2025届江苏宿迁市高一数学第二学期期末考试试题含解析

2025届江苏宿迁市高一数学第二学期期末考试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若实数满足，则的最小值为()A．4 B．8 C．16 D．322．某几何体三视图如图所示，则该几何体中的棱与面相互平行的有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对3．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为A． B． C． D．4．下列四组中的函数，表示同一个函数的是（）A．， B．,C．， D．，5．已知等差数列的前项和为，若，则的值为A．10 B．15 C．25 D．306．三边，满足，则三角形是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形7．函数的图象如图所示，则y的表达式为（）A． B．C． D．8．圆，那么与圆有相同的圆心，且经过点的圆的方程是（）．A． B．C． D．9．点到直线（R）的距离的最大值为A． B． C．2 D．10．内角，，的对边分别为，，.已知，，，则这样的三角形有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设等差数列的前项和为，若，，则的最小值为______．12．已知扇形的半径为6，圆心角为，则该扇形的面积为_______.13．过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，则________.14．已知向量，，则与的夹角等于_______.15．在中，，则______．16．若正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，则该正四棱锥的体积为______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设两个非零向量与不共线，（1）若，，，求证：三点共线；（2）试确定实数，使和同向.18．已知数列的前项和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）在数列中，，其前项和为，求的取值范围.19．已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）请确定3998是否是数列中的项？20．设函数的定义域为R，当时，，且对任意实数m、n，有成立，数列满足，且.（1）求的值；（2）若不等式对一切都成立，求实数k的最大值.21．某企业生产，两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1，产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2，（注：利润与投资单位：万元）（1）分别将，两种产品的利润表示为投资的函数关系，并写出它们的函数关系式；（2）该企业已筹集到10万元资金，全部投入到，两种产品的生产，怎样分配资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元（精确到1万元）.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

由可以得到，利用基本不等式可求最小值.【详解】因为，故，因为，故，故，当且仅当时等号成立，故的最小值为8，故选B.【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.2、C【解析】

本道题结合三视图，还原直观图，结合直线与平面判定，即可。【详解】结合三视图，还原直观图，得到AB平行平面OCD,DC平行平面OBA，BC平行平面ODA，DA平行平面OBC，故有4对。故选C。【点睛】本道题考查了三视图还原直观图，难度中等。3、C【解析】选取两支彩笔的方法有种，含有红色彩笔的选法为种，由古典概型公式，满足题意的概率值为.本题选择C选项.考点：古典概型名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.4、A【解析】

分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．【详解】．的定义域为，，两个函数的定义域相同，对应法则相同，所以，表示同一个函数．．的定义域为，，两个函数的定义域相同，对应法则不相同，所以，不能表示同一个函数．．的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，所以，不能表示同一个函数．．的定义域为，的定义域，两个函数的定义域不相同，对应法则相同，所以，不能表示同一个函数．故选．【点睛】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的依据主要是判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．5、B【解析】

直接利用等差数列的性质求出结果．【详解】等差数列{an}的前n项和为Sn，若S17＝85，则：85，解得：a9＝5，所以：a7+a9+a11＝3a9＝1．故选：B．【点睛】本题考查的知识要点：等差数列的通项公式的应用，及性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．6、C【解析】

由基本不等式得出，将三个不等式相加得出，由等号成立的条件可判断出的形状．【详解】为三边，，由基本不等式可得，将上述三个不等式相加得，当且仅当时取等号，所以，是等边三角形，故选C．【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查基本不等式的应用，利用基本不等式要注意“一正、二定、三相等”条件的应用，考查推理能力，属于中等题．7、B【解析】

根据图像最大值和最小值可得，根据最大值和最小值的所对应的的值，可得周期，然后由，得到，代入点，结合的范围，得到答案.【详解】根据图像可得，，即，根据，得，所以，代入，得，所以，，所以，又因，所以得，所以得到，故选B.【点睛】本题考查根据函数图像求正弦型函数的解析式，属于简单题.8、B【解析】

圆的标准方程为，圆心，故排除、，代入点，只有项经过此点，也可以设出要求的圆的方程：，再代入点，可以求得圆的半径为．故选．点睛：这个题目主要考查圆的标准方程，因为这是一道选择题，故根据与条件中的圆的方程可以得到圆心坐标，进而可以排除几个选项，如果正规方法，就可以按照已知圆心，写出标准方程，代入已知点求出标准方程即可．9、A【解析】

把直线方程化为，得到直线恒过定点，由此可得点P到直线的距离的最大值就是点P到定点的距离，得到答案．【详解】由题意，直线可化为，令，解得，即直线恒过定点，则点P到直线的距离的最大值就是点P到定点的距离为：，故选A．【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，其中解答中把直线方程化为，得出直线恒过定点是解答本题的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题．10、C【解析】

根据和的大小关系，判断出解的个数.【详解】由于，所以，故解的个数有两个.如图所示两个解.故选：C【点睛】本小题主要考查正弦定理的运用过程中，三角形解的个数判断，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

用基本量法求出数列的通项公式，由通项公式可得取最小值时的值，从而得的最小值．【详解】设数列公差为，则由已知得，解得，∴，，，又，、∴的最小值为．故答案为：．．【点睛】本题考查等差数列的前项和的最值．首项为负且递增的等差数列，满足的最大的使得最小，首项为正且递减的等差数列，满足的最大的使得最大，当然也可把表示为的二次函数，由二次函数知识求得最值．12、【解析】

用弧度制表示出圆心角，然后根据扇形面积公式计算出扇形的面积.【详解】圆心角为对应的弧度为，所以扇形的面积为.故答案为：【点睛】本小题主要考查角度制和弧度制互化，考查扇形面积的计算，属于基础题.13、【解析】

讨论斜率不存在和斜率存在两种情况，分别计算得到答案.【详解】抛物线的焦点F为，当斜率不存在时，易知，故；当斜率存在时，设，故，即，故，.综上所述：.故答案为：.【点睛】本题考查了抛物线中线段长度问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.14、【解析】

由已知向量的坐标求得两向量的模及数量积，代入数量积求夹角公式得答案．【详解】∵（﹣1，），（，﹣1），∴，，则cos，∴与的夹角等于．故答案为：．【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，考查了由数量积求向量的夹角，是基础题．15、【解析】

由已知求得，进一步求得，即可求出．【详解】由，得，即，，则，，，则．【点睛】本题主要考查应用两角和的正切公式作三角函数的恒等变换与化简求值．16、4.【解析】

设正四棱锥的高为PO，连结AO，在直角三角形POA中，求得高,利用体积公式，即可求解．【详解】由题意，如图所示，正四棱锥P-ABCD中，AB=，PA=设正四棱锥的高为PO，连结AO，则AO=，在直角三角形POA中，，∴.【点睛】本题主要考查了正棱锥体积的计算，其中解答中熟记正棱锥的性质，以及棱锥的体积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）根据向量的运算可得，再根据平面向量共线基本定理即可证明三点共线；（2）根据平面向量共线基本定理，可设，由向量相等条件可得关于和的方程组，解方程组并由的条件确定实数的值.【详解】（1）证明：因为，，，所以.所以共线，又因为它们有公共点，所以三点共线.（2）因为与同向，所以存在实数，使，即.所以.因为是不共线的两个非零向量，所以解得或又因为，所以.【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用，三点共线的向量证明方法应用，属于基础题.18、(1)．(2)【解析】

（1）根据已知的等式，再写一个关于等式，利用求通项公式；（2）利用裂项相消法求解，再根据单调性以及求解的取值范围.【详解】解：（1）当时，，，两式相减得整理得，即，又，，，则，当时，，所以．（2），则，．又，所以数列单调递增，当时，最小值为，又因为，所以的取值范围为．【点睛】当，且是等差数列且，则的前项和可用裂项相消法求解：.19、（1）（2）第1000项【解析】

（1）由题意有，解方程组即得数列的通项公式；（2）假设3998是数列中的项，有，得，即可判断得解.【详解】解：（1）设数列的公差为，由题意有，解得，则数列的通项公式为.（2）假设3998是数列中的项，有，得，故3998是数列中的第1000项.【点睛】本题主要考查等差数列基本量的计算，考查某一项是否是等差数列中的项的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.20、（1）（2）【解析】

（1）首先令，得：，根据得到，即是以，的等差数列，再计算即可.（2）将题意转化为，设，判断其单调性，求出最小值即可得到答案.【详解】令，得：，.所以.因为，所以.所以，.所以是以，的等差数列.所以，.（2）因为恒成立.即恒成立.设，知，且，，即，故为关于的增函数，.所以，的最大值为.【点睛】本题主要考查数列与函数的综合，利用函数的单调性是解题的关键，属于难题.21、（1）为，为；（2）产品投入3.75万元，产品投入6.25万元，最大利润为4万元【解析】

（1）根据题意给出的函数模型，设；代入图中