专题66 递推法求解概率-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

专题66递推法求解概率【方法点拨】在概率的背景下，得到递推关系，综合运用数列中的方法，诸如待定系数法、叠加法等求解通项公式进一步求解问题.【典型题示例】例1（2022·江苏徐州期末·22改编）为抢占市场，某品牌电动汽车近期进行了一系列优惠促销方案．销售公司现面向意向客户推出“玩游戏，赢大奖，送汽车模型”活动，客户可根据抛掷骰子向上的点数，遥控汽车模型在方格图上行进，若汽车模型最终停在“幸运之神”方格，则可获得购车优惠券2万元；若最终停在“赠送汽车模型”方格，则可获得汽车模型一个．方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格．汽车模型开始在第0格，客户每掷一次骰子，汽车模型向前移动一次．若掷出1，2，3，4点，汽车模型向前移动一格（从第k格到第格），若掷出5，6点，汽车模型向前移动两格（从第k格到第格），直到移到第19格（幸运之神）或第20格（赠送汽车模型）时游戏结束．设汽车模型移到第格的概率为．则=；若有6人玩该游戏，每人一局，则这6人获得优惠券总金额的期望为（结果精确到1万元）．【分析】根据规则得到递推关系，使用待定系数法求得，即是以为首项，公比为的等比数列，求出，再使用叠加法求出通项公式.【解析】由题意知，，．汽车模型移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种：①汽车模型先到第格，又掷出5，6点，其概率为；②汽车模型先到第格，又掷出1，2，3，4点，其概率为．所以，则，且所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，．所以，．所以．设玩游戏的6人中有X人获得优惠券，则，所以这6人获得优惠券总金额的期望值为（万元）．【巩固训练】1.从原点出发的某质点，按向量移动的概率为，按向量移动的概率为，设可到达点的概率为，则的表达式为.2.某人玩硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面的概率都是，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、、第100站.一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站(从到)；若掷出反面，棋子向前跳两站(从到)，直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或跳到第100站(失败集中营)时，该游戏结束.设棋子跳到第站的概率为=，玩该游戏获胜的概率为.3.一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站…第100站，共101站，设棋子跳到第n站的概率为Pn，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)．则玩该游戏获胜的概率为．【答案或提示】1.【解析】易得到达点有两种情况：从点按向量移动，即；②从点按向量移动，即数列是以为首项，为公比的等比数列.又2.【答案】，【解析】棋子开始在第0站为必然事件，.第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为，.棋子跳到第2站应从如下两方面考虑：①前两次掷硬币都出现正面，其概率为；②第一次掷硬币出现反面，其概率为..棋子跳到第站的情况是下列两种，而且也只有两种：①棋子先到第站，又掷出反面，其概率为；②棋子先到第站，又掷出正面，其概率为..故当时，数列是首项为，公比为的等比数列..以上各式相加，得，获胜的概率为，失败的概率.3.【答案】eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2100)))【解析】棋子开始在第0站是必然事件，所以P0＝1.棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为eq\f(1,2)，所以P1＝eq\f(1,2).棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子出现偶数点，其概率为eq\f(1,2)；②前两次掷骰子都出现奇数点，其概率为eq\f(1,4)，所以P2＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).棋子跳到第n(2≤n≤99)站，包括两种情形，①棋子先跳到第n－2站，又掷骰子出现偶数点，其概率为eq\f(1,2)Pn－2；棋子先跳到第n－1站，又掷骰子出现奇数点，其概率为eq\f(1,2)Pn－1.故Pn＝eq\f(1,2)Pn－2＋eq\f(1,2)Pn－1(2≤n≤99，n∈N*)．所以Pn－Pn－1＝－eq\f(1,2)(Pn－1－Pn－2)．又因为P1－P0＝－eq\f(1,2)，所以{Pn－Pn－1}(n＝1,2，…，99)是首项为－eq\f(1,2)，公比为－eq\f(1,2)的等比数列．Pn－Pn－1＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n.所以P99＝(P99－P98)＋(P98－P97)＋…＋(P1－P0)＋P0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))99＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))98＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋1＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))99)),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))