江苏省江阴市普通高中2025届高一数学第二学期期末统考试题含解析

江苏省江阴市普通高中2025届高一数学第二学期期末统考试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知一组正数的平均数为，方差为，则的平均数与方差分别为（）A． B． C． D．2．设，且，则的最小值为（）A． B． C． D．3．下列函数中，是偶函数且在区间上是增函数的是（）A． B．C． D．4．已知各项均为正数的等比数列，若，则的值为（）A．-4 B．4 C． D．05．如右图所示的直观图，其表示的平面图形是（A）正三角形（B）锐角三角形（C）钝角三角形（D）直角三角形6．记为等差数列的前n项和．若，，则等差数列的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．87．已知集合A=-1，A．-1，  0，  18．函数的定义域是（）A． B．C． D．9．已知，则的最小值为A．3 B．4 C．5 D．610．如果a＜b＜0，则下列不等式成立的是（）A． B．a2＜b2 C．a3＜b3 D．ac2＜bc2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知为直线，为平面，下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确命题的序号是______．12．已知一个铁球的体积为，则该铁球的表面积为________.13．下列结论中：①②函数的图像关于点对称③函数的图像的一条对称轴为④其中正确的结论序号为______．14．已知函数，若，且，则__________．15．在平面直角坐标系中，圆的方程为．若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是______．16．在等差数列中，，，则公差______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本,如茎叶图所示(试卷满分为100分)(1)试计算这12份成绩的中位数；(2)用各班的样本方差比较两个班的数学学习水平,哪个班更稳定一些?18．在直角坐标系中，，，点在直线上.（1）若三点共线，求点的坐标；（2）若，求点的坐标.19．的内角的对边分别为.（1）求证:；（2）在边上取一点P，若.求证:.20．在等差数列{an}中，a1=1，公差d≠0，且a1，a2，a5是等比数列{bn}的前三项．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn=an·bn，求数列{cn}的前n项和Sn．21．在平面直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C．（1）是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程;若不存在，请说明理由；（2）求证:过A，B，C三点的圆过定点，并求出该定点的坐标．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

根据平均数的性质和方差的性质即可得到结果.【详解】根据平均数的线性性质，以及方差的性质：将一组数据每个数扩大2倍，且加1，则平均数也是同样的变化，方差变为原来的4倍，故变换后数据的平均数为：；方差为4.故选：C.【点睛】本题考查平均数和方差的性质，属基础题.2、D【解析】

本题首先可将转化为，然后将其化简为，最后利用基本不等式即可得出结果．【详解】，当且仅当，即时成立，故选D．【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，基本不等式公式为，考查化归与转化思想，是简单题．3、A【解析】

逐一分析选项，得到答案.【详解】A.是偶函数,并且在区间时增函数，满足条件；B.不是偶函数,并且在上是减函数，不满足条件；C.是奇函数,并且在区间上时减函数，不满足条件；D.是偶函数，在区间上是减函数，不满足条件；故选A.【点睛】本题考查了函数的基本性质，属于基础题型.4、B【解析】

根据等比中项可得，再根据，即可求出结果.【详解】由等比中项可知，，又，所以.故选:B.【点睛】本题主要考查了等比中项的性质，属于基础题.5、D【解析】略6、B【解析】

利用等差数列的前n项和公式、通项公式列出方程组，能求出等差数列{an}的公差．【详解】∵为等差数列的前n项和，，，∴，解得d=2,a1=5，∴等差数列的公差为2.故选：B.【点睛】本题考查等差数列的公差，此类问题根据题意设公差和首项为d、a1，列出方程组解出即可，属于基础题.7、B【解析】

直接利用交集运算得到答案.【详解】因为A=-1，  故答案选B【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.8、A【解析】

利用复合函数求定义域的方法求出函数的定义域．【详解】令x+（k∈Z），解得：x（k∈Z），故函数的定义域为{x|x，k∈Z}故选A．【点睛】本题考查的知识要点：正切函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．9、C【解析】

由，得，则，利用基本不等式，即可求解．【详解】由题意，因为，则，所以，当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为5，故选C．【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10、C【解析】

根据a、b的范围，取特殊值带入判断即可．【详解】∵a＜b＜0，不妨令a＝﹣2，b＝﹣1，则，a2>b2所以A、B不成立，当c=0时，ac2=bc2所以D不成立，故选：C．【点睛】本题考查了不等式的性质，考查特殊值法进行排除的应用，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、③④【解析】

①和②均可以找到不符合题意的位置关系，则①和②错误；根据线面垂直性质定理和空间中的平行垂直关系可知③和④正确.【详解】若，此时或，①错误；若，此时或异面，②错误；由线面垂直的性质定理可知，若，则，③正确；两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线必垂直于该平面，可知④正确本题正确结果：③④【点睛】本题考查空间中的平行与垂直关系相关命题的判断，考查学生对于平行与垂直的判定和性质的掌握情况.12、.【解析】

通过球的体积求出球的半径，然后求出球的表面积.【详解】球的体积为球的半径球的表面积为：故答案为：【点睛】本题考查球的表面积与体积的求法，考查计算能力，属于基础题.13、①③④【解析】

由两角和的正切公式的变形，化简可得所求值，可判断①正确；由正切函数的对称中心可判断②错误；由余弦函数的对称轴特点可判断③正确；由同角三角函数基本关系式和辅助角公式、二倍角公式和诱导公式，化简可得所求值，可判断④正确．【详解】①，故①正确；②函数的对称中心为，，则图象不关于点对称，故②错误；③函数，由为最小值，可得图象的一条对称轴为，故③正确；④，故④正确．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质应用以及三角函数的恒等变换，意在考查学生的化简运算能力．14、2【解析】不妨设a＞1，

则令f（x）=|loga|x-1||=b＞0，

则loga|x-1|=b或loga|x-1|=-b；

故x1=-ab+1，x2=-a-b+1，x3=a-b+1，x4=ab+1，

故故答案为2点睛：本题考查了绝对值方程及对数运算的应用，同时考查了指数的运算，注意计算的准确性.15、【解析】试题分析：记两个切点为，则由于，因此四边形是正方形，，圆标准方程为，，，于是圆心直线的距离不大于，，解得.考点：直线和圆的位置关系.16、3【解析】

根据等差数列公差性质列式得结果.【详解】因为，，所以.【点睛】本题考查等差数列公差，考查基本分析求解能力，属基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)80；(2)（1）班.【解析】

（1）从茎叶图可直接得到答案；（2）通过方差公式计算出两个半的方差，方差更小的更稳定.【详解】（1）从茎叶图中可以看到，这12份成绩按从小到大排列，第6个是78，第7个是82，所以中位数为.（2）由表中数据，易得（1）班的6份成绩的平均数，（2）班的6份成绩的平均数，所以（1）班的6份成绩的方差为；（2）班的6份成绩的方差为.所以有，说明（1）班成绩波动较小，（2）班两极分化较严重些，所以（1）班成绩更稳定.【点睛】本题主要考查中位数，平均数，方差的相关计算和性质，意在考查学生的计算能力及分析能力，难度不大.18、（1）；（2）.【解析】

（1）三点共线，则有与共线，由向量共线的坐标运算可得点坐标；（2），则，由向量数量积的坐标运算可得【详解】设，则，（1）因为三点共线，所以与共线，所以，，点的坐标为.（2）因为，所以，即，，点的坐标为.【点睛】本题考查向量共线和向量垂直的坐标运算，属于基础题．19、（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】

（1）余弦定理的证明其实在课本就直接给出过它向量方法的证明，通过，等向量模长相等就可，当然我们还可以通过坐标的运算完成（如方法二）（2）通过点P，将三角形分割，这种题中多注意几个相等（公共边相等，）我们可以得到相对应的等量关系，完成本题.【详解】（1）证法一:如图，即证法二:已知中所对边分别为，以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则，所以（2）令，由余弦定理得:，因为所以所以所以【点睛】（1）向量既有大小又有方向.在几何中是一种很重要的工具，比如三角形中，三边有大小，角度问题我们可以转化为向量夹角相关，所以很容易想到向量方法.（2）解组合三角形问题，多注重图形中一些恒等关系比如边长、角度问题.20、（1）bn=3n－1；（2）Sn=(n－1)·3n+1【解析】

(1)由a1，a2，a5是等比数列{bn}的前三项得，a22=a1·a5⇒(a1+d)2=a1·(a1+4d)··⇒a12+2a1d+d2=a12+4a1d⇒d2=2a1d，又d≠0，所以d=2a1=2，从而an=a1+(n－1)d=2n－1，则b1=a1=1，b2=a2=3，则等比数列{bn}的公比q=3，从而bn=3n－1(2)由(1)得，cn=an·bn=(2n－1)·3n－1，则Sn=1·1+3·3+5·32+7·33+…+(2n－1)·3n－1①3Sn=1·3+3·32+5·33+…+(2n－3)·3n－1+(2n－1)·3n②①－②得，－2Sn=1·1+2·3+2·32+2·33+…+2·3n－1－(2n－1)·3n=1+2×－(2n－1)·3n=－2(n－1)·3n－2··则Sn=(n－1)·3n+1．21、（1）存在，（2）证明见解析，圆方程恒过定点或【解析】

（1）将曲线Γ方程中的y＝1，得x2﹣mx+2m＝1．利用韦达定理求出C，通过坐标化，求出m得到所求圆的方程．（2）设过A，B，C的圆P的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2列出方程组利用圆系方程，推出圆P方程恒过定点即可．【详解】由曲线Γ：y＝x2﹣mx+2m（m∈R），令y＝1，得x2﹣mx+2m＝1．设A（x1，1），B（x2，1），则可得△＝m2﹣8m＞1，x1+x2＝m，x1x2＝