义4.设D为对称于原点的数集，/为定义在D上的函数.假设

对每一个xeO有(1)/(—)=_/(x),则称/为D上的奇函数；(2〕

/(-%)=f(x),则称/为D上的偶函数.

注：(1)从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称1中心对

称)，偶函数的图象关于y轴对称；

(2)奇偶性的前提是定义域对称，因此/(x)=x,xe[O,l]没有必要

讨论奇偶性.

奇函数：y=sinx

偶函数：y=sgnx

(3)从奇偶性角度对函数分类:

非奇非偶函数：y=sinx+cosx

既奇又偶函数:y三0

(4)由于奇偶函数对称性的特点，研究奇偶函数性质时一，只须讨

论原点的左边或右边即可四、周期函数

1、定义

设/为定义在数集D上的函数，假设存在b>0,使得对一切

xe。有/(x±b)=/(x),则称/为周期函数，o■称为/的一个周期.

2、几点说明：

〔1)假设b是/的周期，则3(〃€乂)也是/的周期，所以周期

假设存在，则不唯一.如y=sinx,b=2;r,4；T,.因此有如下“基本周

期”的说法，即假设在周期函数/的所有周期中有一个最小的周期，

则称此最小周期为/的“基本周期〃，简称“周期〃.如丁=5皿一

周期为21；

[2)任给一个函数不一定存在周期，既使存在周期也不一定有

基本周期，如：1〕y=x+l,不是周期函数；2)y=C(C为常数)，

任何正数都是它的周期.

章数列极限

引言

为了掌握变量的变化规律，往往需要从它的变化过程来判断它的

变化趋势.例如有这么一个变量，它开场是1,然后为LLL」，如

234n

此，一直无尽地变下去，虽然无尽止，但它的变化有一个趋势，这个

趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零.我们就说，这个变量的

极限为0.

在高等数学中，有很多重要的概念和方法都和极限有关(如导数、

微分、积分、级数等〕，并且在实际问题中极限也占有重要的地位.

例如求圆的面积和圆周长(：S=I/,/=2Q),但这两个公式从何而

来

要知道，获得这些结果并不容易！人们最初只知道求多边形的面

积和求直线段的长度.然而，要定义这种从多边形到圆的过渡就要求

人们在观念上，在思考方法上来一个突破.

问题的困难何在多边形的面积其所以为好求，是因为它的周界是

一些直线段，我们可以把它分解为许多三角形.而圆呢周界处处是弯

曲的，困难就在这个“曲〃字上面.在这里我们面临着“曲〃与

“直〃这样一对矛盾.

辩证唯物主义认为，在一定条件下，曲与直的矛盾可以相互转化.

整个圆周是曲的，每一小段圆弧却可以近似看成是直的；就是说，在

很小的一段上可以近似地“以直代曲〃，即以弦代替圆弧.

按照这种辩证思想，我们把圆周分成许多的小段，比方说，分成〃

个等长的小段，代替圆而先考虑其内接正〃边形.易知，正〃边形周长

为

显然，这个不会等于/.然而，从几何直观上可以看出，只要正〃

边形的边数不断增加.这些正多边形的周长将随着边数的增加而不断

地接近于圆周长.〃越大，近似程度越高.

但是，不管“多么大，这样算出来的总还只是多边形的周长.无论

若何它只是周长的近似值，而不是准确值.问题并没有最后解决.

为了从近似值过渡到准确值，我们自然让“无限地增大，记为

〃78.直观上很明显，当〃―8时，/“->/,记成----极限思

n—>oo

想.

即圆周长是其内接正多边形周长的极限.这种方法是我国刘微(张

晋)早在第3世纪就提出来了，称为“割圆术”.其方法就是一一无

限分割.以直代曲；其思想在于“极限”.

除之以外，象曲边梯形面积的计算均源于“极限〃思想.所以，我

们有必要对极限作深入研究.

§1数列极限的概念

教学目的：使学生建设起数列极限的准确概念；会用数列极限的定义

证明数列极限等有关命题.

教学要求：使学生逐步建设起数列极限的”N定义的清晰概念.深刻

理解数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念.会

应用数列极限的.N定义证明数列的有关命题，并能运

用”N语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈

述.

教学重点：数列极限的概念.

教学难点：数列极限的”N定义及其应用.

教学方法：讲授为主.

教学程序：

一、什么是数列

1数列的定义

数列就是“一列数”，但这"一列数”并不是任意的一列数，而

是有一定的规律，有一定次序性，具体讲数列可定义如下；

假设函数一的定义域为全体正整数集合M,则称/:乂-R为数

列.

注：1)根据函数的记号，数列也可记为/(〃),〃€乂；

2)记/(〃)=%,则数列/(〃)就可写作为：4M2,•，/，，简记

为{4}，即{/(")l〃eN+}={q,};

3)不严格的说法：说/(〃)是一个数列.

2数列的例子

⑶{n2}:1,4,9,16,25,;⑷{1+(—1严}:2,0,2,0,2,

二、什么是数列极限

1.引言

对于支个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的《庄子.天

下篇》引用过一句话：“一尺之梗，日取其半，万世不竭〃.把每天

截下的局部的长度列出如下(单位为尺)；

第1天截下

2

第2天截下

2222

第3天截下：.白=!，

22223

第〃天截下了西二吩，

得到一个数列：

不难看出，数列出的通项不随着"的无限增大而无限地接近于

零.

一般地说，对于数列｛4｝,假设当〃无限增大时，4能无限地接近

某一个常数。，则称此数列为收敛数列，常数。称为它的极限.不具有

这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列.

据此可以说，数列｛1｝是收敛数列，0是它的极限.

数列｛〃2｝,｛1+（一1严｝都是发散的数列.

需要提出的是，上面关于“收敛数列〃的说法，并不是严格的定

义，而仅是一种“描述性”的说法，若何用数学语言把它准确地定义

下来.还有待进一步分析.

以｛1+4为例，可观察出该数列具以下特性：

随着〃的无限增大，%