2024届上海虹口区高三一模数学试卷和答案

高中PAGE1高中上海虹口区2023-2024学年学生学习能力诊断测试高三数学试卷2023.12考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的相应位置，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.已知集合2.函数的定义域为_________.3．设等比数列的前项和为，若，，则=_________.4.已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为15π，则该圆锥的体积为_________.5.在的二项展开式中项的系数为_________.6.已知为第三象限的角，则tan2x=_________.7．双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为_________.8．已知函数(,)的部分图像如（第8题图）右图所示，则=_________.（第8题图）9.已知是定义在上的函数，若，且则实数的取值范围为_________.10.将甲、乙等8人安排在4天值班，若每天安排两人，则甲、乙两人安排在同一天的概率为________.（结果用分数表示）11.设若关于的方程有3个不同的实数解，则实数的取值范围为_________.12.设是平面上两两不相等的向量，若且对任意的均有则________.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.13.设为虚数单位，若，则（）（A）（B）（C）（D）14．空气质量指数是反映空气质量状况的指数，其对应关系如下表:指数值空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响，某科学兴趣小组在工厂附近某处测得10月1日—20日的数据并绘成折线图如下:下列叙述正确的是（）（A）这天中的中位数略大于（B）10月4日到10月11日，空气质量越来越好（C）这天中的空气质量为优的天数占%（第15题图）（D）10月上旬的极差大于中旬的极差（第15题图）15.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如右上图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6个面为正方形的一种半正多面体.若，则此半正多面体外接球的表面积为（）（A）π（B）12π（C）π（D）8π16.已知曲线的对称中心为，若对于上的任意一点，都存在上两点，使得为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”.现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”.则（）（A）①是假命题，②是真命题（B）①是真命题，②是假命题（C）①②都是假命题（D）①②都是真命题三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要步骤.17．(本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且//．（1）求角的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，求的取值范围．18．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C为正方形，；设M是CC1的中点，满足，N是BC的中点，P是线段A1B1上的一点.(1)证明：AM⊥平面A1PN；(2)若，求直线AB1与平面PMN所成角的大小．19．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)2022年12月底，某厂的废水池已储存废水800吨，以后每月新产生的2吨废水也存入废水池．该厂2023年开始对废水处理后进行排放，1月底排放10吨处理后的废水,计划以后每月月底排放一次,每月排放处理后的废水比上月增加2吨.（1）若按计划排放,该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？（2）该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用.该厂从2023年7月开始对该月计划排放的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力.试问：哪一年的几月份开始，当月排放的废水能被全部净化？20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知点在抛物线：上，点F为的焦点，且.过点F的直线l与及圆依次相交于点如图.（1）求抛物线的方程及点的坐标；（2）求证：为定值；（3）过A,B两点分别作的切线且与相交于点P，求ACP与BDP的面积之和的最小值．21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)已知与都是定义在上的函数，若对任意，当时，都有，则称是的一个“控制函数”.（1）判断是否为函数的一个控制函数，并说明理由；（2）设的导数为，，求证：关于的方程在区间上有实数解；（3）设，函数是否存在控制函数？若存在，请求出的所有控制函数；若不存在，请说明理由.虹口区2023-2024学年学生学习能力诊断测试高三数学参考答案和评分标准2023年12月一、填空题（本大题共12题，满分54分；第1-6题每题4分;第7-12题每题5分）1．2．3.4．5．5606.78．9.10．11．12.3二、选择题（本大题共4题，满分18分；第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.A14.C15.D16.B三、解答题（本大题共5题，满分78分）17．(本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分)解：(1)因为//，所以，……2分由正弦定理，可得，即.……4分于是，由余弦定理得，又，所以．……7分（2）由（1）可知所以……11分由△ABC为锐角△,得所以从而所以的取值范围为……14分18．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)证：(1)取AC中点D，连接DN，A1D.因AA1＝AC，AD＝CM，∠A1AD＝∠ACM，故△A1AD≌△ACM.……2分从而∠AA1D＝∠CAM，又因∠AA1D＋∠A1DA，故∠CAM＋∠A1DA.所以AM⊥A1D.由于AM⊥A1B1及A1B1因此AM⊥平面A1B1D.……4分因D,N分别为AC,BC的中点，故DN//AB，从而DN//A1B1，于是A1，P，B1，N，D在同一平面内，故AM⊥面A1PN.……6分解：(2)因为AB＝AC＝4，BC＝4，所以AB2＋AC2＝BC2,故AB⊥AC.因AM⊥A1B1，A1B1∥AB，故AM⊥AB；又因AM∩AC＝A，所以AB⊥面ACC1A1，从而AB⊥AA1；因此AB，AC，AA1两两垂直.以A为原点，以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图.……8分则由条件，相关点的坐标为M(0，4，2)，N(2，2，0)，P(1，0，4)，B1(4，0，4).设平面MNP的一个法向量为则取……11分因(4，0，4)，设直线与平面PMN所成的角为θ，则故直线与平面PMN所成角的大小为……14分19．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)解：（1）设从2023年1月起第个月处理后的废水排放量为吨，则由已知条件知：数列是首项为10，公差为的等差数列，故.……2分当时，即，……4分化简得，解得由是正整数，则.故该厂在2025年1月底第一次将废水池中的废水排放完毕.……6分（2）设从2023年1月起第个月深度净化的废水量为吨.由已知条件，，当时，数列是首项为，公比为的等比数列，故（n为正整数）.……8分显然，当时，.当得.（*）……10分设，则，所以当时，数列是严格增数列，且当时，数列是严格减数列.……12分由于，.所以不等式（*）的解为（n为正整数）.故该厂在2024年8月开始计划排放的废水能被全部净化.……14分20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）解：（1）易知抛物线的焦点F的坐标为准线为，由抛物线的定义，得，故.所以，抛物线的方程为………2分将代入的方程，得，所以点的坐标为：或………4分（2）由（1）知F又由条件知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，并设AB则由得故且………7分由抛物线的定义，可知又因圆的圆心为F（0,1），半径为1，于是所以.………10分（3）由得，而.故过点A的抛物线的切线的方程为即=1\*GB3①………12分同理，过点B的抛物线的切线的方程为=2\*GB3②由=1\*GB3①，=2\*GB3②可得：即……15分所以点P到直线l:的距离为于是故当k=0，即直线l为y=1时，有最小值2.……18分21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)解：（1）由于对任意，当时，都有；……2分即有故由控制函数的定义，的控制函数.……4分证：（2）关于的方程在区间上有实数解.……7分记，则，当时，在上严格增；当时，在上严格减.而，故，于是所要证的结论成立.……10分另证：关于x的方程在区间上有实数解.……7分记，则，当时，故在上严格减，.记，则，当时，故在上严格增，.于是所要证的结论成立.……10分解：（3）①先证引理：对任意，关于的方程在区间上恒有实数解.这等价于，由（2）知结论