（市级）人教八上《13.4-课题学习-最短路径问题》教学设计（姚娇娇-三门峡实验中学）

人教版八年级数学上册第十三章《轴对称》13.4课题学习最短路径问题（第1课时）授课教师：三门峡市实验中学姚娇娇辅导教师：三门峡市教育局教学研究室杨丽一、内容和内容解析1．内容利用轴对称研究某些最短路径问题.2．内容解析最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等几何变换进行研究.中考题中，最短路径问题常与三角形、正方形、菱形、矩形、抛物线、圆等结合考察，综合性较强.本节课以生活实例为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力和逻辑推理能力.二、目标和目标解析1.教学目标(1)能利用对称解决简单的路径最短问题,体会轴对称在解决最值问题中的作用.(2)通过对最短路径问题的探究活动,培养学生探究问题、分析问题和解决问题的能力.(3)培养学生严谨的推理能力以及自主合作的精神，感受数学与现实生活的密切联系.2.教学目标解析达成目标的标志是：学生能把实际问题抽象为数学问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想；在课外活动、课内交流的过程中，用数学语言准确表述自己的观点，倾听别人的想法，进而吸取别人的长处．三、学生学情分析1、八年级学生的观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理和归纳的思想比较薄弱.此年龄段的学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体验中获取一定的数学知识，要注意不同学生自主探究和合作学习能力参差不齐，需要在课外活动和课堂教学中进一步引导.2、学生已经学习过“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”，轴对称和垂直平分线的性质也可作为本节课的知识基础.本节课的教学难点是：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题．四、教学策略分析最短路径问题从本质上说是最值问题，八年级的学生在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手.针对这点，班里成立了数学课题学习小组，借助课本、微课、文献、几何画板、网络等工具提前进行将军饮马问题的合作学习，完成学习报告，并在课堂上进行汇报展示.在解决问题时，学生通过测量，发现利用轴对称将同侧两点转化为异侧两点求得的线段和比较短；进而利用几何画板通过动画演示，实验验证了结论的一般性；最后通过逻辑推理证明.帮助学生积累数学活动经验，引导学生积极动口、动手、动脑，体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学和生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.教学过程设计1．创设情境，引出课题师:请课代表帮老师拿一只红笔到讲台.生:学生充满疑惑，课代表拿红笔走向讲台.师:为什么他选择径直走过来而不是从教室后面绕过来?生:恍然大悟，明白教师用意，并回答“两点之间线段最短”.师:刚刚课代表所做的一系列动作，我们发现，他在潜意识里已经判断出了最短路径,最短路径与我们的生活息息相关，这就是今天我们要探讨的最短路径问题.【设计意图】利用生活场景引入，快速吸引学生注意力，为新课做准备.2.建立模型：将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型你能将这个问题抽象为数学问题吗？师生活动：学生已分组进行课外活动并完成了课题学习报告，小组代表展示建模过程，并相互补充，最后达成共识:（1）将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线；（2）在直线l上找到一点C，使AC+BC最小？【设计意图】数学抽象是最重要的数学核心素养之一.该问题需要完成两次的数学抽象.第一次数学抽象:学生需要根据自己学习或生活经验，将A、B两个位置抽象为两个点，再将河流l抽象为一条直线.第二次数学抽象是:学生需要将“牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短?”即最短路径问题抽象为“两条线段和的最小值问题”.学生通过抽象将实际问题转化为数学问题，提高建模意识．小组汇报提高语言表达能力.3．猜想验证：该模型有解吗？问题：如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找到一点C，使AC与BC的和最小？师生活动：选派小组汇报展示，其他学生补充或质疑，教师适时点拨.预设学生会通过实际测量得出初步结论，再通过几何画板演示确定最小值的存在性，甚至猜出点C的位置.【设计意图】提高学生合情推理的意识和能力.4．求解模型：你是怎么想到做对称点的？师生活动：选派小组汇报展示，其他学生补充或质疑，教师适时点拨.预设学生会通过几何画板看出可以通过做轴对称得出饮马点，或者借助先前经验把同侧点转化为异侧.利用轴对称将同侧线段和最短转化为异侧线段和最短问题.借助轴对称，把折线转化为线段的长来求解.说明：还可以利用物理中的平面镜成像想到做对称点.【设计意图】让学生体会轴对称的作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验.教师追问：老师发现在大家的学习报告中，有的小组作的是点A关于直线l的对称点，还有的小组作的是点B的对称点，那么这两种方法得到的点C位置是相同的吗?教师做说明，可一题多解，感兴趣的同学课后思考并与老师探讨.另附方法简要说明：方法一几何画板验证方法二已知：点A、B关于直线l的对称点分别为点A′、B′，连接A′B，与直线l相交于点C，连接AC和CB．求证：点A、C、B′共线.方法三已知：点A关于直线l的对称点为点A′，连接A′B，与直线l相交于点C，延长AC至点B′使得CB′=CB，连接BB′．求证：点B与B′关于直线对称.方法四：利用相似三角形对应线段成比例证明（相似三角形知识）.方法五：建立适当的坐标系，用代数知识求解两直线交点进而证明（一次函数知识）.【设计意图】教师通过问题引发学生积极思考，激发其内在动机和探究欲望，促进深度学习.5．逻辑证明：如何证明AC+BC最小？问题：你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？师生活动：选派小组汇报展示，其他学生补充或质疑，教师适时点拨.最后达成共识：若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，∴AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．【设计意图】让学生体会做法的正确性，提高逻辑思维能力和演绎推理能力．追问：回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？先将实际问题转化为数学问题，通过测量和几何画板做实验，发现问题的解——作其中一个点关于直线l的对称点，连接对称点和另一点，这条线段与直线的交点就是满足最短距离的点的位置，接下来我们证明了上述解确实是最优解.【设计意图】提高学生运用数学知识解决实际问题的意识，培养及时总结基本过程和基本方法的好习惯.让学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验，增强自信心．6.学以致用巩固新知问题：生活中还有哪些最短路径问题呢？教师：物理学中费马（P.Fermat,1601--1665）提出的光行最速原理中，光的反射定律也反映了最短路径问题.播放物理学科视频.师生活动：选派小组汇报展示.【设计意图】体会数学知识之间、数学与其他学科之间（跨学科）、数学和生活之间的联系，促进学科融合.问题：如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）可追问，如果供水管道可以共用，你能设计更节省材料的方案吗？【设计意图】本题难度适中，可以复习本节课知识和方法，又为课外延伸做好铺垫.小小设计师：如图，0A为草场,OB为小河,点P为马棚,请根据所给情境设计一个与最短路径有关的数学问题.师生活动:学生分析解题思路后小组讨论，完成画图，教师适时点拨.【设计意图】让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法，自主设计，提高兴趣，提高创造能力．拓展思维能力提升（2020·宜宾）如图，四边形ABCD中，DA⊥AB，CB⊥AB，AD＝3，AB＝5，BC＝2，P是边AB上的动点，则PC+PD的最小值是______．（2020·毕节）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，点P是对角线BD上的动点，则AP＋PE的最小值是_________．【设计意图】借助中考题的复杂图形，拓展学生思维，提升学生能力.8.课堂小结归纳感悟问题：通过本次课题学习，你有哪些感悟，仍存在什么困惑吗？师生活动：教师引导，学生小结.【设计意图】在反思中成长.引导学生把握研究问题的基本策略和方法，体会轴对称在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值，在课题学习中提升合作交流的能力.六、课堂教学目标检测1.如图所示：A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后返回帐篷，请你帮他确定这一天的最短路径.——桑梓轩小组【设计意图】学以致用，并且有提高和挑战，作两次轴对称.在解决最短路径问题时，通常利用轴对称将同侧转化为异侧问题，化折线为直线，从而作出最短路径的选择.2.完成数学综合实践活动评价报告.数学综合实践活动评价报告活动名称活动时间活动参与者本人小组其他成员评价内容自我评价小组评价优秀良好需努力优秀良好需努力能把自己的想法与他人分享能认真倾听他人的想法意见积极参加每一个环节在活动过程中，你碰到了什么样的困难？你是如何克服的？你参加本次活动，最大的收获和感受是什么？在活动过程中，你是怎样与同学交流的？发表了哪些意见？你对自己在这次活动