2025届河北省景县中学高一下数学期末考试试题含解析

2025届河北省景县中学高一下数学期末考试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，则该人第五天走的路程为（）A．48里 B．24里 C．12里 D．6里2．以分别表示等差数列的前项和，若，则的值为A．7 B． C． D．3．中,在上,,是上的点,,则m的值（）A． B． C． D．4．从装有4个红球和3个白球的袋中任取2个球，那么下列事件中，是对立事件的是（）A．至少有1个白球；都是红球 B．至少有1个白球；至少有1个红球C．恰好有1个白球；恰好有2个白球 D．至少有1个白球；都是白球5．已知变量，之间的线性回归方程为，且变量，之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法中错误的是（）681012632A．变量，之间呈现负相关关系B．的值等于5C．变量，之间的相关系数D．由表格数据知，该回归直线必过点6．设，则()A． B．C． D．7．已知与的夹角为，，，则（）A． B． C． D．8．函数的定义域为R，数列是公差为的等差数列，若，，则（）A．恒为负数 B．恒为正数C．当时，恒为正数；当时，恒为负数 D．当时，恒为负数；当时，恒为正数9．甲、乙两名篮球运动员最近五场比赛的得分如茎叶图所示，则（）A．甲的中位数和平均数都比乙高B．甲的中位数和平均数都比乙低C．甲的中位数比乙的中位数高，但平均数比乙的平均数低D．甲的中位数比乙的中位数低，但平均数比乙的平均数高10．已知点在直线上，若存在满足该条件的使得不等式成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，若对任意，均有，则的最小值为______；12．数列中，，，，则的前2018项和为______.13．在中，，，为角，，所对的边，点为的重心，若，则的取值范围为______.14．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．现从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为．15．在中，已知，则____________.16．已知等边，为中点，若点是所在平面上一点，且满足，则__________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知等差数列的前项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)请确定是否是数列中的项?18．已知f（α）=，其中α≠kπ（k∈Z）．（1）化简f（α）；（2）若f（+β）=-，β是第四象限的角，求sin（2β+）的值．19．己知函数．（1）若，，求；（2）当为何值时，取得最大值，并求出最大值．20．在锐角中，角,,所对的边分别为，，.已知,.（1）求的值；（2）若,求的面积.21．如图，是菱形，对角线与的交点为，四边形为梯形，，．（1）若，求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）若，求直线与平面所成角的余弦值．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

根据等比数列前项和公式列方程，求得首项的值，进而求得的值.【详解】设第一天走，公比，所以，解得，所以.故选C.【点睛】本小题主要考查等比数列前项和的基本量计算，考查等比数列的通项公式，考查中国古典数学文化，属于基础题.2、B【解析】

根据等差数列前n项和的性质，当n为奇数时，，即可把转化为求解.【详解】因为数列是等差数列，所以，故,选B.【点睛】本题主要考查了等差数列前n项和的性质，属于中档题.3、A【解析】由题意得：则故选4、A【解析】

根据对立事件的定义判断．【详解】从装有4个红球和3个白球的袋内任取2个球，在A中，“至少有1个白球”与“都是红球”不能同时发生且必有一个事件会发生，是对立事件.在B中，“至少有1个白球”与“至少有1个红球”可以同时发生，不是互斥事件.在C中，“恰好有1个白球”与“恰好有2个白球”是互斥事件，但不是对立事件.在D中，“至少有1个白球”与“都是白球”不是互斥事件.故选：A.5、C【解析】分析：根据平均数的计算公式，求得样本中心为，代入回归直线的方程，即可求解，得到样本中心，再根据之间的变化趋势，可得其负相关关系，即可得到答案.详解：由题意，根据上表可知，即数据的样本中心为，把样本中心代入回归直线的方程，可得，解得，则，即数据的样本中心为，由上表中的数据可判定，变量之间随着的增大，值变小，所以呈现负相关关系，由于回归方程可知，回归系数，而不是，所以C是错误的，故选C.点睛：本题主要考查了数据的平均数的计算公式，回归直线方程的特点，以及相关关系的判定等基础知识的应用，其中熟记回归分析的基本知识点是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.6、A【解析】

先由诱导公式得到a＝cos2019°＝–cos39°，再根据39°∈（30°，45°）得到大致范围.【详解】a＝cos2019°＝cos（360°×5+180°+39°）＝–cos39°∵，∴可得：∈（，），＝.故选A．【点睛】这个题目考查了三角函数的诱导公式的应用，以及特殊角的三角函数值的应用，题目比较基础.7、A【解析】

将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义得出关于的二次方程，解出即可.【详解】将等式两边平方得，，即，整理得，，解得，故选：A.【点睛】本题考查平面向量模的计算，在计算向量模的时候，一般将向量模的等式两边平方，利用平面向量数量积的定义和运算律进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.8、A【解析】

由函数的解析式可得函数是奇函数，且为单调递增函数，分和两种情况讨论，分别利用函数的奇偶性和单调性，即可求解，得到结论．【详解】由题意，因为函数，根据幂函数和反正切函数的性质，可得函数在为单调递增函数，且满足，所以函数为奇函数，因为数列是公差为的等差数列，且，则①当时，由，可得，所以，所以，同理可得：，所以，②当时，由，则，所以综上可得，实数恒为负数．故选：A．【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，以及等差数列的性质的应用，其中解答中合理利用等差数列的性质和函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．9、B【解析】

分别计算出两组数据的中位数和平均数即可得出选项.【详解】根据题意：甲的平均数为：，中位数为29，乙的平均数为：，中位数为30，所以甲的中位数和平均数都比乙低.故选：B【点睛】此题考查根据茎叶图表示的数据分别辨析平均数和中位数的大小关系，分别计算求解即可得出答案.10、B【解析】

根据题干得到，存在满足该条件的使得不等式成立，即，再根据均值不等式得到最小值为9，再由二次不等式的解法得到结果.【详解】点在直线上,故得到，存在满足该条件的使得不等式成立，即故原题转化为故答案为：B【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据对任意，均有，分析得到，再根据正弦型函数的最值公式求解出的最小值.【详解】因为对任意，均有，所以，所以，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查正弦型函数的应用，难度一般.正弦型函数的最值一定是在对称轴的位置取到，因此正弦型函数取最大值与最小值时对应的自变量的差的绝对值最小为，此时最大值与最小值对应的对称轴相邻.12、2【解析】

直接利用递推关系式和数列的周期求出结果即可．【详解】数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an+2＝an+1﹣an，则：a2＝a2﹣a1＝1，a4＝a2﹣a2＝﹣1，a5＝a4﹣a2＝﹣2，a1＝a5﹣a4＝﹣1，a7＝a1﹣a5＝1，…所以：数列的周期为1．a1+a2+a2+a4+a5+a1＝0，数列{an}的前2018项和为：（a1+a2+a2+a4+a5+a1）+…+（a2011+a2012+a2012+a2014+a2015+a2011）+a2017+a2018，＝0+0+…+0+（a1+a2）＝2．故答案为：2【点睛】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的周期的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．13、【解析】

在中，延长交于，由重心的性质，找到、和的关系，在和中利用余弦定理分别表示出和，求出，再利用余弦定理表示出，利用基本不等式和的范围求解即可.【详解】画出，连接，并延长交于，因为是的重心，所以为中点，因为，所以，由重心的性质，，在中，由余弦定理得，，在中，由余弦定理得，因为，所以，又，所以，在中，由余弦定理和基本不等式，，又，所以，故.故答案为：【点睛】本题主要考查三角形重心的性质、余弦定理解三角形和基本不等式求最值，考查学生的分析转化能力，属于中档题.14、．【解析】试题分析：从中任取3个不同的数，有，，，，，，，，，共10种，其中只有为勾股数，故这3个数构成一组勾股数的概率为．考点：用列举法求随机事件的概率．15、84【解析】

根据余弦定理以及同角公式求得，再根据面积公式可得答案.【详解】由余弦定理可得，又，所以，所以.故答案为：84【点睛】本题考查了余弦定理，考查了同角公式，考查了三角形的面积公式，属于基础题.16、0【解析】

利用向量加、减法的几何意义可得，再利用向量数量积的定义即可求解.【详解】根据向量减法的几何意义可得：,即,所以.故答案为：0【点睛】本题考查了向量的加、减法的几何意义以及向量的数量积，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）是数列中的第项【解析】

(1)直接利用等差数列的公式计算得到通项公式.(2)将3998代入通项公式，是否有整数解.【详解】(1)设数列的公差为，由题意有，解得则数列的通项公式为，(2)假设是数列中的项，有，得，故是数列中的第项【点睛】本题考查了等差数列的公式，属于简单题.18、(1)(2)【解析】

（1）直接利用三角函数的诱导公式，化简运算，即可求解；（2）由，得，进一步求得，得到sin2与cos2，再由sin（2+）展开两角和的正弦求解．【详解】（1）由题意，可得=；（2）由f（+）==-，得sin．又β是第四象限的角，∴cos=．∴sin2，cos2．∴sin（2+）=sin2cos+cos2sin=．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，及诱导公式及两角差的正弦公式的应用，其中解答中熟记三家函数的恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19、（1）；（1），1.【解析】

（1）由题得，再求出x的值；（1）先化简得到，再利用三角函数的性质求函数的最大值及此时x的值.【详解】（1）令，则，因为，所以．（1），当，即时，的最大值为1．【点睛】本题主要考查解简单的三角方程，考查三角函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.20、（1）2；（2）3.【解析】

（1）利用正弦定理可得，消元后可得关于的三角方程，从该方程可得的值.（2）利用同角的三角函数的基本关系式结合（1）中的结果可得，再根据题设条件得到后再利用正弦定理可求的值，从而得到所求的面积.【详解】(1)在由正弦定理得，①，因为,所以，又因为，所以，整理得到，故.(2)在锐角中，因为，所以，将代入①得.在由正弦定理得，所以.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.另外，三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道两角及一边，用正弦定理.另外，如果知道两个角的三角函数值，则必定可以求第三角的三角函数值，此时涉及到的公式有同角的三角函数的基本关系式和两角和差的三角公式、倍角公式等.21、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】

（1）取的中点，连