贵州省黔东南州2021年中考数学真题（解析版）

黔东南州2021年初中毕业升学统一考试试卷

数学

（本试题满分150分，考试时间120分钟）

注意事项：

1.答题时，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定位置上.

2.答选择题，必须使用25铅笔将答题卡上上对应题目的答题标号涂黑.如有改动，用橡皮擦

擦干净后，再选涂其他答案标号.

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效.

一、选择题（每小题4分，10个小题共40分.）

1.实数2021的相反数是（）

A.2021B.-2021C.」一1

20212021

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出答案.

【详解】解：2021的相反数是：—2021.

故选：B.

【点睛】本题主要考查相反数的定义，正确掌握其概念是解题关键.

2.下列运算正确的是（）

1（3h22

A.&+石=君B.a'a=a'C.（a）'=aD.a—b=（＜a-by

【答案】C

【解析】

【分析】根据合并同类二次根式判断A,根据同底数幕的乘法判断B,根据幕的乘方判断C,根据平方差公

式判断D.

【详解】解：A.0,百不是同类二次根式，不能合并，选项说法错误，不符合题意；

B.«3«2=a5）选项说法错误，不符合题意；

）选项说法正确，符合题意；

a32=*,

D.a2-b2=(a+b)(a-b),选项说法错误，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了合并同类二次根式、同底数幕的乘法、幕的乘方、平方差公式，关键注意平方差公式

a2~b2=(a+b)(a-b).

3.将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使用30。角的三角板的直角边和含45°角的三角板的直角边

垂直，则/I的度数为()

C.70°D.75°

【答案】D

【解析】

【分析】由三角板的特征可得NB=45。，Z£=30°,Z£FD=90°,利用三角形的外角的性质及对顶角的性

质可求解/AGE的度数，再利用三角形外角的性质可求解/I的度数.

【详解】解：由题意得△ABC,△OEF为直角三角形，N8=45°,NE=30°,NEFD=90°,

：.ZAGE=ZBGF=45°,

VZ1=Z£+ZAG£,

.•.Nl=30°+45°=75°,

故选：D.

【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，等腰直角三角形，求解NAGE的度数是解题的关键.

4.一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列

事件是必然事件的为（）

A.至少有1个球是黑球B.至少有1个球是白球

C.至少有2个球是黑球D.至少有2个球是白球

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：至少有1个球是黑球是必然事件，A正确；至少有1个球是白球是随机事件，B不正

确；至少有2个球是黑球是随机事件，C不正确；至少有2个球是白球是随机事件，D不正确；故选A.

考点：随机事件.

5.由4个棱长均为1的小正方形组成如图所示的几何体，这个几何体的表面积为（）

B.15C.12D.6

【答案】A

【解析】

【分析】几何体的表面积是几何体正视图，左视图，俯视图三个图形中，正方形的个数的和的2倍.

【详解】解：正视图中正方形有3个；

左视图中正方形有3个；

俯视图中正方形有3个.

则这个几何体表面正方形的个数是：2x（3+3+3）=18.

则几何体的表面积为18.

故选：A.

【点睛】本题考查了几何体的表面积，这个几何体的表面积为露在外边的面积和底面积之和.

6.若关于x的一元二次方程/一分+6=0的一个根是2,则a的值为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】

【分析】根据韦达定理，可知另一个根为3,再根据韦达定理可知a的值为根之和，即可求得

【详解】一一奴+6=0的一个根为2,设另一根为々

二.2X2=6,解得々=3

X•/2+x2=a

a=5

故选D

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系即韦达定理，熟悉韦达定理是解题的关键.

7.如图，抛物线4：产依2+陵+c（a，o）与x轴只有一个公共点A（1,0）,与＞轴交于点B（0,2）,虚

线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线4,则图中两个阴影部分的面积和为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】连接A8,OM,根据二次函数图像对称性把阴影图形的面积转化为平行四边形A3OM面积求解

即可.

【详解】设平移后的抛物线与对称轴所在的直线交于点M,连接AB,OM.

4(1,0),6(0,2)

：.OA=\,0B=AM=2,

•••抛物线是轴对称图形，

，图中两个阴影部分的面积和即为四边形ABOM的面积，

'：AMHOB,AM=OB,

四边形ABOM为平行四边形，

S四边形ABOM=0/3•°A=2x1=2-

故选:B.

【点睛】此题考查了二次函数图像的对称性和阴影面积的求法，解题的关键是根据二次函数图像的对称性

转化阴影图形的面积.

8.如图，在中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,若以AC为直径的。。交AB于点。，则CD的

长为()

【答案】C

【解析】

【分析】根据勾股定理求得的长，然后根据直径所对圆周角为90。得到NAZ)C=90。，然后根据三角

形面积即可求解.

【详解】在R/ZXACB中，48=VAC2+BC2=A/62+82=10，

•••AC为的直径，

，ZADC=90°,

：.S

AA/Ito}cC=-2.AC.BC=-2MB.CZ),

…AC»BC6x824

CD=-------=-----=—,

AB105

故选C.

【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，关键是判断NA0C=9O°.

9.己知直线y=-x+l与X轴、y轴分别交于A、8两点，点P是第一象限内的点，若为等腰直角三

角形，则点P的坐标为（）

A（1,I）

B.（1,1）或（1,2）

C.（1,1）或（1,2）或（2,1）

D.（0,0）或（1,1）或（1,2）或（2,1）

【答案】C

【解析】

【分析】先根据一次函数解析式求出4B两点的坐标，然后根据已知条件，进行分类讨论分别求出点P的

坐标.

【详解】解：直线y=-x+l与x轴、y轴分别交于A、8两点，

当y=0时，x=1,当x=0时，y=1；

故A、B两点坐标分别为A（1,0）,B（0,1）,

•.•点P是第一象限内的点且△布8为等腰直角三角形，

②当/尸84=90°时，P点坐标为（1,2）；

③当/APB=90°时，P点坐标为（1,1）；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，数形结合思想和分类讨论思想的运用是解题的关键，注意原点

不属于任何象限.

10.如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点4逆时针旋转60°,使点8落在点？的位置，连

接B3',过点。作。EL89,交B8'的延长线于点E,则6E的长为（）

2A

A.73-1B.26-2C.-73D.g6

【答案】A

【解析】

【分析】利用已知条件求得ZCBF=NEDF=30°，设=x，将DF,FC,BF都表示出含有%的代数式,

利用tan/EBC的函数值求得x,继而求得g后的值

设BE,CD交于点、F,

由题意：AB=AB',ZBAB'=60°

△•'是等边三角形

•­■4483'=60°

•.•四边形ABC。为正方形

,-.ZABC=ZC=90°

：,zCBF=900-60o=30°,

DELBB'

NE=9()。

又•；NDFE=NCFB

；.NEDF=NCBF=30°

设防=x

EFEF

DF=2EF=2x

则sinZEDF~~

2

FC=DC—DF=2—2x

FC

BF=------------=2/C=4一4x

sinZCBF

BE=BF+EF=4-3x

B'E=BE-BB'=4-3x-2=2-3x

BC3

•_2_-2_x__V3_

2

解得：x=1-—

3

B'E=2_3xQ_*）=gT

故选A

【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，特殊角的锐角三角函

数值，灵活运用锐角三角函数的定义及特殊三角函数值是解题的关键.

二、填空题（每个小题3分，10个小题共30分）

11.目前我国建成世界上规模最大的社会保障体系，截止2020年12月底，基本医疗保险覆盖超过13亿人,

覆盖94.6%以上的人口.在这里，1300000000用科学记数法表示为.

【答案】1.3X109

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为4X10”的形式，其中修|。|<10,〃为整数.确定，的值时，要看把原数变

成4时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值多0时，〃是正整数.

【详解】解：1300000000=1.3xl09.

故答案为：1.3x109

【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中修同<10,〃为

整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

12.分解因式：W-4«/=.

【答案】4a(x+y)(x-y)

【解析】

【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可

【详解】原式=4”(尤2一y2)=4a(x+y)(x-y),

故答案为：4fl(x+y)(x-y).

【点睛】本题考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题的关键.

13.黔东南州某校今年春季开展体操活动，小聪收集、整理了成绩突出的甲、乙两队队员(各50名)的身

高得到：平均身高(单位：cm)分别为：辱=160,和=162,方差分别为：5%=1.5,S?乙=2.8,现

要从甲、乙两队中选出身高比较整齐的一个队参加上一级的体操比赛，根据上述数据，应该选择

.(填写“甲队”或“乙队”)

【答案】甲队

【解析】

【分析】根据方差的意义求解即可.

【详解】=1.5,S?乙=2.8,

$2甲VS2乙，

甲队身高比较整齐.

故答案为：甲队.

【点睛】此题考查了方差的意义，解题的关键是熟练掌握方差的意义.

14.如图，8。是菱形A8CZ)的一条对角线，点E在的延长线上，若NADB=32°,则ZDCE的度数

为度.

A,------------7D

【答案】64

【解析】

【分析】根据菱形的性质可以求得NCOS和NDBC,再应用三角形外角的性质即可求解.

【详解】解：是菱形A8CD的一条对角线，ZADB=32°,

：.ZCDB=ZADB=32°,AD//BC,

/DBC=ZADB=30

：.ZDCE=ZDBC+ZCDB=320+32°=64°.

故答案为：64.

【点睛】本题考查菱形的性质和三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题关键.

15.已知在平面直角坐标系中，AAOB的顶点分别为点A(2,1)、点B(2,0)、点。(0,0),若以原点

。为位似中心，相似比为2,将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为.

【答案】(4,2)或(-4,-2)

【解析】

【分析】根据位似变换的定义，作出图形，可得结论.

【详解】解：如图，观察图象可知，点A的对应点的坐标为(4,2)或(-4,-2).

故答案为：(4,2)或(-4,-2).

【点睛】本题考查作图-位似变换，解题的关键是正确作出点A的对应点E,G,点8的对应点F,H.

5x+2>3（x-l）

【答案】-9<XK4

2

【解析】

【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集.

【详解】解：解不等式5x+2>3(x-1),得：%>--)

2

13

解不等式一x—1<7-巳］,得：%<4,

22

则不等式组的解集为一*<x<4,

2

故答案为—』<xW4.

2

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不

到”的法则是解答此题的关键.

17.小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在园的半

径，小明连接瓦片弧线两端A8,量的弧A8的中心C到A8的距离CD=1.6cm,Afi=6.4cm,很快求得圆形

瓦片所在园的半径为cm.

【答案】4

【解析】

【分析】圆的两弦的中垂线的交点，就是圆心；连接AC,作AC的中垂线，与直线C。的交点就是圆心,

已知圆心即可作出圆；连接圆心与A,根据勾股定理即可求得半径.

【详解】如图，

连接0A,

•..CO是弦AB的垂直平分线,

AD^-AB=3.2,

2

设圆的半径是r.在直角△ADO中，AO^r,AD=3.2,DO=r—L6.

根据勾股定理得，r2=3.22+(r-1.6)2,

r=4

故答案：4

【点睛】本题主要考查圆的确定和垂径定理，熟练掌握垂径定理得出关于半径的方程是解题的关键.

18.如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥(接缝处忽略不计)，若该圆锥的底面圆周长为20乃cm,

侧面积为240%cm2，则这个扇形的圆心角的度数是度.

【答案】150

【解析】

【分析】根据圆锥底面周长与展开后所得的扇形的弧长相等，圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等，

利用扇形面积公式与弧长公式计算即可.

【详解】设圆锥的母线长为/cm,扇形的圆心角为n。，

•..圆锥的底面圆周长为20兀cm,

圆锥的侧面展开图扇形的弧长为20兀cm,

由题意得：—><207tx/=2407i,

2

解得:1=24,

r,〃乃X24

贝!]-------=20n.

180

解得-11=150,即扇形的圆心角为150。，

故答案为：150.

【点睛】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与圆锥之间的关系是解决本题的关键.

19.如图，若反比例函数产且的图像经过等边三角形POQ的顶点P,则△POQ的边长为—

X

【解析】

【分析】如图，过点尸作X轴的垂线于M,设尸S,B),则OM=a,PM=2,根据等边三角形三线合

aa

一的性质得：0Q=0P=2a,在RAOPM中，根据勾股定理求得PM=道”，从而得到方程迫^=6"，解得

a

a=l,所以APO。的边长为OQ=2a=2.

【详解】解：如图，过点尸作x轴的垂线于M,

：.OP=OQ,OM=QM=^-OQ,

设p(a,3)，

a

则OM=a,OQ=OP=2a,PM=—,

a

在RdOPM中，

PM=ylOP2-OM2=y](2a)2-a2=6a，

，且件,

a

・・・。=1（负值舍去），

OQ=2a=2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，在反比例函数的题中，经常设

出反比例函数图象上点的坐标，从而得到线段的长度，根据几何性质列出方程求解.

20.如图，二次函数厂办2+法+4。。0）的函数图像经过点（1,2）,且与x轴交点的横坐标分别为网、%2,

其中一1VX]VO,IVx2V2,下列结论：①。〃c>0；®2a+b<0；®4a-2b+c>0；④当

x=m。（加<2）时，anr+hm<2-c；⑤b>l,其中正确的有.（填写正确的序号）

【答案】②④⑤

【解析】

【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点坐标以及过特殊点时系数。、b,c满足的

关系等知识进行综合判断即可.

【详解】解：抛物线开口向下，«<0,对称轴在y轴的右侧，a、b异号,因此b>0,与〉轴的交点在正半

轴，c>0,

所以4儿<0,故①错误；

b

对称轴在0〜1之间，于是有又“V0,所以2a+bV0,故②正确：

2a

当x=-2时，）=4a-6+c<0,故③错误；

当x=m（1</n<2）时,y=am2+bm+c<2,所以卬层+为故④正确；

当x=-l时，y=a-b+c<0,当户1时，y-a+b+c^2,所以-26V-2,即6>1,故⑤正确；

综上所述，正确的结论有：②④⑤，

故答案为：②④⑤.

【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，不等式的性质等知识，掌握抛物线的所处的位置与系数4、b,

C满足的关系是正确判断的前提.

三、解答题(6个小题，共80分)

21.(1)计算:2cos30。-2T-厄-椁-4+(3.14-%)°

(2)先化简：一3+3匚+山.二if,然后x从0、1、2三个数中选一个你认为合适的数代入求值.

x-4x+4x-2x

3

【答案】(1)一一；(2)x+2,当x=l时，原式=3

2

【解析】

【分析】(1)根据实数的运算，零指数暴，负整数指数幕，特殊角的三角函数值进行计算即可；

(2)先根据分式的混合运算法则化简，再代入求值即可得结果.

【详解】解：(1)2cos300-2T-疵-2-2卜(3.14-万)°

—2又-g-2-\/3一(2—5/3j+1

=V3---2^-2+^+l

2

-——3.

2，

,八X2+3XX+3x2-4

x-4x+4x-2x

x(x+3)x—2(x+2)(x-2)

(x-2)，x+3x

=x+2

取0或2时，原式无意义，

二x只能取1

当x=l时，原式=3

【点睛】本题考查了分式的化简求值，实数的运算，零指数暴，负整数指数幕，特殊角的三角函数值，解

决本题的关键是熟练掌握运算法则.

22.为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了“党在我心中”党史知识竞赛，竞赛得分为整数，王老师

为了解竞赛情况，随机抽取了部分参赛学生的得分并进行整理，绘制成如下不完整的统计图表:

频数

75.580.585.590.595.5100.5成绩/分

组别成绩X（分）频数

A75.5Wx<80.56

B80.5Wx<85.514

C85.5<x<90.5m

D90.5<x<95.5n

E95.5<x<100.5P

请你根据上面的统计图表提供的信息解答下列问题：

（1）上表中的〃?=,«=,P=.

（2）这次抽样调查的成绩的中位数落在哪个组？请补全频数分布直方图.

（3）已知该校有1000名学生参赛，请估计竞赛成绩在90分以上（不含90分）的学生有多少人？

（4）现要从E组随机抽取两名学生参加上级部门组织的党史知识竞赛，E组中的小丽和小洁是一对好朋友,

请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到小丽和小洁的概率.

【答案】（1）18；8；4；（2）C组；见解析；（3）240人；（4）」

6

【解析】

【分析】（1）由8组的人数和所占百分比求出抽取的学生人数，即可解决问题；

（2）由中位数的定义求出中位数落在C组，再由（1）的结果补全频数分布直方图即可；

（3）由该校参赛人数乘以竞赛成绩在90分以上的学生所占的比例即可：

（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到小丽和小洁的结果有2种，再由概率公式求解即可.

【详解】解：（1）抽取的学生人数为：14+28%=50（人），

m=50x36%=18,

由题意得：p=4,

...”=50614-18-4=8,

故答案为：18,8,4；

(2)..•p+〃+，*=4+8+18=30,

，这次调查成绩的中位数落在C组;

补全频数分布直方图如下：

75.580.585.590.595.5100.5成绩/分

8+4,

(3)1000'与-=240(人)，

即估计竞赛成绩在90分以上的学生有240人；

(4)将“小丽”和“小洁”分别记为：A、B,另两个同学分别记为：C、D

画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中恰好抽到小丽和小洁的结果有2种,

2]

恰好抽到小丽和小洁的概率为：—

126

【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率以及频数分布直方图统计图和扇形统计图.列表法或画

树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件.用到的知识点为：概率=所求

情况数与总情况数之比.

23.如图，相是以AC为直径的。0的切线，切点为A,过点A作AB_LOP,交。。于点8.

A

P

(1)求证：PB是。。的切线；

3

(2)若AB=6,cosNPAB=—,求PO的长.

25

【答案】(1)见解析；(2)—

4

【解析】

【分析】(1)连接OB,根据切线的性质和垂径定理得到NPQA=NPOB,然后根据S4S证明△以0三/XPBO,

然后根据全等三角形的性质即可证明；

(2)根据垂径定理得到ZM=OB=3,然后根据余弦的定义得到南=5,进而应用勾股定理即可求解P。，

PDPA

然后对NAPD继续应用余弦的定义得到一=——，即可最终求解PO的长.

PAPO

【详解】(1)证明：连接OB,

•••以是以AC为直径的。。的切线，切点为A,

：.ZPAO=90°,

•：OA=OB,ABLOP,

：.4P0A=4P0B,

又OP=OP,

：.ZPBO=ZPAO=90",

即OB_LPB,

.•.PB是OO的切线；

(2)解：设OP与AB交于点。.

A

D

P'

•：AB1.OP,AB=6,

：.DA=DB=3,NPDA=NPDB=90”,

3DA3

,/cosZ.PAB=-

5PAPA

：.PA=5,：.PD=VPA2-AD2=V52-32=4，

在Rt/\APD和Rt/\APO中,

cosZ.A.PD=----,cosZ.APD=-----

PAPO

.PD_PA

'~PA~~PO

25

T

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，余弦的定义，关键是通过余弦的定义建立等量关

系进行求解.

24.黔东南州某销售公司准备购进A、8两种商品，已知购进3件A商品和2件B商品，需要1100元；购

进5件A商品和3件8商品，需要1750元.

（1）求A、B两种商品的进货单价分别是多少元？

（2）若该公司购进A商品200件，B商品300件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地销售.已知每件A

商品运往甲、乙两地的运费分别为20元和25元；每件B商品运往甲、乙两地的运费分别为15元和24元.若

运往甲地的商品共240件，运往乙地的商品共260件.

①设运往甲地的A商品为X（件），投资总运费为丁（元），请写出＞与X的函数关系式；

②怎样调运A、B两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？（投资总费用=购进商品的费用+运

费）

【答案】（1）A商品的进货单价为200元，8商品的进货单价为250元；（2）①），=4x+l25040；②最佳调

运方案为：调运240件8商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地.最小费用为125040元

【解析】

【分析】(1)设A商品的进货单价为x元，B商品的进货单价为y元，根据购进3件A商品和2件B商品，

需要1100元；购进5件A商品和3件8商品，需要1750元列出方程组求解即可；

(2)①设运往甲地的A商品为x件，则设运往乙地的A商品为(200-x)件，运往甲地的8商品为(240

-%)件，运往乙地的8商品为(60+x)件，根据投资总运费=运往甲、乙两地运费之和列出函数关系式即

可；②根据投资总费用=购买商品的费用+总运费，列出函数关系式，由自变量的取值范围是：0WxW200,

根据函数的性质判断最佳运输方案并求出最低费用.

【详解】解：(1)设A商品的进货单价为x元，8商品的进货单价为y元,

,13x+2y=1100

根据题意,得＜

[5x+3y=1750

x=200

解得：c"

[y=250

答：A商品的进货单价为200元，B商品的进货单价为250元；

(2)①设运往甲地A商品为x件，则设运往乙地的A商品为(200-x)件，

运往甲地的8商品为(240-X)件，运往乙地的B商品为(60+x)件，

贝l」y=20x+25(200-x)+15(240-x)+24(60+x)=4x+10040,

与X的函数关系式为y=4x+10040；

②投资总费用w=200X200+300X250+4x+10040=4x+125040,

自变量的取值范围是：0WxW200,

'：k=4>0,

•••y随x增大而增大.

当x=0时，w取得最小值，卬母小=125040(元)，

最佳调运方案为：调运240件8商品到甲地，调运200件4商品、60件B商品到乙地，最小费用为125040

元.

答：调运240件8商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地总费用最小，最小费用为125040元.

【点睛】本题考查了一次函数的应用和二元一次方程组的应用，关键是根据投资总费用=购进商品的费用+

运费列出函数关系式.

25.在四边形ABC。中，对角线AC平分NBAD

D

D

【探究发现】

(1)如图①，若NBA£>=120°,NABC=NADC=90°.求证：AD+AB=AC；

【拓展迁移】

(2)如图②，若N8A£>=120°,ZABC+ZADC=.

①猜想A8、A。、AC三条线段的数量关系，并说明理由；

②若AC=10,求四边形ABC£>的面积.

【答案】(1)见解析；(2)①A£)+AB=AC,见解析；②256

【解析】

【分析】(1)根据角平分线的性质得到NZMC=NBAC=60°,然后根据直角三角形中30"是斜边的一半即

可写出数量关系；

(2)①根据第一问中的思路，过点C分别作CELA。于E,C尸，AB于尸，构造A45证明△CFB三△CEZ),

根据全等的性质得到FB=DE,结合第一问结论即可写出数量关系；

②根据题意应用60°的正弦值求得CE的长，然后根据

S四边形加。=：AD*C£+1ABxCF=1(AD+AB)xCE的数量关系即可求解四边形ABCD的面积.

【详解】(1)证明：平分/84O,ZBAD=nGn,

：./£>AC=ZBAC=60°，

,?/AOC=/ABC=90%

D

图①

二/ACQ=/ACB=30"，

.,.AD=—AC,AB=—AC.

22

：.AD+AB=AC,

(2)@AD+AB=AC,

理由：过点C分别作CELAO于E,CF±ABF.

图②

：AC平分/BA。，

:.CF=CE,

"：ZABC+ZADC=180",ZEDC+ZADC=180"，

：./FBC=4EDC,

又NCFB=NCED=90”,

：./\CFB=ACED(A4S),

:.FB=DE,

：.AD+AB=AD-\-FB+AF^=AD+DE+AF=AE+AF,

在四边形AFCE中，由⑴题知：AE+AF=AC,

：.AD+AB^AC；

②在中，：AC平分N84D,ZBAD=[20°

：.ZDAC=ZBAC=60°，

又：AC=10,

CE=AsinZ£>AC=10sin60"=5G，

"：CF=CE,AD+AB=AC,

■•SmAliCn=^ADxCE+^ABxCF=^AE^AB)xCE

=’ACxCE=-xlOx5G=256.

22

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和应用，解直角三角形，关键是辨认出本

题属于角平分线类题型，作垂直类辅助线.

26.如图，抛物线y="2_2x+c(aw0)与X轴交于A、B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,-3),抛物

线的顶点为D.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点尸在抛物线的对称轴上，点。在％轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四

边形，请直接写出点P、。的坐标；

(3)已知点M是x轴上的动点，过点M作x的垂线交抛物线于点G,是否存在这样的点使得以点4

M、G为顶点的三角形与△BCZ)相似，若存在，请求出点”的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴尸/一2元一3；(2)点P(l,-3)或尸(1,3)、点。(4,0)或点Q(—2,0)；(3)存在，M(0,0)

8JQ

或M(一,0)或M(6,0)或M(一,0)

33

【解析】

【分析】(1)根据二次函数表达式和已知坐标点代入计算即可，

(2)以点P、Q、B、C为顶点，8C为边的四边形为平行四边形，分为两种情况：PQHBC或PQ/BC,

根据平行四边形对边相等且平行求解即可，

(3)先根据题意求出A点坐标和顶点坐标,根据B,C,D坐标点得知△BQC是直角三角形,且/BCQ=90"，

设点M得坐标(机,0),则点G得坐标为(m,2加—3),根据相似的性质分情况求解即可.

【详解】解：(1)