高三数学二轮培优微专题36讲10.已知极值点极值个数求参数的通性通法

已知极值点（极值个数）求参数的通性通法一.基本原理题型1：已知极值点求参数的值.1.已知函数有极值点，求参数的值或范围,一般有两种状况：（1）由可以解出参数的值，这类题较为简洁，只需由求出参数的值，再代回去探讨的单调性，确认在处取得极值即可.（2）由不能解出参数的值，这类题一般须要对参数进行分类探讨，探讨函数的单调性，当的表达式较为困难时，可能须要用到二阶导数，甚至三阶导数.当我们知道函数的详细极值点是极大值还是微小值求参数时，也可以利用下面高观点方法，当然，这个方法仅供有爱好的同学了解，并非通法，它在解决一些问题时要便利一些.2.极值其次充分条件：若，且，则若，则在处取得极大值；若，则在处取得微小值.证明：将函数在处二阶泰勒绽开可得：由于在存在极值，故且对求导数可得由代入上式可知：明显，若，则时，时，故为的极大值点，证毕.注：此证明方法仅供须要弄清结论原理的读者运用，若不需，则可干脆记住结论内容就行.3.极值其次充分条件：若在处具有直到阶的连续导数，且，但，则：当为偶数时，为函数的极值，当为奇数时，不是函数的极值.题型2：已知极值个数求参数的范围这类问题的形式就是已知存在几个极值点，求参数的取值范围.这类问题实质是考察导函数的变号零点个数，留意：是“变号”零点.通常状况下，这类问题可通过求导后探讨导函数的零点个数来完成，首选分别参数的方法解决，若不行，再将导函数作为一个新的函数来探讨其零点个数.二．典例分析题型1.已知极值点求参数的值例1．若函数在处有极值10，则（

）A．6 B． C．或15 D．6或解析：，，又时有极值10，解得或，当时，，此时在处无极值，不符合题意经检验，时满意题意，，故选：B例2.（2024年乙卷第10题）1．设，若为函数的极大值点，则（）A． B． C． D．分析1：分类探讨若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.依题意，为函数的极大值点，当时，由，，画出的图象如下图所示：由图可知，，故.当时，由时，，画出的图象如下图所示：由图可知，，故.综上所述，成立.故选：D点评：依据传统的解法，此题应当先求一阶导数，再分析在处何时出现左负右正，引入分类探讨，而对于多数中等水平学生而言，分类探讨是他们痛处，所以我们有必要思索如何避开上述做法.分析2：其次充分条件依题，再次求导由于为极大值点，故，代入上式可得：，故选D.点评：二阶导方法明显更加具有好用性，不用分类探讨，步骤也很明确，考试必备的好帮手.小结：已知为函数的极大值或微小值，求参数问题.第一步：求二阶导数；其次步：若，则在处取得极大值；若，则在处取得微小值.例3.已知函数，其中.（1）若，求在处的切线方程；（2）若是的极大值，求a的取值范围.解析：（1）若，则，所以，故，又，所以在处的切线方程.（2）解法1：由题意，，，，所以，若，则，，所以不是的极值，不合题意；若，则，，所以是的极大值，满意题意；若，则，，所以是的微小值，不合题意；综上所述，a的取值范围是.解法2：由题意，，①当时，，所以在上单调递增，又，所以，，从而在上单调递减，在上单调递增，故是的微小值，不合题意；②当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，且，若，则，可知当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故是的微小值，不合题意；若，则，恒成立，从而在上单调递减，故无极值，不合题意；若，则，可知当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故是的极大值，满意题意；综上所述，a的取值范围是.题型2.已知极值点个数求参数的范围基本步骤：第1步求导，第2步令导函数为零后分别参数，第3步做出不含参数函数的图象后探讨合适出现满意题意的变号零点个数，即为参数范围.例4．已知函数有极值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．解析：，∵，∴当时，恒成立，时，恒成立，当时，有解，且在解的两侧的符号相反，即有极值．故选：A．例5．已知函数在其定义域内既有极大值也有微小值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．解析：因为，所以.因为函数在其定义域内既有极大值也有微小值，所以只需方程在有两个不相等实根.即，令，则.在递增，在递减.∴，故选D.例6．已知函数有且只有一个极值点，则实数构成的集合是（）A．且 B． C．或 D．解析：由题意，求得函数的导数，令，即.则．设，得．当时，得；当时，得或，所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增．因为函数有且只有一个极值点，所以直线与函数的图象有一个交点，所以或．当时恒成立，所以无极值，所以．故选D．例7．已知函数在区间上有且只有一个极值点，则实数的取值范围为___________.解析：由题意，函数，可得，因为函数在区间上有且只有一个极值点，所以在区间上有且只有一个实数根，即方程在区间上有且只有一个实数根，因为时方程的根，所以方程在区间上没有实数根，即方程在区间上没有实数根，等价于与的图象在上没有交点，又由，所以在上单调递增，所以，且当时，，所以，即实数的取值范围是.故答案为：三．习题演练1．已知函数在区间上有微小值无极大值，则实数的取值范围（）A． B． C． D．解析：∵函数，∴，∵函数在区间上有微小值无极大值，∴在区间上有1个实根，上有1个根．，解得．故选A．2．已知函数在处取微小值，且的极大值为4，则（

）A．-1 B．2 C．-3 D．4解析：，所以因为函数在处取微小值，所以，所以，，，令，得或，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，所以在处有极大值为，解得，所以.故选：B3．若函数在处取得极大值，则实数的取值范围是______．解析：，当时，，当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，此时只有微小值，没有极大值，当时，当或时，，当时，，在，上单调递增，在上单调递减，则在处取得极大值，当时，，当且仅当时取“=”,在R上单调递增，没有极值，当时，当或时，，当时，，在，上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，得，综上得，.故答案为：4．已知函数，若是函数在区间上的唯一极值点，则实数的取值范围是______．解析：函数，所以，只需满意在上恒无变号零点即可，由于递增，故只需恒成立即可，综上：，故答案为：.5.（2016山东卷）设，（1）令，求的单调区间；（2）已知在处取得极大值.求实数的取值范围.解法1：分类探讨(2)由(1)知，.若时，，单调递减.所以当时，，单调递减.当时，，单调递增.所以在处取得微小值，不合题意.②当时，，由(Ⅰ)知在内单调递增，可得当时，，，，所以在内单调递减，在内单调递增，所以在处取得微小值，不合题意。③当时，在内单调递增，在内单调递减，所以当时，，从而单调递减，不合题意。④当时，，从而当时