2025届河南省郑州市四校高一下数学期末质量检测模拟试题含解析

2025届河南省郑州市四校高一下数学期末质量检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．关于x的不等式的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（）A． B． C． D．（4,5）2．已知中，，，，则BC边上的中线AM的长度为（）A． B． C． D．3．在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则的面积的最大值为()A． B． C． D．4．用数学归纳法证明的过程中，设，从递推到时，不等式左边为（）A． B．C． D．5．已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）A．（0，1） B． C． D．6．已知函数的图像如图所示，关于有以下5个结论:（1）；（2），；（3）将图像上所有点向右平移个单位得到的图形所对应的函数是偶函数；（4）对于任意实数x都有；（5）对于任意实数x都有；其中所有正确结论的编号是（）A．(1)(2)(3) B．(1)(2)(4)(5) C．(1)(2)(4) D．(1)(3)(4)(5)7．若平面平面，直线，直线，则关于直线、的位置关系的说法正确的是()A． B．、异面 C． D．、没有公共点8．棱长为2的正方体的内切球的体积为（）A． B． C． D．9．若则一定有（）A． B． C． D．10．如图，在正四棱锥中，，侧面积为，则它的体积为（）A．4 B．8 C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若存在实数，使不等式成立，则的取值范围是_______________.12．“”是“数列依次成等差数列”的______条件（填“充要”，“充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）.13．执行如图所示的程序框图，则输出结果_____.14．等差数列前项和为，已知，，则_____．15．已知，，且，则__________．16．设向量满足，，，．若，则的最大值是________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在平面四边形中，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求.18．已知都是第二象限的角，求的值。19．已知.（Ⅰ）化简；（Ⅱ）已知，求的值．20．在数列中，，.（1）分别计算，，的值；（2）由（1）猜想出数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.21．三角比内容丰富，公式很多，若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘.请你完成以下问题：（1）计算：,,；（2）根据（1）的计算结果，请你猜出一个一般的结论用数学式子加以表达，并证明你的结论，写出推理过程.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

不等式等价转化为，当时，得，当时，得，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出的取值范围。【详解】关于的不等式，不等式可变形为，当时，得，此时解集中的整数为2，3，4，则；当时，得，，此时解集中的整数为-2，-1，0，则故a的取值范围是，选：A。【点睛】本题难点在于分类讨论解含参的二次不等式，由于二次不等式对应的二次方程的根大小不确定，所以要对和1的大小进行分类讨论。其次在观察的范围的时候要注意范围的端点能否取到，防止选择错误的B选项。2、A【解析】

利用平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，求的长．【详解】延长至，使，连接、，如图所示；由题意知四边形是平行四边形，且满足，即，解得，所以边上的中线的长度为．故选：A．【点睛】本题考查平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和应用问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．3、A【解析】

由以及，结合二倍角的正切公式，可得，根据三角形的内角的范围可得，由余弦定理以及基本不等式可得，再根据面积公式可得答案.【详解】因为，且，所以，所以，则.由于为定值，由余弦定理得，即.根据基本不等式得，即，当且仅当时，等号成立.所以.故选：A【点睛】本题考查了二倍角的正切公式，考查了余弦定理，考查了基本不等式，考查了三角形的面积公式，属于中档题.4、C【解析】

比较与时不等式左边的项，即可得到结果【详解】因此不等式左边为，选C.【点睛】本题考查数学归纳法，考查基本分析判断能力，属基础题5、B【解析】

先求得直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），由0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b；②若点M在点O和点A之间，求得b；③若点M在点A的左侧，求得b＞1．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．【详解】由题意可得，三角形ABC的面积为1，由于直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），由直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，故0，故点M在射线OA上．设直线y＝ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．①若点M和点A重合，如图：则点N为线段BC的中点，故N（，），把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b．②若点M在点O和点A之间，如图：此时b，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，即，即，可得a0，求得b，故有b．③若点M在点A的左侧，则b，由点M的横坐标1，求得b＞a．设直线y＝ax+b和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为（，），此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即•（1﹣b）•|xN﹣xP|，即（1﹣b）•||，化简可得2（1﹣b）2＝|a2﹣1|．由于此时b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2．两边开方可得（1﹣b）1，∴1﹣b，化简可得b＞1，故有1b．综上可得b的取值范围应是，故选B．【点睛】本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考查了运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．6、B【解析】

由图象可观察出的最值和周期，从而求出，将图像上所有的点向右平移个单位得到的函数，可判断（3）的正误，利用，可判断(4)(5)的正误.【详解】由图可知：，所以，，所以，即因为，所以，所以，故(1)(2)正确将图像上所有的点向右平移个单位得到的函数为此函数是奇函数，故(3)错误因为所以关于直线对称，即有故(4)正确因为所以关于点对称，即有故(5)正确综上可知：正确的有(1)(2)(4)(5)故选：B【点睛】本题考查的是三角函数的图象及其性质，属于中档题.7、D【解析】

根据条件知：关于直线、的位置关系异面或者平行，故没有公共点.【详解】若平面平面，直线，直线，则关于直线、的位置关系是异面或者平行，所以、没有公共点.故答案选D【点睛】本题考查了直线，平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力.8、C【解析】

根据正方体的内切球的直径与正方体的棱长相等可得结果.【详解】因为棱长为2的正方体的内切球的直径与正方体的棱长相等，所以直径，内切球的体积为，故选：C.【点睛】本题主要考查正方体的内切球的体积，利用正方体的内切球的直径与正方体的棱长相等求出半径是解题的关键.9、D【解析】本题主要考查不等关系．已知,所以，所以，故．故选10、A【解析】

连交于，连，根据正四棱锥的定义可得平面，取中点，连，则由侧面积和底面边长，求出侧面等腰三角形的高，在中，求出，即可求解.【详解】连交于，连，取中点，连因为正四棱锥，则平面，，侧面积，在中，，.故选:A.【点睛】本题考查正四棱锥结构特征、体积和表面积，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、；【解析】

不等式转化为，由于存在，使不等式成立，因此只要求得的最小值即可．【详解】由题意存在，使得不等式成立，当时，，其最小值为，∴．故答案为．【点睛】本题考查不等式能成立问题，解题关键是把问题转化为求函数的最值．不等式能成立与不等式恒成立问题的转化区别：在定义域上，不等式恒成立，则，不等式能成立，则，不等式恒成立，则，不等式能成立，则．转化时要注意是求最大值还是求最小值．12、必要非充分【解析】

通过等差数列的下标公式，得到必要条件，通过举特例证明非充分条件，从而得到答案.【详解】因为数列依次成等差数列，所以根据等差数列下标公式，可得，当，时，满足，但不能得到数列依次成等差数列所以综上，“”是“数列依次成等差数列”的必要非充分条件.故答案为：必要非充分.【点睛】本题考查必要非充分条件的证明，等差数列通项的性质，属于简单题.13、1【解析】

弄清程序框图的算法功能是解题关键．由模拟执行程序，可知，本程序的算法功能是计算的值，依据数列求和方法——并项求和，即可求出．【详解】根据程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出，输出的为1．【点睛】本题主要考查了含有循环结构的程序框图的算法功能的理解以及数列求和的基本方法——并项求和法的应用．正确得到程序框图的算法功能，选择合适的求和方法是解题的关键．14、1【解析】

首先根据、即可求出和，从而求出。【详解】，①，②①②得，，即，∴，即，∴，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了解方程，以及等差数列的性质和前项和。其中等差数列的性质:若则比较常考，需理解掌握。15、【解析】

根据向量平行的坐标表示可求得；代入两角和差正切公式即可求得结果.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查两角和差正切公式的应用，涉及到向量平行的坐标表示，属于基础题.16、【解析】

令，计算出模的最大值即可，当与同向时的模最大．【详解】令，则，因为，所以当，，因此当与同向时的模最大，【点睛】本题主要考查了向量模的计算，以及二次函数在给定区间上的最值．整体换元的思想，属于较的难题，在解二次函数的问题时往往结合图像、开口、对称轴等进行分析．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）在中利用余弦定理即可求得结果；（Ⅱ）在中利用正弦定理构造方程即可求得结果.【详解】（Ⅰ）在中，由余弦定理可得：（Ⅱ），在中，由正弦定理可得：，即：解得：【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，考查公式的简单应用，属于基础题.18、；【解析】

根据所处象限可确定的符号，利用同角三角函数关系可求得的值；代入两角和差正弦和余弦公式可求得结果.【详解】都是第二象限的角，，【点睛】本题考查利用两角和差正弦和余弦公式求值的问题；关键是能够根据角所处的范围和同角三角函数关系求得三角函数值.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）-2。【解析】试题分析：（Ⅰ）5分（Ⅱ）10分考点：三角函数化简求值点评：三角函数化简主要考察的是诱导公式，如等，本题难度不大，需要学生熟记公式20、(1),；

(2),证明见解析【解析】

(1)分别令即可运算得出，，的值；(2)由(1)可猜想出,当时成立,再假设当时,成立,再利用推导出即可.【详解】(1)令有；

令有；

令有所以，，(2)由(1)可得,,,,故可猜想.证明：当时,成立；假设当时,成立,且即当时,,即,化简得,,即也满足,当时成立,故对于任意的,有,证毕.所以.【点睛】本题主要考查了数学归纳法的运用，其中步骤为：(1)证明当取第