三角形的外角与内角和计算技巧

三角形的外角与内角和计算技巧一、三角形的外角定义：三角形的一个外角是指与三角形的一个内角不在同一直线上的角。三角形的外角等于它不相邻的两个内角之和。三角形的外角大于任何一个不相邻的内角。外角与它相邻的内角互补（即外角加相邻内角等于180°）。计算方法：已知三角形的两个内角，求第三个内角的外角：用180°减去这两个内角的和。已知三角形的一个内角和一个外角，求另一个内角：用180°减去这个外角。二、三角形的内角和定理：三角形的三个内角和等于180°。画出任意一个三角形，将其分为两个三角形。每个小三角形的内角和都是180°，因此，整个三角形的内角和是360°。由于两个小三角形的公共角被计算了两次，所以将其减去一次，得到三角形的内角和为180°。计算方法：已知三角形的两个内角，求第三个内角：用180°减去这两个内角的和。已知三角形的三个内角，验证内角和是否等于180°。三、外角与内角和的联系每个三角形的三个外角和等于360°。三角形的外角与它相邻的内角互补，即外角加相邻内角等于180°。利用外角可以转换求解内角，利用内角和定理可以验证外角的计算结果。四、应用拓展利用三角形外角性质解决几何问题，如证明线段平行、求解三角形面积等。利用内角和定理求解三角形的问题，如求解三角形的角度、边长等。外角与内角和的知识在实际生活中的应用，如测量土地面积、建筑物的设计等。通过以上知识点的学习，学生可以掌握三角形外角与内角和的计算技巧，并能运用到实际问题中。习题及方法：习题：已知三角形ABC的内角A、B分别为90°和45°，求三角形ABC的外角D的度数。答案：外角D的度数为180°-90°-45°=45°。解题思路：根据三角形的外角性质，外角D等于它不相邻的两个内角之和，即90°和45°。习题：已知三角形DEF的一个内角为60°，另一个内角的外角为80°，求三角形DEF的第三个内角的度数。答案：第三个内角的度数为180°-60°-(180°-80°)=40°。解题思路：根据内角和定理，三角形的三个内角和等于180°。由题意知其中一个内角的外角为80°，因此第三个内角等于180°减去已知的两个内角的和。习题：如果一个三角形的两个内角分别为30°和40°，那么这个三角形的第三个内角的度数是多少？答案：第三个内角的度数为180°-30°-40°=110°。解题思路：根据内角和定理，三角形的三个内角和等于180°，所以第三个内角等于180°减去已知的两个内角的和。习题：一个三角形的三个外角的度数分别为80°、100°和120°，求这个三角形的三个内角的度数。答案：三个内角的度数分别为100°、80°和20°。解题思路：三角形的三个外角的度数之和等于360°，所以每个外角的度数等于360°除以3，即120°。由于外角等于它相邻的内角之和，所以每个内角的度数等于180°减去它对应的外角的度数。习题：在三角形ABC中，内角A是直角，内角B是锐角，且内角B的外角是45°，求内角C的度数。答案：内角C的度数为135°。解题思路：由于内角A是直角，所以内角A的度数为90°。内角B的外角是45°，根据外角的性质，内角B的度数为180°-45°=135°。因此，内角C的度数为180°-90°-135°=135°。习题：如果一个三角形的两个内角的外度数分别为50°和60°，求这个三角形的第三个内角的度数。答案：第三个内角的度数为70°。解题思路：由于一个三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和，所以两个内角的度数之和为180°-50°=130°。因此，第三个内角的度数为180°-130°=70°。习题：在等腰三角形ABC中，底角A和B相等，顶角C是直角，求三角形ABC的底角的度数。答案：底角A和B的度数为45°。解题思路：由于顶角C是直角，所以顶角C的度数为90°。根据内角和定理，三角形的三个内角和等于180°。因此，底角A和B的度数之和为180°-90°=90°。由于底角A和B相等，所以每个底角的度数为90°其他相关知识及习题：习题：在三角形ABC中，如果一个内角的度数是70°，另一个内角的度数是50°，求第三个内角的度数。答案：第三个内角的度数为60°。解题思路：根据内角和定理，三角形的三个内角和等于180°。所以第三个内角的度数为180°-70°-50°=60°。习题：在等边三角形ABC中，如果一个内角的度数是60°，求这个三角形的其他两个内角的度数。答案：其他两个内角的度数也是60°。解题思路：由于等边三角形的三个内角都相等，所以其他两个内角的度数也都是60°。习题：在三角形DEF中，如果一个内角的度数是45°，另一个内角的外角是70°，求这个三角形的第三个内角的度数。答案：第三个内角的度数为105°。解题思路：由于一个内角的外角等于它不相邻的两个内角之和，所以另一个内角的度数为180°-70°=110°。因此，第三个内角的度数为180°-45°-110°=105°。习题：在三角形ABC中，如果一个内角的度数是30°，另一个内角的外角是80°，求这个三角形的第三个内角的度数。答案：第三个内角的度数为70°。解题思路：由于一个内角的外角等于它不相邻的两个内角之和，所以另一个内角的度数为180°-80°=100°。因此，第三个内角的度数为180°-30°-100°=70°。习题：在三角形DEF中，如果一个内角的度数是90°，另一个内角的外角是45°，求这个三角形的第三个内角的度数。答案：第三个内角的度数为45°。解题思路：由于一个内角的外角等于它不相邻的两个内角之和，所以另一个内角的度数为180°-45°=135°。因此，第三个内角的度数为180°-90°-135°=45°。习题：在等腰三角形ABC中，底角A和B相等，顶角C是直角，求三角形ABC的底角的度数。答案：底角A和B的度数为45°。解题思路：由于顶角C是直角，所以顶角C的度数为90°。根据内角和定理，三角形的三个内角和等于180°。因此，底角A和B的度数之和为180°-90°=90°。由于底角A和B相等，所以每个底角的度数为90°。习题：在三角形XYZ中，如果一个内角的度数是120°，另一个内角的外角是60°，求这个三角形的第三个内角的度数。答案：第三个内角的度数为150°。解题思路：由于一个内角的外角等于它不相邻的两个内角之和，所以另一个内角的度数为180°-60°=120°。因此，第三个内角的度数为180°-120°-120°=150°。习题：在三角形LMN中，如果一个内角的度数是135°，另一个内角的外角是90°，求这个三角形的第三个内角的度数。答