2024年中考数学压轴题型（广东专用）专题08 反比例函数与几何图形的综合问题（教师版）

PAGE1PAGE专题08反比例函数与几何图形的综合问题通用的解题思路：K值的几何意义利用K值求图形的面积．2.反比例函数与几何图形的综合利用反比例函数的性质与几何图形的性质综合考查，同时考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，注意分类讨论．1．（2023·广东深圳·中考真题）如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则．【答案】【分析】过点C作轴于点D，由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解．【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示：

∵，，，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，∴，，∵，，∴，∴，∴点，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键．2．（2022·广东深圳·中考真题）如图，已知直角三角形中，，将绕点点旋转至的位置，且在的中点，在反比例函数上，则的值为．【答案】【分析】连接，作轴于点，根据直角三角形斜边中线的性质和旋转的性质得出是等边三角形，从而得出，即可得出，解直角三角形求得的坐标，进一步求得．【详解】解：连接，作轴于点，由题意知，是中点，，，，是等边三角形，，，，，，，，在反比例函数上，．故答案为：．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．3．（2024·广东珠海·一模）如图1，已知点，且a、b满足，的边与y轴交于点E，且E为的中点，双曲线经过C、D两点．(1)，；(2)求反比例函数解析式；(3)以线段为对角线作正方形（如图2），点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当点T在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．【答案】(1)(2)(3)，不发生改变，理由见解析【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值即可；（2）设，由，可知，再根据反比例函数的性质求出t的值即可；（3）连接、、，易证，故，推出，根据斜边上的中线得到，由此即可得出结论．【详解】（1）解：，，解得：，故答案为：；（2）由（1）可知：，，E为中点，，设，∵∴，∵点先向右移动1个单位，再向下移动2个单位，得到点，∴点先向右移动1个单位，再向下移动2个单位，得到点，，∵双曲线经过C、D两点，，，∴，∴；（3）的值不发生改变，理由：如图，连接、、，∵M是的中点，，∴是线段的垂直平分线，，四边形是正方形，，在与中，，（），，，，四边形中，，而，所以，，

因为，四边形内角和为，所以，，∴，即的值不发生改变．【点睛】本题考查了非负数的性质，待定系数法求反比例函数解析式，平行四边形的性质，正方形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，四边形的内角和，直角三角形的性质等知识点，有一定的难度，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点并能灵活运用．题型一K值的几何意义1．（2024·广东深圳·一模）如图，A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴于点，点在轴上，且，则的值为．

【答案】【分析】此题考查了求反比例函数的比例系数，设点A的坐标为，利用得到，即可得到答案．【详解】解：设点A的坐标为，点A在第二象限，，，，，是反比例函数的图象上一点，，故答案为：．2．（2024·广东深圳·一模）如图，在平面直角坐标系中，等腰的底边在轴的正半轴上，顶点在反比例函数的图像上，延长交轴于点，若，的面积为，则的值为．

【答案】【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形性质，反比例函数几何意义，过点作于点，证明，结合等腰三角形性质推出，进而得到，推出的面积，进而得到，根据反比例函数几何意义得到进行求解，即可解题．【详解】解：过点作于点，

，，，等腰三角形，，，，，，的面积为，的面积为，即，，，故答案为：．3．（2024·广东广州·一模）如图，平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，作直径，函数的图象经过点C，D为y轴上任意一点，则的面积为．【答案】5【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，切线的性质；根据反比例函数系数k的几何意义可得，由切线的性质可得轴，再根据三角形的面积公式列式求解即可．【详解】解：∵点C在函数的图象上，∴，∵与轴相切于点，∴轴，∴轴，∴，故答案为：5．题型二反比例函数与三角形的综合问题1．（2023·广东广州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，轴于点A，将向右平移得到'，双曲线交边于点，交边于点D．

(1)求k，a的值；(2)求点D的坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）用待定系数法求出k的值，然后把点的坐标代入解析式求出a的值；（2）根据平移可得，设的坐标为，过C点作轴于点E，即，进而即可求解.【详解】（1）解：把点代入得：，当时，，（2）设的坐标为，过C点作轴于点E，由平移可得，，即，则∴，解得：，∴坐标为，当时，，∴点D的坐标为．

【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，平移的性质，锐角三角函数，掌握平移的性质是解题的关键．2．（2023·广东茂名·一模）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形一腰分别与x轴交于A点，与y轴交于B点，已知、．

(1)求直线的函数解析式；(2)若顶点C恰好在反比例函数的图像上时，求k值；(3)把沿x轴向右平移a个单位后，点B恰好落在反比例函数的图像上，求a的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）过点C作x轴的垂线，垂足为H．先证（AAS）得，，从而有，于是根据待定系数法即可求解；（3）将点B向右平移a个单位后，得到，把代入，即可求解．【详解】（1）解：设直线的函数解析式，把，分别代入得解得：，∴；（2）解：过点C作x轴的垂线，垂足为H．

由题意可得：，．∴．∵轴．∴∴∴∵在和中∴（）∴，∵，∴∵点C在反比例函数图象上∴把，代入中，解得．（3）由（2）可知，反比例函数解析式为，将点B向右平移a个单位后，得到把代入中，则．【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数数反比例函数的解析式，求自变量的值，熟练掌握待定系数法求一次函数数反比例函数的解析式是解题的关键．题型三反比例函数与平行四边形的综合问题1．（2023·广东佛山·二模）如图，已知平行四边形中，点O为坐标原点，点，，函数的图象经过点C．

(1)求k的值及直线的函数表达式：(2)求四边形的周长．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据函数的图象经过点C，可以求得k的值，再根据平行四边形的性质即可求得点B的坐标，从而可以求得直线的函数解析式；（2）根据题目中各点的坐标，可以求得平行四边形各边的长，从而可以求得平行四边形的周长．【详解】（1）解：依题意有：点在反比例函数的图象上，∴，∵，∴，又∵轴，∴，设直线的函数表达式为，∴，∴，∴直线的函数表达式为；（2）解：如图，作CD⊥OA于点D，

∵，∴，在平行四边形中，，，∴四边形的周长为：，即四边形的周长为6+2．【点睛】本题考查求反比例函数解析式，求一次函数解析式，勾股定理，平行四边形的性质等，解题的关键是通过平行四边形的性质求出点B的坐标．2．（2023·广东佛山·三模）如图，以平行四边形的顶点O为原点，边所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A、C的坐标分别是，过点A的反比例函数的图象交于D．(1)点B的坐标为______．(2)点D是的中点吗？请说明理由；(3)连接，求四边形的面积．【答案】(1)(2)理由见解析(3)四边形的面积为【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，平行四边形的性质，反比例函数的解析式，一次函数的解析式．（1）根据平行四边形的性质即可求出B点坐标；（2）由点A的坐标进可得出反比例函数的解析式，利用待定系数法求出直线的解析式，即可求出D点坐标，即可得出结论；（3）由（2）知点D为的中点，的面积平行四边形的面积，即可求出四边形的面积．．【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，A、C的坐标分别是，∴，∴点B的坐标为：；（2）解：把点代入反比例函数得：，∴反比例函数的解析式为：；设直线的解析式为：，把点代入得：，解得：，∴直线的解析式为：，解方程组得：或（不合题意，舍去），∴点D的坐标为：，即点D为的中点；（3）解：如图，连接，点D为的中点，的面积平行四边形的面积，∴四边形的面积平行四边形的面积的面积；四边形的面积为．题型四反比例函数与矩形的综合问题1．（2023·广东肇庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、D在坐标轴上，其坐标分别为，，对角线轴．(1)求直线对应的函数解析式(2)若反比例函数的图象经过的中点M，请判断这个反比例函数的图象是否经过点B，并说明理由．【答案】(1)；(2)点B不在反比例函数图象上，理由见解析．【分析】本题主要考查的是矩形的性质、反比例函数的性质、全等三角形的性质和判定：（1）过点D作，垂足为E．先证明，依据相似三角形的性质可求得，从而可求得的长，故此可得到点C的坐标，设直线的解析式为，将点C，D的坐标代入求解即可；（2）过点D作，过点B作．先证明，从而可求得点B的坐标，然后再求得反比例反函数比例系数k的值，然后根据点B的坐标是否符合函数解析式进行判断即可．【详解】（1）如图所示：过点D作，垂足为E．∵轴，∴．∴．又∵为矩形，∴．∴．又∵，∴．∴，即，解得．又∴,∴．设直线的解析式为，将点，的坐标代入得：解得．∴直线的解析式为．（2）解：过点D作，过点B作．∵．∴．∵，∴．在和中，∴．∴．∴．∵，，∴中点M的坐标为．∴．∵，∴点B不在反比例函数图象上．2．（2023·广东云浮·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在坐标轴上，且，连接．反比例函数的图象经过线段的中点D，并与分别交于点E、F．一次函数的图象经过E、F两点．(1)分别求出一次函数和反比例函数的表达式；(2)点P是x轴上一动点，当的值最小时，求点P的坐标．【答案】(1)反比例函数表达式为，一次函数的解析式为(2)【分析】（1）由矩形的性质及中点坐标公式可得，从而可得反比例函数表达式；再求出点、坐标可用待定系数法解得一次函数的解析式；（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时最小．求出直线的解析式后令，即可得到点坐标．【详解】（1）解：四边形为矩形，∴，，，．∴由中点坐标公式可得点坐标为，反比例函数的图象经过线段的中点，，∴反比例函数表达式为．在中，令，则；令，则．∴点和点F的坐标为，．把，代入，得：，解得：，∴一次函数的解析式为．（2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时最小．如图．由坐标可得对称点，设直线的解析式为，代入点、坐标，得：，解得：．∴直线的解析式为，在中，令，则．点坐标为．【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质，反比例函数图象与一次函数图象的交点，中点坐标公式，矩形的性质，待定系数法求函数解析式，最短路径问题（将军饮马）．解题关键在于牢固掌握待定系数法求函数解析式、将军饮马解题模型．3．（2023·广东清远·三模）如图，在矩形中，，，F是上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E．(1)当F为的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标．(2)当k为何值时，的面积最大，最大面积是多少？【答案】(1)，(2)时，最大为【分析】（1）先利用坐标与图形求得点F坐标，再利用待定系数法求解k值即可求解；（2）易得，，利用坐标与图形和三角形的面积公式得到，利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：在矩形中，，，∴，∵F为的中点，∴，∵点F在反比例函数的图象上，∴，∴该函数的解析式为，把代入中，得，∴；（2）解：由题意知E，F两点坐标分别为，，∴，∵在边上，不与A，B重合，∴，则，∴当时，S有最大值，最大值为．【点睛】本题考查矩形的性质、反比例函数的图象与性质、坐标与图形、待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解答的关键．4．（2023·广东汕头·三模）如图，双曲线的图像经过矩形的边的中点，若且四边形的面积为．

(1)求双曲线的解析式；(2)求点的坐标：(3)若点为轴上一动点，使得为以为底边的等腰三角形，请直接写出点的坐标【答案】(1)(2)当时，；当时，(3)点的坐标为或【分析】（1）如图所示，连接，设矩形的长，宽，可得的坐标，分别表示出的面积，根据，，可求出点横坐标，纵坐标的关系，代入反比例函数解析式即可求解；（2）设，可得，在中，根据勾股定理可的的关系，联立方程即可求解；（3）根据题意，分类讨论，以为底，作的垂直平分线，运用相似三角形求出与轴的交点，由此即求出的直线解析式，再根据与轴的交点，图形结合即可求解．【详解】（1）解：如图所示，连接，设矩形的长，宽，

∴，，，∵分别是边中点，∴，，∴，，，∴，∵，∴，即，则∵点在反比例函数图像上，且反比例函数图像在第一象限，∴，∴，∴，∴双曲线的解析式为．（2）解：设，∵，∴∴①，在中，根据勾股定理得：，即②，联立①②解得：或，当时，；当时，．（3）解：①当时，以为底边的等腰三角形，∴作的垂直平分线，交轴于点，交于点，交轴于点，如图所示，

∵，，∴点的横坐标为，纵坐标为，即，且，在中，∵，，∴，∴，，，∴，∴，设所在直线的解析式为，，，∴，解得，，∴直线的解析式是为，∵直线与轴交于点，∴令，得，∴点的坐标为；②当时，以为底边的等腰三角形，∴作的垂直平分线，交轴于点，交于点，交轴于点，如图所示，

∴，，，，，∴，在中，∵，，∴，∴，，，∴，∴，设所在直线的解析式为，，，∴，解得，，∴直线的解析式是为，∵直线与轴交于点，∴令，得，∴点的坐标为；综上所述，点的坐标为或．【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合，掌握坐标与图形的性质，反比例函数与几何图形的性质，等腰三角形的性质，待定系数法求一次函数解析式等知识是解题的关键．题型五反比例函数与菱形的综合问题1．（2023·广东江门·二模）如图，已知，，，，过作轴的垂线交反比例函数的图象于点，连接，．(1)证明：四边形为菱形；(2)求此反比例函数的解析式．【答案】(1)见解析；(2)；【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形，再根据勾股定理得到，根据菱形的判定定理即可得到结论；（2）过点作轴于，根据矩形的性质得到，根据菱形的性质得到，求得，待定系数法即可得到结论；【详解】（1）证明：由题意得，，，，四边形是平行四边形，，，，，，，，在中，，，四边形是菱形；（2）解：过点作轴于，则四边形是矩形，，，四边形是菱形，，，，反比例函数的图象于点，，，此反比例函数的解析式为；【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，待定系数法求反比例函数解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．2．（2023·广东珠海·一模）如图1，在平面直角坐标系中，点C在x轴负半轴上，四边形为菱形，反比例函数经过点，反比例函数经过点B，且交边于点D，连接．(1)求直线的表达式；(2)连接，求的面积；(3)如图2，P是y轴负半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，交反比例函数于点N．在点P运动过程中，直线上是否存在点E，使以B，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)点N的坐标为或【分析】（1）先求出，得出，根据菱形性质得出，求出点B的坐标为，点C的坐标为，然后用待定系数法求出直线的解析式即可；（2）根据B点坐标求出k的值，再求出点D坐标，然后利用求出结果即可；（3）分两种情况讨论，分别画出图形，根据平行四边形的性质求出点N的坐标即可．【详解】（1）解：∵反比例函数经过点，∴，解得：，∴，∴，∵四边形为菱形，∴，∴点B的坐标为，点C的坐标为，设直线的解析式为，把，代入得：，解得：，∴直线的解析式为．（2）解：连接，如图所示：∵，∴，∴，令，解得：或，∴点D的横坐标为，∴，∴．（3）解：存在；理由如下：当四边形为平行四边形时，如图所示：∴，即，解得：，把代入得：，∴；当四边形为平行四边形时，如图所示：∵，轴，∴轴，∴此时，把代入得，，∴此时；综上分析可知，点N的坐标为或时，以B，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形．【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，待定系数法求一次函数解析式，菱形的性质，平行四边形的性质，解题的关键是作出辅助线，画出相关图形，利用数形结合思想解决问题．题型六反比例函数与正方形的综合问题1．（2024·广东汕头·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数在第一象限的图象经过点C，已知点，将线段绕点C顺时针旋转，点A的对应点恰好落在y轴点处，过点C作轴于点D，作轴于点E．(1)求证：四边形为正方形；(2)求反比例函数的解析式．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】本题考查反比例函数与几何综合题，涉及全等三角形的判定与性质，正方形的判定，待定系数法等知识，运用数形结合思想解题是解题的关键．（1）先证明四边形为矩形，再证明，得出从而得证；（2）先得出点C的坐标，再运用待定系数法求解即可．【详解】（1）证明：∵轴于点D，作轴于点E．，∴四边形为矩形，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴，∴四边形为正方形；（2）设正方形的边长为a，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴点，把点代入得：，解得：，∴反比例函数的解析式：．2．（2024·广东广州·一模）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数，在第一象限的图象经过正方形的顶点．(1)求点的坐标和反比例函数的解析式：(2)若点为直线上的一动点（不与点重合），在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)点的坐标为；(2)存在，或或【分析】（1）过点作轴于点，证明，根据全等三角形的性质分别求出、，求出