七年级数学数形思想之平行线及其判定常考点训练

数形思想之平行线及其判定常考点专题练习

一、单选题

1.（2021.福建宁德.七年级期末）如图，由两个完全相同的三角板拼成一个四边形，则下列条件能直接判

断AD//3C的是（）

A.ZADB=ZCBDB.ZABD=NCDB

C.ZBAD=ZDCBD.ZBAD+ZCDA=18Q°

【标准答案】A

【思路指引】

根据平行线的判定对每一项分别进行分析即可得出答案.

【详解详析】

解：-.ZADB=ZCBD,:.AD//BC,故本选项正确，符合题意；

Bs-.ZABD=ZCDB,:.AB//CD,故本选项错误，不符合题意；

C、由ZS4D=ZDCB,无法得到AD/ZBC,故本选项错误，不符合题意；

D,■.-ABAD+Z.CDA=IW,:.AB//CD,故本选项错误，不符合题意；

故选A.

【名师指路】

本题主要考查直线平行的判定方法，解决本题的关键是要熟练掌握平行线的判定.

2.（2021.安徽和县.七年级期末）如图，下列条件：①N1=N2,②N3+N4=180。，③N5+N6=180。,

©Z7+Z4-Zl=180°,⑤/7=N2+/3,⑥N2=N3中能判断直线。〃人的有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

【标准答案】C

【思路指引】

同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.依据平行线的判定方

法即可得出结论.

【详解详析】

解：①根据内错角相等，两直线平行，可知由N1=N2,可得a//b;

②根据旁内角互补，两直线平行，可知由N3+N4=180。，可得a//b;

③由N5+N6=180。，Z3+Z6=180°,可得N5=N3,即可得到a//b;

④由N7+N4-Nl=180。，Z7=Z1+Z3,可得N3+/4=180。，即可得到a〃6;

⑤由/7=/2+N3,N7=/l+/3可得/1=/2,即可得到a//b;

⑥由N2=/3,不能得到a〃匕；

故能判断直线的有5个.

故选：C.

【名师指路】

本题考查了行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键.平行线的判定方法：

①两同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行.

3.（2021.四川岳池.七年级期中）如图，C为ZAOB的边OA上一点，过点C作0/03交NAOB的平分

线0E于点％作SLOB交B0的延长线于点”，若NEFD=a,现有以下结论：①NCOF=a；②

ZAOW=180°-2«;③CH工CD;@ZOCH=2a-90°.结论正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【标准答案】D

【思路指引】

根据平行线的性质可得ZEOS=4郎=夕，结合角平分线的定义可判断①；再由平角的定义可判断②；由

平行线的性质可判断③；由余角及补角的定义可判断④.

【详解详析】

解：-.-CD//OB,ZEFD=a,

Z.EOB=Z.EFD=a,

平分ZAOB,

:.ACOF=ZEOB=a,故①正确；

ZAOB=la,

■.■ZAOB+ZAOH=180°,

:.ZAOH=180°-2a,故②正确；

■：CD//OB,CHLOB,

:.CHLCD,故③正确；

:.ZHCO+ZHOC=90°,ZAOB+ZHOC=ISO°,

:.ZOCH=2a-90°,故④正确.

正确为①②③④，

故选:D.

【名师指路】

本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键.

4.（2021・湖南龙山•七年级期末）①a,b,c是直线，若a〃6,b//c,则。〃c;②a,6,c是直线，若a

Lb,b±c,则③如果/1=/2,Z2=Z3,那么/1=/3;④互为邻补角的两个角相等.以上四

个结论中正确的是（）

A.①②B.②③C.③④D.①③

【标准答案】D

【思路指引】

根据平行公理及推论，平行线的判定，邻补角的定义逐个判断即可.

【详解详析】

解：b,c是直线，a//b,b//c,

：.a//c,故①正确；

当a、b、c在同一平面内时，如下图：

a

b

若a_L6,b±c,则。〃c;故②错误；

VZ1=Z2,Z2=Z3,

.*.Z1=Z3,故③正确；

如果N1和N2互为邻补角，当Nl=30。，N2=150。也符合,

即互为邻补角的两个角不一定相等，故④错误；

即正确的是①③，

故选：D.

【名师指路】

本题考查了平行公理及推论，平行线的判定，垂直的定义，邻补角定义等知识点，能熟记平行公理及推论、

平行线的判定、垂直的定义、邻补角定义是解此题的关键.

5.（2021.云南红塔.七年级期末）如图，点A,星E在同一条直线上，不能判定AO//BC的条件是（）

A.ZA=ZCBEB.ZC+ZD=180°

C.ZC=ZCBED.ZA+ZABC=180°

【标准答案】C

【思路指引】

根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平

行分别进行分析即可.

【详解详析】

解：A、可利用同位角相等，两直线平行判定AD//BC,故此选项不符合题意；

B、NC+NO=180。可利用同旁内角互补，两直线平行判定AD//BC,故此选项不符合题意；

C、可利用内错角相等，两直线平行判定CD//不能判定AD//BC,故此选项符合题意；

D、/A+/ABC=180。可利用同旁内角互补，两直线平行判定AD〃BC,故此选项不符合题意；

故选：C.

【名师指路】

此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理.

6.（2021•河南召陵•七年级期中）下列命题是真命题的有（）

①同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③短的平方根是；④已知点A（私小与点

,m、〃均不为0,则直线平行于x轴；⑤已知点A（2,-3）,轴，且43=5,则点8的

坐标为（2,2）;⑥直线a外一点A与直线a上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是8cm,则点A到直

线。的距离是8cm.A.1个B.2个C.3个D.4个

【标准答案】B

【思路指引】

根据平行线的性质、平行公理、平方根的定义、坐标与图形，垂线段最短，分别对每个选项进行判断，即

可得到答案.

【详解详析】

解：两直线平行，同位角相等；则①错误；

过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；则②错误；

夙的平方根是±3；则③错误；

已知点A（%"）与点3（-办"），m、w均不为0,则直线AB平行于％轴；则④正确；

已知点4（2,—3）,轴，且AB=5,则点3的坐标为（2,2）或（2,-8）；则⑤错误;

直线。外一点A与直线。上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是8cm,则点A到直线。的距离是

8cm.则⑥正确;

•••真命题有④⑥，共两个；

故选：B.

【名师指路】

本题考查了平行线的性质、平行公理、平方根的定义、坐标与图形，垂线段最短等知识，解题的关键是熟

记所学的知识，正确的进行判断.

7.（2021.山东莱阳.七年级期中）如图，下列说法错误的是（）

4

15

A.VZ1=Z2,?.IJIk

B.VZ2+Z5=18O°,：.IJL

C."/Z1=Z3,a/

D.VZ1=Z4)

【标准答案】C

【思路指引】

根据三线八角以及平行线的判定定理对选项分别进行判断即可.

【详解详析】

解：A:「Nl和N2是直线〃与。被直线心所截形成的内错角，由内错角相等，两直线平行，得出/3〃"；

B:和/5是直线人与〃被直线加所截形成的同旁内角，且/2+/5=180。，由同旁内角互补，两直

线平行，得出13//U-,

C：/I和N3不符合“三线八角”不能构成平行的条件，所以选项C错误；

D:•••/：!和N4是直线乙与/2被直线3所截形成的内错角，由内错角相等，两直线平行，得出//〃以

【名师指路】

本题考查了三线八角以及平行线的判定定理，正确识另IJ“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确

答题的关键.

8.（2021.安徽马鞍山.七年级期末）如图，若OE〃AC,则下列结论中正确的是（）

A.ZEDC=ZEFCB.ZAFE^ZACD

C.N3=N4D.Z1=Z2

【标准答案】C

【思路指引】

可以从直线DE、AC的截线所组成的“三线八角”图形入手进行判断.

【详解详析】

A./EDC=NEFC不是两直线被第三条直线所截得到的，因而不能判定两直线平行，故本选项不符合题意;

B.ZAFE=ZACD,是EF和BC被AC所截得到的同位角可以判定E尸〃BC,但不能判定。E〃AC,故本

选项不符合题意；

C.N3=N4这两个角是AC与OE被EC所截得到的内错角，可以判定OE〃AC,符合题意；

D./l=/2是斯和2c被EC所截得到的同位角和内错角，可以判定EF〃BC,但不能判定DE〃AC,故

本选项不符合题意；

故选：C.

【名师指路】

正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就

误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行.

9.（2021•山东莱西•七年级期末）如图，尸，。分别是8C,AC上的点，过点尸作尸于点R,作尸S,AC

于点S,若入。=丹2,PR=PS,则下面三个结论：①AS=A7?；②QP//AR;③ABRP*CSP,正确的

是（）

A.①③B.②③

C.①②D.①②③

【标准答案】C

【思路指引】

根据角平分线的判定，先证"是㈤c的平分线，再证=可证得AS=4?,QP〃山?成立.

【详解详析】

解：如图示，连接AP,

­.PR=PS,

尸是ZBAC的平分线，

:.MPR=MPS（HL）

AS=AR,①正确.

■：AQ=PQ

ZBAP=ZQAP=ZQPA

：.QP//AR,②正确.

BC只是过点P,并没有固定，明显AB/廿三ACSP③不成立.

故选：C.

【名师指路】

本题主要考查三角形全等的判定方法，以及角平分线的判定和平行线的判定,熟悉相关性质是解题的关键.

10.（2021.福建漳平.七年级期中）下列命题中，真命题的个数是（）

①同位角相等；②a,b,c是三条直线，若2_11?,b_Lc,则a_Lc;③a,b,c是三条直线，若2〃1?,b〃c,

则2〃。④过一点有且只有一条直线与已知直线平行.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【标准答案】A

【详解详析】

解：两直线平行，同位角相等，故①是假命题；

在同一平面内，a,b,c是三条直线，若2_1'b±c,则2〃<:,故②是假命题；

a,b,c是三条直线，若2〃优b//c,则2〃<:,故③是真命题；

在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④是假命题.

故选A.

二、填空题

11.（2021.广东广宁.七年级期末）如图，若满足条件，则有AB//CD.（要求：不再添加辅助

线，只需填一个答案即可）

【标准答案】/A=/3（答案不唯一）

【思路指引】

根据同位角相等，两直线平行可知NA=/3时，AB//CD;也可根据内错角相等，两直线平行添加条件N

A=Z1；也可根据同旁内角互补，两直线平行添加条件/A+/4=180。.

【详解详析】

ZA=Z3,

.•.AB//CD（同位角相等，两直线平行）.

故答案为/A=/3（答案不唯一）.

【名师指路】

此题考查平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键.

12.（2021.黑龙江佳木斯.七年级期中）如图所示，用直尺和三角尺作直线A3,CD,从图中可知，直线

与直线CD的位置关系为.

C_.\ED

AB

'F

【标准答案】平行

【思路指引】

先观察直线AB与直线8的特点，可以得出这两条直线平行，用平行的判定即可证明.

【详解详析】

解:设点O如下图所示，即下方三角尺的锐角与直尺的交点

D

:直尺和三角尺作直线AB,CD,

.\ZDEF=ZBOF,

.•.AB〃CD（同位角相等，两直线平行），

故答案为平行.

【名师指路】

本题主要考查了两平行线的判定：

同位角相等，两直线平行；

内错角相等，两直线平行；

同旁内角互补，两直线平行.

13.（2021.黑龙江海伦.七年级期末）如图，请你添加二个条件使得AO〃BC,所添的条件是

【标准答案】或

【详解详析】

当NEAD=NB时，根据“同位角相等，两直线平行”可得AD//BC;

当NDAC=/C时，根据“内错角相等，两直线平行”可得AD//BC;

当/DAB+/B=180。时，根据“同旁内角互补，两直线平行”可得AD//BC,

故答案是：/EAD=/B或/DAC=/C或/DAB+/B=180。（答案不唯一）.

14.（2021.山东庆云.七年级期末）如图，AB〃CD,EM是NAMF的平分线，NF是NCNE的平分线，EN,

心交于点。.若/£+60。=2//，则/AMP的大小是—.

D

【标准答案】400

【思路指引】

作EH//AB,则N1=ZAA1E,Z2=ACNE,而ZAME=；/AMF,所以/MEN=；/AMF+NCNE,同

理可得NF=/AMF+g/CNE,变形得到2NF=2ZAMF+NCNE,利用等式的性质得

33

2ZF-ZE=-ZAMF,加上已给条件4^+60。=2//，于是得到/NAMF=60。，易得NAMF的度数.

【详解详析】

解：作如图，

•.ABIICD,

\EH//CD,

:.ZL=ZAME,Z2=ZCNE,

•「EM是ZAMF的平分线，

:.ZAME=-ZAMF,

2

vZA/EV=Zl+Z2,

/MEN=-ZAMF+ACNE,

2

同理可得，

NF=ZAMF+-ZCNE,

2

/.2ZF=2ZAMF+/CNE,

3

/.2ZF-/MEN=-ZAMF,

2

vZMEV+60°=2ZF,2ZF-ZMEN=60°7

3

-ZAMF=60°,

2

:.ZAMF=40°,

故答案为：40°.

【名师指路】

本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角

互补，合理作辅助线和把一般结论推广是解决问题的关键.

15.（2021.山东牡丹.七年级期末）如图，EF//AD,N1=N2,/班C=70。，则ZAGD的度数为

【标准答案】110°

【思路指引】

根据平行线的性质与判定即可求出答案.

【详解详析】

解：-JEF/ZAD,

.*.Z2=Z3,

VZ1=Z2,

.*.Z1=Z3

J.DG//AB,

：.ZBAC+ZAGD=180°,

ZAGD=110°

故答案为：110°.

【名师指路】

本题考查平行线的性质，解题的关键是灵活运用平行线的性质与判定，本题属于基础题型.

16.（2021・四川青羊七年级期末）如图B尸平分NABC,反向延长射线与NEOC的平分线

DG相交于点尸，若/BPD=44。,则/C=—.

【标准答案】920

【思路指引】

延长A3交PD与点过点。作CN//A8,根据角平分线可设NA3/=/4。=冗，ZCDP=ZEDP=y,

根据平行线的性质可得NAMD=N£DP=y,再根据三角形的外角性质可得y—x=44。，根据平行线的性质

可得NNCD=180。-2y,ZNCB=2x,最后根据N8CD=NNC0+NNC8即可求得答案.

【详解详析】

解：如图，延长A3交尸。与点M,过点。作CN//A3,

・.,5尸平分NA3C,DG平分/EDC,

：.^ZABF=ZFBC=x,ZCDP=ZEDP=y,

：.ZMBP=ZABF=x,

■:ABIIDE,

：.ZAMD=ZEDP=y,

VZAMD=ZBPD+ZMBP,ZBPD=44°,

・・・y=440+x,

Ay-x=44°,

♦：AB〃DE,CN//AB,

：.CN//DE,

：.ZCDE+ZNCD=180°,

・•・ZNCD=180°-ZCDE=180°—2y,

VCN//AB,

・・・ZNCB=ZABC=2x,

：.ZBCD=ZNCD+NNCB

180°-2y+2x

180°-2(y-x)

=180°-2x440

=92°,

故答案为：92°.

【名师指路】

本题考查了平行线的性质及平行公理的推理，三角形的外角性质，角平分线的定义，正确作出辅助线并熟

练掌握平行线的性质是解决本题的关键.

17.（2021.湖南永定.七年级期末）把下面的推理过程补充完整，并在括号内填上理由.

已知：B,C,E三点在一条直线上，Z3=ZE,Z4+Z2=180°.试说明：ZBCF=ZE+ZF.

解：（已知）

：.EF//（）,

VZ4+Z2=180°（已知），

:.CDn,

：.CDH（）,

Zl=ZF,Z2=,

VZBCF=Z1+Z2（已知）

：.ZBCF=ZE+ZF（等量代换）.

【标准答案】AB-内错角相等，两直线平行；AB-EF-平行于同一条直线的两条直线互相平行；/E

【思路指引】

根据推理过程依次填空即可.

【详解详析】

（已知），

内错角相等，两直线平行）,

/4+/2=180。（已知），

C.CD//AB,

（平行于同一条直线的两条直线互相平行）,

.-.Z1=ZF,Z2=ZE,

•../BCF=/1+N2（已知），

ZBCF=/E+/P（等量代换）.

【名师指路】

本题考查了平行线的性质与判定.熟练掌握相关性质定理是解题关键.

18.（2021•福建・厦门市第H"一中学七年级期中）如图，所示已知。E〃BC,NABC=100。，点b在射线54

上，且N£2M=n8。，则NDFB的度数为.

A

【标准答案】18。或142。

【思路指引】

分两种情况讨论，画出图形，分别依据平行线的性质，即可得到/DEB的度数.

【详解详析】

解：分两种情况：

①如图，延长ED交AB于G,

-,-DE//BC,

.-.ZFGD=ZB=100°,

又♦.•NED尸=118。，

:.ZDFB=ZEDF-ZFGD=118°-100°=18°；

②如图，过尸作RS〃3C,

A

DE

F\G

BC

■.■DE//BC,

:.FG//DE,

:.ZD+ZDFG=1SO°,ZB+ZBFG=180°,

X-.-ZABC=100°,NED产=118°,

ZBFG=80°,ZDFG=62°,

ZDFB=ZDFG+ZBFG=142°,

故答案为：18。或142。.

【名师指路】

本题主要考查了平行线的性质、平行公理的推理以及三角形的外角性质，解题时注意：两直线平行，同位

角相等；两直线平行，同旁内角互补，熟练运用平行线的性质是解决本题的关键.

19.（2021.辽宁建昌七年级期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点&D重合，若固定三角形

AOB,改变三角板ACO的位置（其中A点位置始终不变），下列条件①NBAO=30。；②NB4D=60。；③

ZBAZ）=120°;④/84。=150。中，能得到的CZ）〃A2的有.（填序号）

【标准答案】①④

【思路指引】

分两种情况，根据利用平行线的性质，即可得到/瓦⑦的度数.

【详解详析】

解：如图所示：当CD〃A3时，ZBAD=ZD=30°;

A

如图所示，当时，ZC=ZBAC=60°,

：.ZBAD=60o+90°=150°;

D

：.ZBAD=15Q°^ZBAD=30°.

故答案为：①④.

【名师指路】

本题主要考查了平行线的判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是

由直线的平行关系来寻找角的数量关系.

20.（2021・湖南岳阳•七年级期末）如图，将一副三角板按如图所示放置，ZCAB^ZDAE^90°,ZC=45°,

ZE=30°,S.AD<AC,则下列结论中：①/1=/3=45。；②若AD平分NC4B,则有8OME;③将三

角形ADE绕点A旋转，使得点。落在线段AC上，则此时N4=15。；④若/3=2/2,则NC=N4.其中

结论正确的选项有.（写出所有正确结论的序号）

E

【标准答案】②③④

【思路指引】

①根据同角的余角相等得/1=/3,但不一定得45。；②都是根据角平分线的定义、内错角相等，两条直线

平行，可得结论；③根据对顶角相等和三角形的外角等于不相邻的两个内角得和，可得结论；④根据三角

形内角和定理及同角的余角相等，可得结论.

【详解详析】

解：①如图，

VZCAB=Z£>AE=90°,

BPZ1+Z2=Z3+Z2+9O°,

AZ1=Z3^45°,

故①不正确；

②平分NCA8,

・・・N1=N2=45。，

・.・N1=N3,

・・・N3=45。，

又・・・NC=N3=45。，

：.Z3=ZB,

：.BC//AE,

故②正确；

③将三角形ADE绕点A旋转，使得点。落在线段AC上，

贝（jZ4=ZADE-ZACB=60°-45°=15°,

故③正确；

@VZ3=2Z2,Z1=Z3,

.*.Z1=2Z2,Zl+Z2=90°,

・・-3/2=90。，

.\Z2=30°,

.,.Z3=60°,

又/E=30。,

设DE与A3交于点F,则ZAFE=9Q°,

VZB=45°,

Z4=45°,

AZC=Z4,

故④正确，

故答案为：②③④.

【名师指路】

本题主要考查了同角的余角相等、角平分线定义、平行线的判定的运用，解题关键是熟练掌握同角的余角

相等及平行线的判定.

三、解答题

21.(2021•吉林辉春.七年级期中)已知：如图，EF//CD,Zl+Z2=180°.

(1)判断GO与C4的位置关系，并说明理由.

(2)若CD平分ZACB,DG平分NCDB,且ZA=40。，求ZAC3的度数.

【思路指引】

(1)根据£F//CD可得Nl+ZACD=180。，再由Nl+/2=180。可得ZACD=N2由此即可证明;

(2)由平行线的性质可得NBOG=ZA=40。，再由角平分线的定义可得/2=NBOG=40。，则

ZACD=Z2=40°,由此即可得到答案.

【详解详析】

解：⑴AC//DG.

理由：•.•EF//CD,

.-.Zl+ZACD=180o,

又•.,Nl+N2=180。，

ZACD=Z2,

:.AC//DG-,

(2)QAC//DG,

ZBDG=ZA=40°,

•rOG平分NCD2,

:.Z2=ZBDG=40°,

：.ZACD=N2=40°,

•.♦CD平分ZACB,

ZACB=2ZACD=80°.

【名师指路】

本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质与判

定条件以及角平分线的定义.

22.(2021・湖北•武汉市武珞路中学七年级期中)如图AB//DE.试问，8、NE、/BCE有什么关系？

解：NB+NE=NBCE,理由如下：

过点C作CF//AB

贝l]ZB=()

又,：ABHDE,CF//AB

:.NE=()

/•ZB+ZE=Z1+Z2()

即NS+NE=____________

【标准答案】Z1；两直线平行，内错角相等；DE//CF-平行于同一条直线的两直线平行；Z2;两直线

平行，内错角相等；等量代换；/BCE

【思路指引】

过点C作CF//AB,则4=/1,同理可以得到“=/2,由此即可求解.

【详解详析】

解：NB+NE=NBCE,理由如下：

过点C作CF//AB,

则々=/1(两直线平行，内错角相等)，

又♦:ABHDE,CF//AB,

:.DE〃CF(平行于同一条直线的两直线平行)，

；.NE=N2(两直线平行，内错角相等)

/.ZB+ZE=Z1+Z2(等量代换)

故答案为：Z1;两直线平行，内错角相等；DE//CF-平行于同一条直线的两直线平行；Z2;两直线平

行，内错角相等；等量代换；NBCE.

【名师指路】

本题主要考查了平行线的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

23.(2021.安徽临泉.七年级期末)请补全证明过程及推理依据：如图，B、E分别是AC、DF上的点，Z

A+ZABF=1SQ°,ZA=ZF.求证：ZC=ZD

证明：因为/4+/4?尸=180。(),所以AE//BE(),

所以/A=(),又因为()

所以/_______=/_____(),

所以//()

所以/C=/D()

【标准答案】已知；同旁内角互补，两直线平行；NCB厂;两直线平行，同位角相等；已知；CBF,尸;等

量代换；AC;。尸;内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等.

【思路指引】

结合图形，根据已知证明过程，写出相关的依据即可.

【详解详析】

证明：因为NA+NAB尸=180。（已知），所以A屈72尸（同旁内角互补，两直线平行）

所以NA=ZCBF（两直线平行，同位角相等），又因为NA=/尸（已知）

所以

所以AC//DF（内错角相等，两直线平行）

所以/C=/D（两直线平行，内错角相等）

【名师指路】

本题考查证明过程中每一步的依据，根据推理过程明白相关知识点是解题关键.

24.（2021.宁夏盐池.七年级期末）完成下列证明过程，并在括号内填上依据.

如图，点E在AB上，点F在C。上，Z1=Z2,ZB=ZC,求证AB〃CD.

证明：=（已知），Z1=Z4

AZ2=（等量代换），

//BF（）,

；./3=N_______（）.

又,：NB=/C（已知），

：.AB//CD（）.

【标准答案】Z4;CE-同位角相等，两直线平行；C;两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线

平行

【思路指引】

根据平行线的判定和性质解答.

【详解详析】

解=（已知），Z1=Z4（对顶角相等），

••.Z2=Z4（等量代换），

：.CE//BF（同位角相等，两直线平行），

/.Z3=ZC（两直线平行，同位角相等）.

又•.•/B=NC（已知），

；.N3=/B（等量代换），

：.AB//CD（内错角相等，两直线平行）.

故答案为：对顶角相等；CE//BF-同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，

两直线平行.

【名师指路】

此题考查平行线的判定和性质，关键是根据平行线的判定和性质解答.

25.（2021.江西石城.七年级期末）【阅读理解】如图1,已知点A是BC外一点，连接AB,AC,求

N54C+Zfi+NC的度数.

解：过点A作匹〃3C,NC=NDAC.

又ZEAB+ZBAC+ZDAC=180°（平角定义）:.ZB+ZBAC+NC=180°

从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将ZBAC,DB,/C“凑”在一起，得出角

之间的关系，使问题得以解决.

【结论应用】（1）如图2,已知43〃即，则/3+/3CD+/O的度数为.

【拓展探究】⑵直线AB〃CD,直线交AB于点E,交CD于点F,点G和点〃分别是直线AB和

CD上的动点，作直线GH,£/平分ZA£F,HI平分NCHG,£/与印交于点/.

①如图3,点G在点E的左侧，点”在点尸的右侧，若NA£F=70。，/CHG=60°,求/E/H的度数.

②如图4,点G在点E的右侧，点H也在点F的右侧，若ZAEF=a,NCHG=13,其他条件不变，求ZEIH

的度数.

③如图5,点G在点E的右侧，点H也在点F的右侧，NGWC的平分线HJ交ZKEG的平分线EJ于点J.其

【思路指引】

（1）如图（2）过点C作由AB〃即，可得%18,利用平行线的性质可得NABC=/

BCF,ZEDC=ZFCD,将/8+ZfiCD+ZD转化为NBC尸+ZBCD+NDCF即可；

(2)①解：如图1,过点/作ZM/MB,由E/平分NA£F,HI平分NCHG,ZAEI=^ZAEF=35°,

NCHI=g/CHG=30°,由AB〃CD,IMIIAB,可得ZM//CD〃AB,可求

ZMIE=ZAEI=35°,=NCHZ=30°即可；

②解：如图2,过点/作加〃AS,E/平分ZAEF,HI平分NCHG,可得/AE/=：ZA£F=ga,

NCH1=；NCHG=],由AB//CD,IMIIAB,可得IM//CD"AB,利用平行线性质可得

AMIE=ZAEI=Ia,=/CH/=即可；

③解：如图3,过点/作MN//AB,,由对顶角性质可得NKEB=NAEF=a,由E7平分NKEB,HJ平分

ZCHG,可得/JEG=g/KEB=；a,/J即=；/C〃G=；户，由AB〃CD,MNIIAB,可得

MN//CD//AB,由平行线性质可得/M7E=/JEG=；a,/N7"=/CH/=即可.

【详解详析】

解：⑴如图⑵过点C作C/01B,

,?AB//ED,

：.CF〃ED〃AB,

：.ZABC=ZBCF,ZEDC=ZFCD,

'：ZBCD+ZBCF+ZDCF=360°,

：.ZB+ZBCD+ZD=NBCF+NBCD+NDCF=360°,

故答案为：360。；

(2)①解：如图1,过点/作ZM/MB,

•.•EI平分ZAEF,HI平分NCHG,ZAEF=r70°,NCHG=60。，

ZAEI=-ZAEF=35。，ACHI=-ZCHG=30。，,

22

■.■AB//CD,IM//AB,

:.IM//CD//AB,

:.ZMIE=ZAEI=35°,ZMIH=ZCHI=30°,

D

图1

ZEIH=AMIE+ZMIH=35°+30°=65°;

②解：如图2,过点/作2M//AB,

•;EI平分ZAEF,小平分NCHG,ZAEF=a,NCHG=/3,

ZAEI=-ZAEF=-a,ACHI=-ZCHG=-B,

2222

­.AB//CD,IM!/AB,

ZEIH=AMIE+ZMIH=11;

③解：如图3,过点1/作

ZAEF=a,

,\ZKEB=ZAEF=a,

•:EJ平分/KEB,HJ平分NCHG,/KEB=a,/CHG=(3,

-ABIICD,MN//AB,

:.MN//CD//AB,

:.NMJE=NJEG=；a,ZNJH=ZCHJ=,

AEJH=180°-ZMJE-ZNJH=180。-坊.

22

【名师指路】

本题考查角分线定义，平行线性质，周角，平角，角的和差，关键是用辅助线作出准确图形是解题关键.

26.(2021.吉林双阳.七年级期末)已知A3〃C。，点E在A3上，点P在。C上，点G为射线所上一点.

【基础问题】如图1,试说明：ZAGD=ZA+ZD.(完成图中的填空部分).

证明：过点G作直线为

又,：AB〃CD,

C.MN/7CD()

•；MN〃AB,

AZA=()()

,:MN〃CD,

AZD=()

ZAGD=ZAGM+ZDGM=ZA+ZD.

【类比探究】如图2,当点G在线段EP延长线上时，直接写出/AGD、ZA.三者之间的数量关系.

【应用拓展】如图3,AH平分NG4B,DH交AH于点H,且/GDH=2/HDC,ZHDC=22°,Z77=32°,

直接写出/DGA的度数.

【标准答案】基础问题：平行于同一条直线的两条直线平行；ZAGM-,两直线平行，内错角相等；ZDGM,

两直线平行，内错角相等；类比探究：ZAGD=ZA-ZD-,应用拓展：42。.

【思路指引】

基础问题：由MN//AB,可得乙4=NAGM,由MN〃CD,可得则NAGZ)=NAGM+NOGM

=ZA+ZD;

类比探究：如图所示，过点G作直线幺3,同理可得则/AGD=/AGM-

ZDGM=ZA-ZD.

应用拓展：如图所示，过点G作直线跖过点女作直线尸。〃A2,由PQ//AB,得到/

BAG=NAGM,ZBAH=ZAHP,由PQ//CD,得到/OG=/DGM,ZCDH=ZDHP,再由

ZGDH=2ZHDC,ZHDC=22°,NAffl）=32。，可得NGOH=44。，NOH尸二22。，则NC£>G=66。，ZAHP=54°,

ZDGM=66°,NBAH=54。,再由A”平分N8AG,即可得到NAGM=108。，则NAGO=NAGM-NDGM=42。.

【详解详析】

解：基础问题：过点G作直线MN〃A3,

又,；AB〃CD,

:.MN〃CD（平行于同一条直线的两条直线平行），

•:MN〃AB,

・・・NA=NAGM（两直线平行，内错角相等），

・：MN〃CD,

・・.N0=NDGM（两直线平行，内错角相等），

ZAGD=ZAGM+ZDGM=ZA+ZD.

故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；ZAGM;两直线平行，内错角相等；NDGM,两直线平

行，内错角相等；

类比探究：如图所示，过点G作直线MN〃AB,

又・：AB〃CD,

:・MN〃CD,

*：MN〃AB,

：.ZA=ZAGM,

■:MN〃CD,

：.ZD=ZDGM,

：.ZAGD=ZAGM-ZDGM=ZA-ZD.

应用拓展：如图所示，过点G作直线过点“作直线尸Q〃A3,

又.：AB〃CD,

・・・MN〃CD,PQ//CD

•：MN〃AB,PQ//AB,

：.ZBAG=ZAGM,ZBAH=ZAHP,

■:MN〃CD、PQ//CD,

：.ZCDG=ZDGM,ZCDH=ZDHP,

♦：/GDH=2/HDC,ZHDC=22°,ZAHD=32°,

・・・NGDH=44。，ZDHP=22°,

・・・NC0G=66。，ZAHP=54°,

：.ZDGM=66°,ZBAH=54°,

VAH平分NE4G,

・・・ZBAG=2ZBAH=WS0,

：.ZAGM=108°,

：.ZAGD=ZAGM-ZDGM=42°.

【名师指路】

本题主要考查了平行线的性质，平行公理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质.

27.（2021.四川仁寿.七年级期末）阅读并完成下列推理过程，在括号内填写理由.

B

已知：如图，点。，E分别在线段45、5c上，AC//DE,平分㈤C,DF平分NBDE交BC于点E、

F.

求证：DF//AE.

证明：•JAE平分的C（已知），

:.Z1=Z2=-ZBAC（）.

2

;DF平分NBDE（已知），

，N3=N4=；（角平分线的定义），

-,-AC//DE（已知），

:.ZBDE=ZBAC（）.

Z2=Z3（）.

:.DF//AE（）.

【标准答案】角平分线的定义；ZBDE；两直线平行，同位角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行.

【思路指引】

根据角平分线的定义和平行线的性质与判定即可证明.

【详解详析】

证明：•JAE平分ZBAC（已知），

.-.Z1=Z2=^ZBAC（角平分线的定义）.

•;DF平分ZBDE（已知），

.-.Z3=Z4=1zBr>£（角平分线的定义），

■-AC//DE（已知），

:"BDE=NBAC（两直线平行，同位角相等）.

;./2=/3（等量代换）.

：.DF//AE（同位角相等，两直线平行）.

故答案为：角平分线的定义；ZBDE；两直线平行，同位角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行.

【名师指路】

本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

28.（2021.安徽.铜陵市第十五中学七年级期中）如图，已知C为两条相互平行的直线48,之间一点,

ZABC和ZCDE的角平分线相交于F,NFDC+ZABC=180。.

£

/R

(1)求证：AD!IBC；

3

(2)连结CP,当CF//AB,且=时，求NBCD的度数;

(3)若NDCF=NCPB时,将线段BC沿直线AB方向平移，记平移后的线段为尸。(B,C分别对应尸，

Q,当NPQD-NQDC=20。时，请直接写出ZDQP的度数.

【标准答案】(1)证明见解析；(2)ZBCD=108°;(3)70°

【思路指引】

(1)根据两直线平行，内错角相等得出NEOF=/D4B,由角平线的定义得出NEOF=/EDC,最后根据

同旁内角互补，两直线平行进行求证；

(2)设ZDCF=x,则/CFB=1.5尤，由两直线平行，内错角相等得出/ABF=L5x,由角平分线的定义得

出NABC=3x,最后利用两直线平行，同旁内角互补得出关于x的方程，求解即可；

(3)画出图形，根据两直线平行，同旁内角互补得出由角平分线的定义与已知条件可求

出/A2C与/即C,由平移的性质与平行公理的推论得出〃尸。，最后根据两直线平行，同旁内角互补

列式求解.

【详解详析】

解：(1)证明：•.•A2〃DE,

ZEDF=ZDAB,

/平分NEDC,

JZEDF=ZFDC,

：.ZFDC=ZDAB,

丁ZF£>C+ZABC=180°,

・・・ZDAB+ZABC=180°,

J.AD//BC;

3

(2)VZCFB=-ZDCF,设NDCF=x,则NCF3=1.5元,

VCF//AB,

・・・ZABF=ZCFB=1.5x,

〈BE平分NA3C,

・•・ZABC=2ZABF=3x,

•：AD//BC,

.\ZFDC+ZBCD=180°,

*.*ZF£)C+ZABC=180°,

：.ZBCD=ZABC=3x,

：.ZBCF=2x,

♦:CF〃AB,

：.ZABC+ZBCF=1SO°,

3x+2x=180°,

Ax=36°,

.'.ZBCD=3x36°=108°;

(3)如图，:/DCF=NCFB,

：.BF//CD,

：.ZCDF+ZBFD=\S00,

U：AD//BC,

AZCBF+ZBFD=180°,

：.ZCDF=ZCBF,

VAD,3E分别平分NA5C,NCDE,

：.ZABC=2ZCBF,ZCDE=2ZFDC,

：.ZABC=ZCDE=2ZFDC,

VZFDC+ZABC=180°,

AZABC=120°,ZFDC=60°,

:线段2c沿直线口方向平移得到线段尸。，

J.BC//PQ,

,JAD//BC,

：.AD//PQ,

•：ZPQD-ZQDC=20°,

：.ZQDC=ZPQD-20°,

：.ZFDC+ZQDC+ZPQD=60°+ZPQD-20°+ZPQD=180°,

：.ZPQD=1Q°,即/。QP=70°.

故答案为：70。.

【名师指路】

本题考查平行线的判定与性质，平行公理的推论，角平分线的定义，平移的性质，熟练运用平行线的判定

与性质是解题的关键.

29.(2021.四川邛睐七年级期中)如图，直线AB〃CD,点E、F分别是AB、CD上的动点(点E在点F

的右侧)；点M为线段EF上的一点，点N为射线FD上的一点，连接MN;

(1)如图1,若NBEF=150°,MNA.EF,则;

(2)作的角