临汾市第一中学2025届数学高一下期末教学质量检测模拟试题含解析

临汾市第一中学2025届数学高一下期末教学质量检测模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数的定义域是（）A． B．C． D．2．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少1名女生”与事件“全是男生”（）A．是互斥事件，不是对立事件B．是对立事件，不是互斥事件C．既是互斥事件，也是对立事件D．既不是互斥事件也不是对立事件3．已知，则（）A． B． C． D．4．已知双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．25．已知一个平面，那么对于空间内的任意一条直线,在平面内一定存在一条直线，使得与（）A．平行B．相交C．异面D．垂直6．已知直线3x−y+1=0的倾斜角为α，则A． B．C．− D．7．已知函数，则不等式的解集为()A． B． C． D．8．的值为（）A． B． C． D．9．甲、乙、丙、丁四名运动员参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示，从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是（）人数据甲乙丙丁平均数8.68.98.98.2方差3.53.52.15.6A．甲 B．乙 C．丙 D．丁10．下列函数中，最小正周期为的是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是__________．12．四棱柱中，平面ABCD，平面ABCD是菱形，，，，E是BC的中点，则点C到平面的距离等于________.13．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为17，则x的值为_________.14．已知点P是矩形ABCD边上的一动点，，，则的取值范围是________.15．在锐角△中，角所对应的边分别为，若，则角等于________.16．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数f(x)=x2（1）写出函数g(x)的解析式；（2）若直线y=ax+1与曲线y=g(x)有三个不同的交点，求a的取值范围；（3）若直线y=ax+b与曲线y=f(x)在x∈[-2,1]内有交点，求(a-1)218．如图，在四棱锥中，平面，，，，点Q在棱AB上.（1）证明：平面.（2）若三棱锥的体积为，求点B到平面PDQ的距离.19．如图，四棱锥中，平面，底面是平行四边形，若，.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求棱与平面所成角的正弦值.20．已知公差不为零的等差数列满足：，且成等比数列．（1）求数列的通项公式．（2）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．21．设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝3，Sn＝1Sn﹣1+n（n≥1）（1）求出a1，a3的值，并证明：数列{an+1}为等比数列；（1）设bn＝log1（a3n+1），数列{}的前n项和为Tn，求证：1≤18Tn＜1．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

利用复合函数求定义域的方法求出函数的定义域．【详解】令x+（k∈Z），解得：x（k∈Z），故函数的定义域为{x|x，k∈Z}故选A．【点睛】本题考查的知识要点：正切函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．2、C【解析】至少1名女生的对立事件就是全是男生.因此事件“至少1名女生”与事件“全是男生”既是互斥事件，也是对立事件3、C【解析】

根据特殊值排除A,B选项，根据单调性选出C,D选项中的正确选项.【详解】当时，，故A,B两个选项错误.由于，故，所以C选项正确，D选项错误.故本小题选C.【点睛】本小题主要考查三角函数值，考查对数函数和指数函数的单调性，属于基础题.4、B【解析】根据椭圆可以知焦点为，离心率，故选B.5、D【解析】略6、A【解析】

由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值．【详解】直线3x-y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3，

∴，

故选A．【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题．7、B【解析】

先判断函数的单调性，把转化为自变量的不等式求解.【详解】可知函数为减函数，由，可得，整理得，解得，所以不等式的解集为．故选B.【点睛】本题考查函数不等式，通常根据函数的单调性转化求解，一般不代入解析式.8、B【解析】由诱导公式可得，故选B.9、C【解析】

甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中丙的方差最小，说明丙的成绩最稳定，得到丙是最佳人选．【详解】甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中丙的方差最小，说明丙的成绩最稳定，综合平均数和方差两个方面说明丙成绩即高又稳定，丙是最佳人选，故选：C．【点睛】本题考查平均数和方差的实际应用，考查数据处理能力，求解时注意方差越小数据越稳定.10、D【解析】

由函数的最小正周期为，逐个选项运算即可得解.【详解】解:对于选项A,的最小正周期为,对于选项B,的最小正周期为,对于选项C,的最小正周期为,对于选项D,的最小正周期为,故选D.【点睛】本题考查了三角函数的最小正周期，属基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

直线与圆有交点，则圆心到直线的距离小于或等于半径.【详解】直线即，圆的圆心为，半径为，若直线与圆有交点，则，解得,故实数的取值范围是.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线距离公式是常用方法.12、【解析】

利用等体法即可求解.【详解】如图，由ABCD是菱形，，，E是BC的中点，所以,又平面ABCD，所以平面ABCD，即，又，则平面，由平面，所以，所以，设点C到平面的距离为，由即，即，所以.故答案为：【点睛】本题考查了等体法求点到面的距离，同时考查了线面垂直的判定定理，属于基础题.13、【解析】

根据茎叶图中数据和中位数的定义可构造方程求得.【详解】甲组数据的中位数为，解得：故答案为：【点睛】本题考查茎叶图中中位数相关问题的求解，属于基础题.14、【解析】

如图所示，以为轴，为轴建立直角坐标系，故，，设.，根据几何意义得到最值，【详解】如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系，故，，设.则.表示的几何意义为到点的距离的平方减去.根据图像知：当为或的中点时，有最小值为；当与中的一点时有最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查了向量的数量积的范围，转化为几何意义是解题关键.15、【解析】试题分析：利用正弦定理化简，得，因为，所以，因为为锐角，所以．考点：正弦定理的应用．【方法点晴】本题主要考查了正弦定理的应用、以及特殊角的三角函数值问题，其中解答中涉及到解三角形中的边角互化，转化为三角函数求值的应用，解答中熟练掌握正弦定理的变形，完成条件的边角互化是解答的关键，注重考查了分析问题和解答问题的能力，同时注意条件中锐角三角形，属于中档试题．16、5【解析】试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一.【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)g(x)=0,-x2【解析】

（1）先分类讨论求出|f(x)|的解析式，即得函数g(x)的解析式；（2）当a=0时，直线y=1与曲线y=g(x)只有2个交点，不符题意．当a≠0时，由题意得，直线y=ax+1与曲线y=g(x)在x⩽-2或x⩾1内必有一个交点，且在-2<x<1的范围内有两个交点．由y=ax+1,y=-x2-x+2,-2<x<1,消去y得x2+(a+1)x-1=0．令φ(x)=x2+(a+1)x-1，写出a应满足条件解得；（3）由方程组y=ax+b,y=x2+x-2,消去y得x2+(1-a)x-2-b=0．由题意知方程在[-2，1]内至少有一个实根，设两根为x【详解】（1）当f(x)=x2+x-2≥0，得x≥1或x≤-2当f(x)=x2+x-2<0，得∴g(x)=（2）当a=0时，直线y=1与曲线y=g(x)只有2个交点，不符题意.当a≠0时，由题意得，直线y=ax+1与曲线y=g(x)在x≤-2或x≥1内必有一个交点，且在-2<x<1的范围内有两个交点.由y=ax+1y=-x2-x+2,-2<x<1，消去令φ(x)=x2+(a+1)x-1a≠0Δ=解得-1<a<0或0<a<12，所以a（3）由方程组y=ax+by=x2+x-2，消去由题意知方程在[-2,1]内至少有一个实根，设两根为x1不妨设x1∈[-2,1]，x2∈R∴(a-1)==≥2×1=2当且仅当x1所以(a-1)2+(b+3)【点睛】本题考查了函数与方程，涉及了分段函数、零点、韦达定理等内容，综合性较强，属于难题．18、（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）线面垂直只需证明PD和平面内两条相交直线垂直即可，易得，另外中已知三边长通过勾股定理易得,所以平面．（2）点B到平面PDQ的距离通过求得三棱锥的体积和面积即可，而,带入数据求解即可．【详解】（1）证明：在中，，，所以.所以是直角三角形，且，即.因为平面PAD，平面PAD，所以.因为，所以平面ABCD.（2）解：设.因为.，所以的面积为.因为平面ABCD，所以三棱锥的体积为，解得.因为，所以，所以的面积为.则三棱锥的体积为.在中，，，，则.设点B到平面PDQ的距离为h，则，解得，即点B到平面PDQ的距离为.【点睛】此题考察立体几何的证明，线面垂直只需证明线与平面内的两条相交直线分别垂直即可，第二问考察了三棱锥等体积法，通过变化顶点和底面进行转化，属于中档题目．19、（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）先证明平面，再证明平面平面.（Ⅱ）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系，利用向量法求棱与平面所成角的正弦值.【详解】解：（Ⅰ）∵平面，∴，∵，，，∴，∴，∴平面，又∵平面，∴平面平面.（Ⅱ）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系，则，，，，于是，，，设平面的一个法向量为，则，解得，∴，设与平面所成角为，则.【点睛】本题主要考查空间垂直关系的证明，考查线面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20、（1）（2）存在，最小值是．【解析】

（1）利用等比中项的性质列方程，将已知条件转化为的形式列方程组，解方程组求得，由此求得数列的通项公式.（2）首先求得数列的前项和，由列不等式，解一元二次不等式求得的取值范围，由此求得的最小值.【详解】（1）设等差数列的公差为（），由题意得化简，得．因为，所以，解得所以，即数列的通项公式是（）．（2）由（1）可得．假设存在正整数，使得，即，即，解得或(舍)．所以所求的最小值是．【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前项和公式，考查一元二次不等式的解法，属于中档题.21