总体集中趋势的估计高一下学期数学人教A版（2019）必修二

9.2.3总体集中趋势的估计人教版

必修第二册第九章

统计

在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势.(2)中位数：一组数据按大小依次排列后处在最中间位置的数(或最中间两个数据的平均数).

(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．(3)平均数：一组数据的算术平均数.

一组11个样本数据为:19,23,12,15,14,17,10,12,18,12,27排序后为:10,12,12,12,14,15,17,18,19,23,27众数为12下面我们通过具体实例进一步了解这些量的意义，探究它们之间的联系与区别，并根据样本的集中趋势估计总体的集中趋势.中位数为15平均数为16探究1：假设通过简单随机抽样，获得了100户居民用户的月均用水量如下表（单位：t）9.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.622.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6计算样本数据的平均数、中位数和众数，并据此估计全市居民用户月均用水量的平均数、中位数和众数。集中趋势

平均数中位数（第50位、第51位）

众数2.0和5.5由样本的数据我们可以估计出全市居民用水量的平均数是8.79、中位数是6.6、众数是2.0和5.5探究2样本的平均数、中位数和众数可以分别作为总体的平均数、中位数和众数的估计，但在某些情况下我们无法获知原始的样本数据．

如何由频率分布直方图估计样本的平均数、中位数和众数？

你能以图9.2-1中频率分布直方图提供的信息为例，给出估计方法吗?在频率分布直方图中，我们无法知道每个组内的数据是如何分布的.此时，通常假设它们在组内均匀分布.1.24.27.210.213.216.219.222.225.228.2月均用水量/t频率/组距一、平均数样本平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和.

8.79回顾：频率分布直方图中每个矩形面积的数学意义.频率1.24.27.210.213.216.219.222.225.228.2月均用水量/t频率/组距二、中位数

1.24.27.210.213.216.219.222.225.228.2月均用水量/t频率/组距三、众数

面积最大[针对训练]

一批乒乓球,随机抽取100个进行检查,球的直径频率分布直方图如图,试估计这个样本的众数、中位数和平均数(同一组中的数据用该组区间中点值作代表).【思考】小明用统计软件计算了100户居民用水量的平均数和中位数．但在录入数据时，不小心把一个数据7.7录成了77．请计算录入数据的平均数和中位数，并与真实的样本平均数和中位数作比较,哪个量的值变化更大?你能解释其中的原因吗?平均数中位数众数7.76.66.62.2和5.5779.4836.62.2和5.5小结平均数、中位数、众数各自的含义、特点及优缺点：平均数中位数众数在频率分布直方图中的含义特点优点缺点每个小矩形面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和与每一个数据有关，任何一个数的改变都会引起它的改变把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标只利用了样本数据中间位置的一个或两个值，并未利用其他数据最高矩形底边中点的横坐标只利用了出现次数最多的那个值的信息受极端数据的影响较大.代表了样本数据更多的信息.只能表达样本数据中的少量信息.容易计算，不受少数几个极端值的影响.平均数和中位数单峰右边“拖尾”左边“拖尾”平均数、中位数的大小与数据分布形态平均数和中位数都描述了数据的集中趋势,它们的大小关系和数据分布的形态有关(如下图），平均数和中位数的大小存在什么关系？(1)直方图形状对称：平均数和中位数应该大体上差不多；(2)直方图右边“拖尾”：平均数大于中位数；(3)直方图左边“拖尾”：平均数小于中位数.与中位数相比，平均数总在直方图的“长尾巴”那边例某学校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格.根据统计，高一年级女生需要不同规格校服的频数如下表所示：校服规格155160165170175合计频数39641679026386如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在中位数、平均数和众数中，哪个量比较合适？试讨论上表数据估计全国高一年级女生校服规格的合理性.解：为了更直观地观察数据的特征，我们用条形图来表示表中的数据.

通过观察条形图可以发现，选择校服规格为“165”的女生频数最高，所以用众数165作为该校高一年级女生校服的规格比较合适.由于全国各地的高一年级女生的身高存在一定的差异，所以用一个学校的数据估计全国高一年级女生的校服规格不合理.数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)：平均数、中位数分类型数据（如校服规格、性别、产品质量等级等）：众数总体的各种数字特征都可以由两种途径来