新教材2023年高中数学第5章三角函数综合测试新人教A版必修第一册

第五章综合测试

考试时间120分钟，满分150分.

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的）

1.若扇形的面积为16cm2,圆心角为2rad,则该扇形的弧长为（B）

A.4cmB.8cm

C.12cmD.16cm

［解析］由得16=；X24,A=4,所以/=a•E=8.

2.COS275°+COS215°+COS75°•cos15°的值是（A）

5季

A-4B-2

C-ID.

[解析]原式=sin2].50+COS215°+sin15°cos15°=l+-sin30°=-

<3JI八

sinl-。J•cosJi+。

3.已知角。终边经过点（3,-4）,则一%——---77-——「等于（C）

sinj，〈•cos受+。

44

A.B.

33

33

C.D.

44

4—res0•—cos0]

［解析］由已知，tan所求原式可化为

夕=一§'—sin9tan。

_3

=］

it

4.下列函数中，最小正周期为n,且图象关于直线矛=/对称的是（A）

0

A.尸sin（2x+~^jB.尸sin仔+~^

C.尸sin（2x-D.尸sin（2x-

JI

［解析］由最小正周期为兀，可排除B,再将x=为代入函数，可知A正确.

b

ji17

5.若0<4〈〒<£〈兀，且cos0=--,sin（a+£）=A，则sin。的值是（C）

z6y

5

B.27

1D.

c23

3-27

JI兀3兀17

［解析］由0<4<丁<£〈兀，知丁+且cos£=一鼻，sin（a+£）=G，得

乙乙乙Ou

_4^2

sin£=^~，cos(。+£)

—9,

sinq=sin[(4+£)—£]

=sin(q+£)cos£—cos(a+£)•sin£=J.故选C.

O

6.已知d是实数，则函数f(x)=l+asinax的图象不可能是(D)

9JI

［解析］本题用排除法，对于D选项，由振幅以〉1,而周期片南应小于2”,与图

中7>2兀矛盾.

7.y=sinf2^r——J—sin2x的一个单调递增区间是（B）

JIJIJI7JI

A.B.,

6I12-12

5兀13兀JI5JI

~12f~L2~

JI

sin[2JT——j—sin2x.兀.

［解析］ysin2^rcos~—cos2^rsin~—sin2x

JIJI\/JI其增区间是函数y=sin（2x+1］的减区

sin2^cos-+cos2^rsin­1=—sinl2^r+-

JIJIJI7JI

间，即2k式+于W2x+?W2A兀4-•'•A兀以+-^~,当k=0时，

4u

JI7JI

129~12

8.函数Mx）=6）一|sin2x|在0,早上零点的个数为（C）

A.2B.4

C.5D.6

一5

-Isin2x|在0,-n上的零点个数为5.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项

中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

4Ji

9.与角一飞一终边相同的角是（CD）

Tl

r

10n

4n兀、4兀

［解析］与角一m终边相同的角是2次“+一.，kez.令k=\,可得与角一1r终

O\JO

2兀4兀10兀

边相同的角是飞-，令k=一l,可得与角一亍终边相同的角是一「厂，故选CD.

10.下列结论正确的是（ABD）

4兀

A.一厂是第二象限角

B.函数广（x）=|sinx|的最小正周期是兀

八„,sina+cosQ

C.右tana=3,贝广:------------=4

sina—cosQ

JI

D.若圆心角为石的扇形的弧长为八则该扇形的面积为3n

4兀

［解析］根据象限角的范围，一二为第二象限角，故A正确；因为函数了=$行矛的最

O

小正周期是2兀，所以函数广（x）=|sinx|的最小正周期是兀，故B正确；若tan。=3,

sina+cosQtan。+1兀

sin十cos:an十=2,故C错误；若圆心角为式的扇形的弧长为n，则该扇

sinCL—cosatan<2—16

形的半径为6,所以扇形的面积为S=3・口-6=3JI,故D正确.故选ABD.

JIJI7兀

11.已知G>0,。〈方，若-和是函数F(x)=cos(Gx+0)的两条相邻的

266

JI

对称轴，将尸/1(X)的图象向左平移/个单位长度得到函数y=g(x)的图象，则下列说法正

0

确的是(BD)

A.尸g(x)是奇函数

B.y=g(x)的图象关于点1—十，0)对称

一一...兀

C.尸g(x)的图象关于直线X=”~对称

D.尸g(x)的周期为2以

JI7

［解析］：£=《~和万=&兀是两条相邻的对称轴，

00

(7吟

7=2X|-Ji——1=2几,「・G=1.

f{x)=cos(x+0).

JI(nA(JI、JI

①若函数在x=不处取得最大值，则/rH=cos|—+^1=1,—+(i)=2k^,。=

JIJI(JIAJI

2A兀—丁当A=0时，(P=——,此时F(x)=cosx—0,将F(x)图象向左平移二■个单位

66\076

「，TlTl\

得到g(x)=C0S卜+至一~=COSx.所以B正确.

JI

②若函数在x=高处取得最小值，则

6

旧=cos/+0)=—1,

JI

—+0=24兀—n，

6

7,5

0=2A兀一/兀，当A=1时，0=2•兀，

66

,JI

0不存在.

函数/'(X)的最小正周期为2”,故D正确，故选BD.

12.已知函数/'(x)=sinxcosx-cos^x,下列命题正确的是(BC)

A.f(x)的最小正周期为2n

B.Hx)在区间(0,上为增函数

3JI

C.直线x=『是函数F(x)图象的一条对称轴

O

D.函数f(x)的图象可由函数g(x)=芈sin2x的图象向右平移g个单位长度得到

No

「ELLi/、11+cos2x\l2(c兀)1口小…，八兀、

［解析］f{x)=2sin2x-------2------=2sin^2jr—Tj-2?显然人错；入金(。，

时，2x——^\―",0I,函数_f(x)为增函数，故B正确；令2才一彳=5+"兀，kRZ,得

矛=1口+等，E,显然为=等是函数F(x)图象的一条对称轴，故C正确；g(x)=

oZo

乎・sin2x的图象向右平移］■个单位得到y=J^・sin［2(x—■^，］=坐55(2工一1)的图

象，故D错.故选BC.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)

13.计算sin330°+cos240°+tan180°=-1.

11

+O

----一-

［解析］原式=一sin30°—cos60°22

14.木雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统木雕精致细腻、气韵生

动、极富书卷气.如图是一扇环形木雕，可视为扇形。切截去同心扇形以8所得部分.已知

(24=0.6m,AD=\.4m,N4必=100°,则该扇环形木雕的面积为默JLm2.

O

100JiX0.6+1.42100JiX0.6291n

［解析］环形面积=5扇砌一S扇力加故答案

36036090°

.91

为丽”•

15.函数f(x)=sin(ox+。)(&>0,0G［0,2n))的部分图象如图所示,则f(2022)

—2,

7

/Ji\JIJI

由点(1,1)在函数图象上，可得F(l)=sin%+0)=1,故1+0=2左几十2(4£2),

JI

所以0=2A兀+彳(A《Z),

JI

又0G［0,2n),所以0=1，

(JinA

故F(x)=sinLy^+Yj-

/、(2022兀吟(T吟3兀A/2

所以f(2022)=sin［-+司=sin(505兀+~^-J=—sin^^=-2,

16.函数F(x)=cos(Gx+j~x£R,G>0)的最小正周期为兀，将p=F(x)的图象

，兀、JI

向左平移0〈句个单位长度，所得图象关于原点对称，则。的值为g.

［解析］F(x)的最小正周期为兀，.•・G=2,・・・/1(x)=cos(2x+?)将力»左移0个单

位(0<。<芸，得到g(x)=cos(2x+20+高的图象，由于图象关于原点对称，.・.2

J［k313TJT

=k^i+—,(«£2)解得0=f+三~(攵£2).当A=0时，^=—

/Zoo

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)(1)已知角。的终边经过点尸(4a,—3a)(aW0),求2sina+

cosa的值；

(2)已知角。终边上一点尸与x轴的距离与y轴的距离之比为34,求2sina+cosa

的值.

___—3d3

［解析］⑴+*=5|a|,.••当a>0时，r=5a,Asina=——cos

v5a5

4।2

a=7,.\2sina+cosa=——；

55

当水0时，r=—5a,

-3a34

sina=—-=~cosa=

-5a5f5

.*.2sina+cosa=—,

5

34

(2)当点尸在第一象限时，sinacosa=-,

55

3

2sina+cosa=2；当点P在第二象限时，sina=~,

5

42一3

cosa=2sina+cosa=-；当点夕在第三象限时，sina=cosa=—

555

41

7，2sina+cosa=~2；

5

342

当点夕在第四象限时，sina=-cosa=-,2sina+cosa=--

555

JI

18.(本小题满分12分)在①两个相邻对称中心的距离为了，②两条相邻对称轴的距离

JI_

为了，③两个相邻最高点的距离为口，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对

其求解.

问题：函数f(x)=cos(0x+0)［。>0,o<0〈5］的图象过点(0，且满足.

当—时，求sina的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第

一个解答计分.

［解析］选①②：由题意得：f(x)的最小正周期7=2xg=m,则结合

乙I691

1,JIJI

3>0,解得:3=2,因为图象过点0,5,所以cos0=5，因为0〈0〈丁，所以0=下,

\LJJ乙乙O

所以f(x)=cos(2x+"j,因为«1■)=-*,所以cos(。+1■)=一亭，因为ae

兀、兀，兀5兀

0,句，所以Tsina=

五、兀~|(JIAJI(兀、兀

1Ha+Tj-Tj=sinL°+yjcosg-cos(a+yjsiny

^21,V2V3V2+V6

=2乂/2*2=4

2兀

选③：由题意得：Hx)的最小正周期7="，则小亓二11，结合。>°，解得：。=2,

lJIJI

H,所以cos0=5，因为0〈0〈万，所以4>=在,所以『(X)=

2x+[),因为JI,因为aefo,1

cos，所以cos|a+—亚,所以a

2

JIJI5兀JI

+e,所以sina+2»sina=sin■一

Y3

sin(a+-^-jcos——cos|a+-Isin

32

3JI,

19.(本小题满分12分)已知cosa—sin，且兀＜求

sin2a+2sin2a

1—tana的值。

3^2日…18cri,

［解析］因为cos4一sina=-j!—,所以l—2sinacosa=—,所以2sin<7cosa

525

7

25'

又ae|m故sina+cosci=~\Jl+2sin<7cosa

4"

5

sin2Q+2sirj2a

所以一

1—tanQ

2sinacosa+2sin2acosa

cosa—sina

_2sincicosQcosa+sinQ

cosQ-sina

_25I528

=〜污

5

20.(本小题满分12分)已知/'(x)=/sin(0x+0)。〉0,。〉0,的图象过点

彳⑪，0),且图象上与点P最近的一个最低点是《一丁，一2).

(1)求/"(X)的解析式；

(2)若(a+，，=•!，且。为第三象限的角，求sina+cos。的值.

［解析］(1)根据题意可知，4=2,—I―d，=彳，

=兀，解得3=2.

G)

又石力=0,二.sin伍义2+。）=0,而［0|＜半

兀，兀、

（!＞=——./.=2sinl2JT——I.

（nA33

⑵由《。+司=§可得，2sin2a=-,

3

即Qrtsin2Q

16

・・・a为第三象限的角,

2L（本小题满分12分）某帆板集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度

P（米）随着时间寅0W方W24,单位：时）呈周期性变化，每天时刻力的浪高数据的平均值如

下表：

乂时）03691215182124

y（米）1.01.41.00.61.01.40.90.51.0

（1）作出这些数据的散点图；

（2）从y=at-\-b,y=/sin（g1+。）+6；y=4tan（公力+。）中选一个合适的函数模

型，并求出该模型的解析式；

（3）如果确定在一天内的7时到19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排

恰当的训练时间.

［解析］（1）散点图如图所示.

W米

⑵由⑴知选择y=Asin{cot+@）+方较合适.

令冷0,口＞0,|0|＜兀.

由图知，4=0.4,6=1,7=12,

把Z=0,尸=1代入p=0.4sin（it+。）