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文档简介
2023-2024学年江苏省苏州市梁丰中考五模数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1.下列关于x的方程中,属于一元二次方程的是()A.x﹣1=0 B.x2+3x﹣5=0 C.x3+x=3 D.ax2+bx+c=02.(3分)如图,是按一定规律排成的三角形数阵,按图中数阵的排列规律,第9行从左至右第5个数是()A.2 B. C.5 D.3.一次数学测试后,随机抽取九年级某班5名学生的成绩如下:91,78,1,85,1.关于这组数据说法错误的是()A.极差是20 B.中位数是91 C.众数是1 D.平均数是914.小明要去超市买甲、乙两种糖果,然后混合成5千克混合糖果,已知甲种糖果的单价为a元/千克,乙种糖果的单价为b元/千克,且a>b.根据需要小明列出以下三种混合方案:(单位:千克)甲种糖果乙种糖果混合糖果方案1235方案2325方案32.52.55则最省钱的方案为()A.方案1 B.方案2C.方案3 D.三个方案费用相同5.估算的值是在()A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间6.﹣的绝对值是()A.﹣ B. C.﹣2 D.27.把多项式ax3﹣2ax2+ax分解因式,结果正确的是()A.ax(x2﹣2x) B.ax2(x﹣2)C.ax(x+1)(x﹣1) D.ax(x﹣1)28.如图,在矩形ABCD中,AB=2a,AD=a,矩形边上一动点P沿A→B→C→D的路径移动.设点P经过的路径长为x,PD2=y,则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是()A. B.C. D.9.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作,其中有一道题,原文是:“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺.木长几何?”意思是:用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺;将绳子对折再量木头,则木头还剩余1尺,问木头长多少尺?可设木头长为x尺,绳子长为y尺,则所列方程组正确的是()A. B. C. D.10.已知二次函数y=-x2-4x-5,左、右平移该抛物线,顶点恰好落在正比例函数y=-x的图象上,则平移后的抛物线解析式为()A.y=-x2-4x-1 B.y=-x2-4x-2 C.y=-x2+2x-1 D.y=-x2+2x-2二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11.要使分式有意义,则x的取值范围为_________.12.写出一个平面直角坐标系中第三象限内点的坐标:(__________)13.关于x的一元二次方程ax2﹣x﹣=0有实数根,则a的取值范围为________.14.如图,已知的半径为2,内接于,,则__________.15.数学的美无处不在.数学家们研究发现,弹拨琴弦发出声音的音调高低,取决于弦的长度,绷得一样紧的几根弦,如果长度的比能够表示成整数的比,发出的声音就比较和谐.例如,三根弦长度之比是15:12:10,把它们绷得一样紧,用同样的力弹拨,它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so,研究15、12、10这三个数的倒数发现:.我们称15、12、10这三个数为一组调和数.现有一组调和数:x,5,3(x>5),则x的值是.16.把多项式x3﹣25x分解因式的结果是_____17.在平面直角坐标系中,将点A(﹣3,2)向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,那么平移后对应的点A′的坐标是_____.三、解答题(共7小题,满分69分)18.(10分)如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF,(1)求证:AF=DC;(2)若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.19.(5分)某商场将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售,一天可售出100件.后来经过市场调查,发现这种商品单价每降低1元,其销量可增加10件.(1)若商场经营该商品一天要获利润2160元,则每件商品应降价多少元?(2)设后来该商品每件降价x元,商场一天可获利润y元.求出y与x之间的函数关系式,并求当x取何值时,商场获利润最大?20.(8分)我们知道,平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,如果两条数轴不垂直,而是相交成任意的角ω(0°<ω<180°且ω≠90°),那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系,两条数轴称为斜坐标系的坐标轴,公共原点称为斜坐标系的原点,如图1,经过平面内一点P作坐标轴的平行线PM和PN,分别交x轴和y轴于点M,N.点M、N在x轴和y轴上所对应的数分别叫做P点的x坐标和y坐标,有序实数对(x,y)称为点P的斜坐标,记为P(x,y).(1)如图2,ω=45°,矩形OABC中的一边OA在x轴上,BC与y轴交于点D,OA=2,OC=l.①点A、B、C在此斜坐标系内的坐标分别为A,B,C.②设点P(x,y)在经过O、B两点的直线上,则y与x之间满足的关系为.③设点Q(x,y)在经过A、D两点的直线上,则y与x之间满足的关系为.(2)若ω=120°,O为坐标原点.①如图3,圆M与y轴相切原点O,被x轴截得的弦长OA=4,求圆M的半径及圆心M的斜坐标.②如图4,圆M的圆心斜坐标为M(2,2),若圆上恰有两个点到y轴的距离为1,则圆M的半径r的取值范围是.21.(10分)某公司销售一种新型节能电子小产品,现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售:①若只在国内销售,销售价格y(元/件)与月销量x(件)的函数关系式为y=-x+150,成本为20元/件,月利润为W内(元);②若只在国外销售,销售价格为150元/件,受各种不确定因素影响,成本为a元/件(a为常数,10≤a≤40),当月销量为x(件)时,每月还需缴纳x2元的附加费,月利润为W外(元).(1)若只在国内销售,当x=1000(件)时,y=(元/件);(2)分别求出W内、W外与x间的函数关系式(不必写x的取值范围);(3)若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同,求a的值.22.(10分)如图,以△ABC的边AB为直径的⊙O与边AC相交于点D,BC是⊙O的切线,E为BC的中点,连接AE、DE.求证:DE是⊙O的切线;设△CDE的面积为S1,四边形ABED的面积为S1.若S1=5S1,求tan∠BAC的值;在(1)的条件下,若AE=3,求⊙O的半径长.23.(12分)一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶,该茶叶的成本价是80元/kg,销售单价不低于120元/kg.且不高于180元/kg,经销一段时间后得到如下数据:销售单价x(元/kg)
120
130
…
180
每天销量y(kg)
100
95
…
70
设y与x的关系是我们所学过的某一种函数关系.(1)直接写出y与x的函数关系式,并指出自变量x的取值范围;(2)当销售单价为多少时,销售利润最大?最大利润是多少?24.(14分)若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从1,2,3,4这四个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数.(1)请画出树状图并写出所有可能得到的三位数;(2)甲、乙二人玩一个游戏,游戏规则是:若组成的三位数是“伞数”,则甲胜;否则乙胜.你认为这个游戏公平吗?试说明理由.
参考答案一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1、B【解析】
根据一元二次方程必须同时满足三个条件:①整式方程,即等号两边都是整式;方程中如果有分母,那么分母中无未知数;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是2进行分析即可.【详解】A.未知数的最高次数不是2
,不是一元二次方程,故此选项错误;
B.
是一元二次方程,故此选项正确;
C.
未知数的最高次数是3,不是一元二次方程,故此选项错误;
D.
a=0时,不是一元二次方程,故此选项错误;
故选B.【点睛】本题考查一元二次方程的定义,解题的关键是明白:一元二次方程必须同时满足三个条件:①整式方程,即等号两边都是整式;方程中如果有分母,那么分母中无未知数;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是2.2、B【解析】
根据三角形数列的特点,归纳出每一行第一个数的通用公式,即可求出第9行从左至右第5个数.【详解】根据三角形数列的特点,归纳出每n行第一个数的通用公式是,所以,第9行从左至右第5个数是=.故选B【点睛】本题主要考查归纳推理的应用,根据每一行第一个数的取值规律,利用累加法求出第9行第五个数的数值是解决本题的关键,考查学生的推理能力.3、D【解析】
试题分析:因为极差为:1﹣78=20,所以A选项正确;从小到大排列为:78,85,91,1,1,中位数为91,所以B选项正确;因为1出现了两次,最多,所以众数是1,所以C选项正确;因为,所以D选项错误.故选D.考点:①众数②中位数③平均数④极差.4、A【解析】
求出三种方案混合糖果的单价,比较后即可得出结论.【详解】方案1混合糖果的单价为,方案2混合糖果的单价为,方案3混合糖果的单价为.∵a>b,∴,∴方案1最省钱.故选:A.【点睛】本题考查了加权平均数,求出各方案混合糖果的单价是解题的关键.5、C【解析】
求出<<,推出4<<5,即可得出答案.【详解】∵<<,∴4<<5,∴的值是在4和5之间.故选:C.【点睛】本题考查了估算无理数的大小和二次根式的性质,解此题的关键是得出<<,题目比较好,难度不大.6、B【解析】
根据求绝对值的法则,直接计算即可解答.【详解】,故选:B.【点睛】本题主要考查求绝对值的法则,掌握负数的绝对值等于它的相反数,是解题的关键.7、D【解析】
先提取公因式ax,再根据完全平方公式把x2﹣2x+1继续分解即可.【详解】原式=ax(x2﹣2x+1)=ax(x﹣1)2,故选D.【点睛】本题考查了因式分解,把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,叫做因式分解.因式分解常用的方法有:①提公因式法;②公式法;③十字相乘法;④分组分解法.因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.8、D【解析】解:(1)当0≤t≤2a时,∵,AP=x,∴;(2)当2a<t≤3a时,CP=2a+a﹣x=3a﹣x,∵,∴=;(3)当3a<t≤5a时,PD=2a+a+2a﹣x=5a﹣x,∵=y,∴=;综上,可得,∴能大致反映y与x的函数关系的图象是选项D中的图象.故选D.9、A【解析】
根据“用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺;将绳子对折再量木头,则木头还剩余1尺”可以列出相应的方程组,本题得以解决.【详解】由题意可得,,故选A.【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方程组.10、D【解析】
把这个二次函数的图象左、右平移,顶点恰好落在正比例函数y=﹣x的图象上,即顶点的横纵坐标互为相反数,而平移时,顶点的纵坐标不变,即可求得函数解析式.【详解】解:∵y=﹣x1﹣4x﹣5=﹣(x+1)1﹣1,∴顶点坐标是(﹣1,﹣1).由题知:把这个二次函数的图象左、右平移,顶点恰好落在正比例函数y=﹣x的图象上,即顶点的横纵坐标互为相反数.∵左、右平移时,顶点的纵坐标不变,∴平移后的顶点坐标为(1,﹣1),∴函数解析式是:y=﹣(x-1)1-1=﹣x1+1x﹣1,即:y=﹣x1+1x﹣1.故选D.【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换,要求熟练掌握平移的规律,上下平移时,点的横坐标不变;左右平移时,点的纵坐标不变.同时考查了二次函数的性质,正比例函数y=﹣x的图象上点的坐标特征.二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11、x≠1【解析】由题意得x-1≠0,∴x≠1.故答案为x≠1.12、答案不唯一,如:(﹣1,﹣1),横坐标和纵坐标都是负数即可.【解析】
让横坐标、纵坐标为负数即可.【详解】在第三象限内点的坐标为:(﹣1,﹣1)(答案不唯一).故答案为答案不唯一,如:(﹣1,﹣1),横坐标和纵坐标都是负数即可.13、a≥﹣1且a≠1【解析】
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到≠1且△=(﹣1)2﹣4a•(﹣)≥1,然后求出两个不等式的公共部分即可.【详解】根据题意得a≠1且△=(﹣1)2﹣4a•(﹣)≥1,解得:a≥﹣1且a≠1.故答案为a≥﹣1且a≠1.【点睛】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=1(a≠1)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:当△>1时,方程有两个不相等的两个实数根;当△=1时,方程有两个相等的两个实数根;当△<1时,方程无实数根.14、【解析】分析:根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍,可以求得∠AOB的度数,然后根据勾股定理即可求得AB的长.详解:连接AD、AE、OA、OB,∵⊙O的半径为2,△ABC内接于⊙O,∠ACB=135°,∴∠ADB=45°,∴∠AOB=90°,∵OA=OB=2,∴AB=2,故答案为:2.点睛:本题考查三角形的外接圆和外心,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.15、1.【解析】依据调和数的意义,有-=-,解得x=1.16、x(x+5)(x﹣5).【解析】分析:首先提取公因式x,再利用平方差公式分解因式即可.详解:x3-25x=x(x2-25)=x(x+5)(x-5).故答案为x(x+5)(x-5).点睛:此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式,正确应用公式是解题关键.17、(0,0)【解析】
根据坐标的平移规律解答即可.【详解】将点A(-3,2)向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,那么平移后对应的点A′的坐标是(-3+3,2-2),即(0,0),故答案为(0,0).【点睛】此题主要考查坐标与图形变化-平移.平移中点的变化规律是:横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减.三、解答题(共7小题,满分69分)18、(1)见解析(2)见解析【解析】
(1)根据AAS证△AFE≌△DBE,推出AF=BD,即可得出答案.(2)得出四边形ADCF是平行四边形,根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AD,根据菱形的判定推出即可.【详解】解:(1)证明:∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE.∵E是AD的中点,AD是BC边上的中线,∴AE=DE,BD=CD.在△AFE和△DBE中,∵∠AFE=∠DBE,∠FEA=∠BED,AE=DE,∴△AFE≌△DBE(AAS)∴AF=BD.∴AF=DC.(2)四边形ADCF是菱形,证明如下:∵AF∥BC,AF=DC,∴四边形ADCF是平行四边形.∵AC⊥AB,AD是斜边BC的中线,∴AD=DC.∴平行四边形ADCF是菱形19、(1)商店经营该商品一天要获利润2160元,则每件商品应降价2元或8元;(2)y=﹣10x2+100x+2000,当x=5时,商场获取最大利润为2250元.【解析】
(1)根据“总利润=每件的利润×每天的销量”列方程求解可得;
(2)利用(1)中的相等关系列出函数解析式,配方成顶点式,利用二次函数的性质求解可得.【详解】解:(1)依题意得:(100﹣80﹣x)(100+10x)=2160,即x2﹣10x+16=0,解得:x1=2,x2=8,经检验:x1=2,x2=8,答:商店经营该商品一天要获利润2160元,则每件商品应降价2元或8元;(2)依题意得:y=(100﹣80﹣x)(100+10x)=﹣10x2+100x+2000=﹣10(x﹣5)2+2250,∵﹣10<0,∴当x=5时,y取得最大值为2250元.答:y=﹣10x2+100x+2000,当x=5时,商场获取最大利润为2250元.【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的应用,解题关键是由题意确定题目蕴含的相等关系,并据此列出方程或函数解析式.20、(1)①(2,0),(1,),(﹣1,);②y=x;③y=x,y=﹣x+;(2)①半径为4,M(,);②﹣1<r<+1.【解析】
(1)①如图2-1中,作BE∥OD交OA于E,CF∥OD交x轴于F.求出OE、OF、CF、OD、BE即可解决问题;②如图2-2中,作BE∥OD交OA于E,作PM∥OD交OA于M.利用平行线分线段成比例定理即可解决问题;③如图3-3中,作QM∥OA交OD于M.利用平行线分线段成比例定理即可解决问题;(2)①如图3中,作MF⊥OA于F,作MN∥y轴交OA于N.解直角三角形即可解决问题;②如图4中,连接OM,作MK∥x轴交y轴于K,作MN⊥OK于N交⊙M于E、F.求出FN=NE=1时,⊙M的半径即可解决问题.【详解】(1)①如图2﹣1中,作BE∥OD交OA于E,CF∥OD交x轴于F,由题意OC=CD=1,OA=BC=2,∴BD=OE=1,OD=CF=BE=,∴A(2,0),B(1,),C(﹣1,),故答案为(2,0),(1,),(﹣1,);②如图2﹣2中,作BE∥OD交OA于E,作PM∥OD交OA于M,∵OD∥BE,OD∥PM,∴BE∥PM,∴=,∴,∴y=x;③如图2﹣3中,作QM∥OA交OD于M,则有,∴,∴y=﹣x+,故答案为y=x,y=﹣x+;(2)①如图3中,作MF⊥OA于F,作MN∥y轴交OA于N,∵ω=120°,OM⊥y轴,∴∠MOA=30°,∵MF⊥OA,OA=4,∴OF=FA=2,∴FM=2,OM=2FM=4,∵MN∥y轴,∴MN⊥OM,∴MN=,ON=2MN=,∴M(,);②如图4中,连接OM,作MK∥x轴交y轴于K,作MN⊥OK于N交⊙M于E、F.∵MK∥x轴,ω=120°,∴∠MKO=60°,∵MK=OK=2,∴△MKO是等边三角形,∴MN=,当FN=1时,MF=﹣1,当EN=1时,ME=+1,观察图象可知当⊙M的半径r的取值范围为﹣1<r<+1.故答案为:﹣1<r<+1.【点睛】本题考查圆综合题、平行线分线段成比例定理、等边三角形的判定和性质、平面直角坐标系等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造平行线解决问题,属于中考压轴题.21、(1)140;(2)W内=-x2+130x,W外=-x2+(150-a)x;(3)a=1.【解析】试题分析:(1)将x=1000代入函数关系式求得y,;(2)根据等量关系“利润=销售额﹣成本”“利润=销售额﹣成本﹣附加费”列出函数关系式;(3)对w内函数的函数关系式求得最大值,再求出w外的最大值并令二者相等求得a值.试题解析:(1)x=1000,y=-×1000+150=140;(2)W内=(y-1)x=(-x+150-1)x=-x2+130x.W外=(150-a)x-x2=-x2+(150-a)x;(3)W内=-x2+130x=-(x-6500)2+2,由W外=-x2+(150-a)x得:W外最大值为:(750-5a)2,所以:(750-5a)2=2.解得a=280或a=1.经检验,a=280不合题意,舍去,∴a=1.考点:二次函数的应用.22、(1)见解析;(1)tan∠BAC=;(3)⊙O的半径=1.【解析】
(1)连接DO,由圆周角定理就可以得出∠ADB=90°,可以得出∠CDB=90°,根据E为BC的中点可以得出DE=BE,就有∠EDB=∠EBD,OD=OB可以得出∠ODB=∠OBD,由等式的性质就可以得出∠ODE=90°就可以得出结论.(1)由S1=5S1可得△ADB的面积是△CDE面积的4倍,可求得AD:CD=1:1,可得.则tan∠BAC的值可求;(3)由(1)的关系即可知,在Rt△AEB中,由勾股定理即可求AB的长,从而求⊙O的半径.【详解】解:(1)连接OD,∴OD=OB∴∠ODB=∠OBD.∵AB是直径,∴∠ADB=90°,∴∠CDB=90°.∵E为BC的中点,∴DE=BE,∴∠EDB=∠EBD,∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD,即∠EDO=∠EBO.∵BC是以AB为直径的⊙O的切线,∴AB⊥BC,∴∠EBO=90°,∴∠ODE=90°,∴
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