新教材讲与练高中数学4（A版选择性必修第一册）课时作业8

课时作业8用空间向量研究距离问题

时间：45分钟

基础过关

一、选择题

1.已知直线/过点4(1,一1,2),和/垂直的一个向量为〃=(-3,0,4),则P(3,5,0)到/的距离为(C)

A.5B.14

4

-

D.5

解析：VB4=(-2,-6,2),Mn=(-2,-6,2)•(—3,0,4)=14,|n|=5,・•.点P到直线/的距离为d=

~|M-Wn|=_1T4

2.已知正方体ABCD-A由IG£>I的棱长为a,则点Ai到对角线BG所在的直线的距离为(A)

B.a

C.yfla呜

解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A】(a,0,a),B(a,&0),Ci(0,a,a).：,AiB=(O,a,一a),

8ci=(一亿0,a).18Gl=®,

，点Ai到3G的距离

488c

3.若三棱锥P-A8C的三条侧棱两两垂直，且满足以=P8=PC=1,则点P到平面ABC的距离是(D)

亚

6

亚

AC.

6

解

机

如

图，分别以以，PB,PC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(],0,0),8(0/,0),C(0,0,l),

用=(1,0,0).

可以求得平面A8C的一个法向量为则

4.如图所示，在棱长为1的正方体A8CZXA18G。中，M,N分别是线段35，SG的中点，则直线

MN与平面AC£h间的距离是(D)

C.|D.坐

解析：如图，建立空间直角坐标系，则A(l,0,0),Di(O.O.l),《I,1,目，尾，1,1),C(0.1.0).

所以AG=(—1。1),

MN=[0,J).所以MN=%Oi,又直线ADi与MN不重合,

所以MN〃A。，又MNQ平面AC。，所以mV〃平面AC。.

因为A£h=(-l,0.I),D)C=(0,l,一I),

设平面ACQi的一个法向量〃=(.*y,z),

nAD\=0,J—x+z=0

则＜所以lj-z=o.

nD\C=0,

所以x=y=z,令x=l,则般=(1,1,1).

又因为AA/=|1,I,^]-(1,0.0)=(0,I,所以点M到平面ACO的距离d=AM"=苧.故直线MN

与平面ACU间的距离为#.

5.正方体A8CO-48iGG的核长为1,则异面直线41G与A%间的距离为(C)

A.1B.2

解析：如图，建立空间直角坐标系，则点A(l,0,0),Ai(l,0,1),Bi(l,1,1),Ci(0,l,l),

・・那%=(0,1,1),41G=(-1,1,0),A1A=(0,0,-l).设MN是直线AQ与ABi的公垂线,且4V=乂©=

(0,A,Z),AIM=〃A6=(­〃，4，0),则MN=—(一〃，〃，0)+(0,0,—1)+(0,z,2)=(〃，，一〃，2~1).由

MMAiG=0和MNABi=0得

[r+7-〃=o,.i=y

1=0,■,_i

.•・MN=e，I，-1],坐故选C.

6.在直三棱柱A8CA由iG中，底面边长与侧棱长均等于2,且E为CG的中点，则点G到平面ABiE

的距离为(D)

A.巾B.也

解析：如图所示，以A为坐标原点，AC,AAi的方向分别为x轴，z轴的正方向，y轴平面4ACG

建立空间直角坐标系,可知4(00,0),C(2,0,0),G(2,0,2),3(1,小,0),8(1,币,2).

VE为CG的中点,:.£(2,0J).

：,ABi=(\,小,2),AE=(2,0,l).

设平面A81E的法向量为〃=(x,y,z),

n-AB\=0,卜+8+2z=0,

由.得

；2x+z=0,

n-AE=0,

令.r=l,可得平面ABE的一个法向量为〃=(1,小,-2).

又EG=(0,0,l),

•*.点Cl到平面AB1E的距离d==坐.

7.（多选题）如图，在棱长为3的正方体43aM出CB中，P为对角线8。上靠近8点的三等分点,

则P到各顶点的距离的取值可以是（ABCD)

A.A/5B.册

C.3D.24

解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则43,0,0),5(33,0),C(0,3,0),D(0.0.0),4(3,0,3),3(333),

G(0,3,3),。1(0,0,3),所以8Oi=(—3,—3.3),

因为8尸=；3。=(一1,-1,1),所以AP=43+8P=(—1,2,-1),。尸=。8+(—1,-1,1)=(2,2,1).

所以|B4|=|Pq=|P3i|=y12+22+。=#,

|PD|=|MI|=|PCI|=V22+22+l2=3,|P8|=/，西委=2小.故P到各顶点的距离的不同

取值有#,3,小,2小.

8.已知正方体A8CD-A山CQi的棱长为2,点E是AS的中点，则点A到直线BE的距离是（B）

6^5B趣

A;

-5坨5

2由D在

C/

,5u-5

解析：建立如图所示的空间直角坐标系，

则8A=（2,0,0）,m=（1,0,2）.

设NA8£=8,则

“IBA8EI小

cos〜_=予

\BA\\BE\

:.sin0=71-cos2

'.A到直线BE的距离</=|AB|sin0=2x2^=^^.

二、填空题

9

9.为△ABC的两条直角边3C=3,AC=4,PC_L平面ABC,PC=§,则点P到斜边A3的距离是'

解析：以C为坐标原点，CA,CB,CP分别为x轴、y轴、2轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则

A（4,0。），8（0,3。），《0,0,3,所以AB=（-4,3.0）,AP=1—4,0,技AP在A3上的投影向量的模为空用

|AB|

=y,所以P到A8的距离

d=y温2-净716+果一等=3.

10.棱长为1的正方体A8CO-A/Cl。中，E,尸分别是BC,CO的中点，则点。到4G的距离为坐.

点D到平面上尸。出的距离为守

解析：建立如图所示的空间直角坐标系.

则。MOO),Ai(l,0,0),Ci(0.l,0),5001),Z?i(U,0),

m，1),成,i,i).

所以AD|=|4G|=|DG|=，i，即△OAG为等边三角形，所以点。到AC的距离为三角形的高＜2Xsin

60“=坐又。”=(0,1),“囱=(1,1,0),则可求得平面以力出的一个法向量为〃=(一1,1,一，.又回。

=(0,0,1),故

II.如图，正方体ABCDAiBGU中，N是棱AO的中点，M是棱CG上的点，且CG=3CM,则直

线8M与8网之间的距离为嚼.

解析：设正方体的棱长为1,如图，建立空间直角坐标系，

则8(1,1,0),fii(lJJ),

从0,1,；),40,0),

8"=(-1,0,目,

—1,-1).

设直线BM与B\N的公垂线方向上的向量n=(x,y,z),由nBM=0,nBN=0,得，

—y-z=0,

令尤=2,则z=6,y=—7,.*./!=(2,—7,6).

设直线BA/与BN之间的距离为d,

fi,u=»=66^9

」a川^8989-

三、解答题

12.在直三棱柱A8C-A山iG中，AB=AC=AA\=2,/3AC=90。，M为的中点，N为BC的中点.

(1)求点M到直线AG的距离：

(2)求点N到平面M41G的距离.

解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),Ai(0,0,2),例(2,0,1),4(022),直线AG的一个

单位方向向量为so=(。，哗,乎｝AM=(2,0,l),故点M到直线AG的距离

—\AM-sof=yl5—9=2--

(2)设平面MAiG的法向量为〃=(x,y,z),

〃AiG=O,2尸0,

2A—z=0,

〃AiM=O,

取.r=l,得z=2,故〃=(1,0,2)为平面MAG的一个法向量，因为M1[,。)，所以WN=(—1,1,一1),

故N到平面M4G的距离d="V=3=安平.

13.如图，点尸为矩形A8CO所在平面外一点，雨平面ABC。，E,产分别为线段所，PC的中点,

且A0=4,PA=AB=2,求点尸到平面A/7)的距离.

解：分别以A8,AD,AP为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则40,0,0),B(2,0,0),

。(240),0(040),P(0,0,2),.*.£(1,0,1),尸(1,2,1),AF=(1,2J),40=(040).

设平面A产。的法向量为〃=(x,y,z),点P到平面AFD的距离为d,由

_ADn=0,

卜+2y+z=0,

14y=0,

・•・取〃=(1,0,-1).VAP=(0A2),：.d=^^=yj2.

素养升级

14.四棱柱A8CZ)-AIiGQ中，4A_L平面A8CD,44]=3,底面是边长为4且/Z)A8=60。的菱形,

ACQBD=O,4CmBQi=Oi,E是ON的中点，则直线OE到平面。4C的距离为(C)

A.2

C，2D.3

解析：因为OOi_L平面A3CD,所以OO]_LOA,OOi_L03.又OA_LO'所以可建立如图所示的空间直

角坐标系.

因为底面A8CO是边长为4,ND4B=60。的菱形，所以。4=25，08=2.

则42由，0.0),8(020),C(-2小，0.0),01(0,0,3).

一一[2y—3z=0,

设平面018c的法向量为m=(x,y,z),则小_LO山，n)±OiC,所以j_2，5t_3~_0

若z=2,则,v=—小，y=3,所以m=(一小，3,2).

因为OE〃OiC,所以0£〃平面。山C,则直线OE到平面Q3C的距离，印为点E到该平面的距离.

设点E到平面OiBC的距离为d,

因为£是。湾的中点，所以£。|=卜版0,I],则d』£：“4所以点E到平面。山。的距离等

号

15.(多选题)已知正方体ABCD-4BCQI的梭长为1,点E,。分别是43,4G的中点，P在正方体

f3f12f

内部且满足AP=WAB+5AO+§AAI，则下列说法正确的是(BC)

A.点4到直线BE的距离是坐

B.点。到平面ABC,Dt的距离为当

C.平面48。与平面&CO,间的距离为由

D.点尸到直线48的距离为箔

解析：如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0.0),8(1,0,0),0(0,1,0),A|(O,O,D,Ci(l.l,l),Di(O.IJ),

所以3A=(—1。0),

8E=1一；,0,1].

设NA8£=。，则cos®」"吧=坐,sin0=yj1—cos2^=^^.itA到直线BE的距离Ji=|BA|-sin<9=

I8AIIBE1

1乂乎=乎，故人错.

易知CQ=；CiA]=«,一;，0),平面A8Gd的一个法向量04=(0,-1.1),则点。到平面A8GG

的距离/」必f故B对.

\DAA

A山=(1,0,—1),AiD=(0J,-1),AiDi=(0,l,0).

设平面A|8。的法向量为〃=(x,y,z),

“♦A/=0,fx—z=0,

则＜-所味-AO,

,n-AiD=0,

令z=1,得.v=1,x=1,所以〃=(1,1,1).

所以点D1到平面A1BD的距离

"l1"1一小一3一

因为平面48婷〃平面BCDi,所以平面AiBD与平面BiCDi间的距离等于点D\到平面A山。的距离，

所以平面AiBD与平面&CD1间的距离故C对.

312(’312'

因为4。=48+]4。+养41,所以4。=[不

4T3〉

"AP-ARq—攵D

又AB=(l,0,0),则一二-L=所以点P到A3的距离d=\APf-