2024年中考数学压轴题型（江苏专用）专题03 代数与几何最值题（选择填空压轴题）（教师版）

PAGE1PAGE专题03代数与几何最值题（选择填空压轴题）通用的解题思路：代数与几何最值题是数学中常见的题型，涉及的知识点广泛，解题思路灵活多样1.代数方法：配方法：通过配方将表达式转化为完全平方的形式，从而找到最值。判别式法：利用二次方程的判别式判断函数值，从而找到最值。不等式法：利用基本不等式来求解最值。换元法：通过换元简化表达式，便于求解最值。2.几何方法：图形性质：利用图形的几何性质（如对称性、凸凹性等）来求解最值。坐标法：通过建立坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后利用代数方法求解最值。面积法：通过计算图形的面积来求解最值，常用于三角形、四边形等图形。角度法：通过计算角度或利用角度的性质来求解最值，常用于与角度有关的几何问题。3.综合方法：数形结合：将代数与几何相结合，利用代数方法简化几何问题，或利用几何方法直观解释代数问题。分类讨论：根据问题的不同情况进行分类讨论，分别求解最值后再进行比较。特殊值法：通过取特殊值来简化问题或验证答案的正确性。在解题过程中，还需要注意以下几点：理解题意：首先要准确理解题目的要求和条件，避免误解或遗漏信息。转化问题：尝试将问题转化为更熟悉或更简单的形式，便于求解。检验答案：求解完成后，要检验答案是否符合题目的要求和条件，确保答案的正确性。总之，代数与几何最值题的解题思路多种多样，需要根据具体问题的特点选择合适的方法。同时，还需要注重基础知识的积累和解题经验的总结，不断提高解题能力。1．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，在四边形中，，，，若线段在边上运动，且，则的最小值是（

）

A． B． C． D．10【答案】B【分析】过点C作，过点B作，需使最小，显然要使得和越小越好，则点F在线段的之间，设，则，求得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可求解.【详解】解：过点C作，

∵，，∴，过点B作，∵，∴四边形是矩形，∴，需使最小，显然要使得和越小越好，∴显然点F在线段的之间，设，则，∴，∴当时取得最小值为．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数应用，矩形的判定和性质，解直角三角形，利用二次函数的性质是解题的关键．2．（2022·江苏泰州·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE一边作正方形DEFG.设DE=d1，点F、G与点C的距离分别为d2，d3，则d1＋d2＋d3的最小值为(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】连接CF、CG、AE，证可得，当A、E、F、C四点共线时，即得最小值；【详解】解：如图，连接CF、CG、AE，∵∴在和中，∵∴∴∴当时，最小，∴d1＋d2＋d3的最小值为，故选：C．【点睛】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，正确构造全等三角形是解本题的关键．3．（2023·江苏镇江·中考真题）已知一次函数的图像经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心、r为半径作．若对于符合条件的任意实数k，一次函数的图像与总有两个公共点，则r的最小值为．【答案】2【分析】由的图像经过第一、二、四象限，可知，由过定点，可知当圆经过时，由于直线呈下降趋势，因此必然与圆有另一个交点，进而可得r的最小值是2．【详解】解：∵的图像经过第一、二、四象限，∴，随的增大而减小，∵过定点，∴当圆经过时，由于直线呈下降趋势，因此必然与圆有另一个交点，∴r的临界点是2，∴r的最小值是2，故答案为：2．【点睛】本题考查了一次函数图像，直线与圆的位置关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．4．（2023·江苏连云港·中考真题）若（为实数），则的最小值为．【答案】【分析】运用配方法将变形为，然后根据非负数的性质求出的最小值即可．【详解】解：===∵为实数，∴∴的最小值为,故答案为：．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时注意配方的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值．5．（2021·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，已知点，且实数m，n满足，则点P到原点O的距离的最小值为．【答案】【分析】由已知得到点P的坐标为(，)，求得PO=，利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：∵，∴，则，∴点P的坐标为(，)，∴PO=，∵，∴当时，有最小值，且最小值为，∴PO的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了点的坐标，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．1．如图，的三边的长度分别用表示，且满足，点在边上，将沿折叠，使点落在点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，折叠的性质，点和圆的位置关系，三角形的三边关系，由非负数的性质可得，，进而由勾股定理的逆定理可得为直角三角形，又由折叠可得，，由此判断出点在以点为圆心，为半径的圆上，由三角形三边关系可得，即可求解，判断出点在以点为圆心，为半径的圆上是解题的关键．【详解】解：∵，∴，，，∴，，∴，，∵，∴为直角三角形，，由折叠可得，，，∴点在以点为圆心，为半径的圆上，如图，∵，∴，∴的最小值为，故选：．2．如图，抛物线与x轴交于点．点，是抛物线上两点，当时，二次函数最大值记为，最小值记为，设，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次函数的图象性质，先求出二次函数的对称轴，结合开口方向再分类讨论，当点P，Q均在对称轴左侧；当点P在对称轴左侧，Q在对称轴右侧时；若点P距对称轴的距离小于点Q距对称轴的距离时，分别列式计算，即可作答．【详解】解：抛物线对称轴为直线，当点P，Q均在对称轴左侧时，有，，，则，∵m随t的增大而减小，，∴当点P在对称轴左侧，Q在对称轴右侧时①若点P距对称轴的距离大于点Q距对称轴的距离时，有，，，则，对称轴：，在对称轴左侧m随t的增大而减小，∴②若点P距对称轴的距离小于点Q距对称轴的距离时，当时，，，则，对称轴：，在对称轴右侧m随t的增大而增大，∴，∵，∴点P，Q不可能均在对称轴右侧．综上可得：，故答案为D．3．如图，在中，，，以点为圆心、为半径的圆上有一个动点．连接、、，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查求最值问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理．在上取一点，使得，先证，将转化为，从而求得的最小值．【详解】解：如图，在上取一点，使得，∵，，，∴，，则，∵，∴，∴，∴，当共线时，的值最小，最小值为，∴，在中，，∴的最小值为．故选：B．4．如图，正方形边长为4，点分别在边上，且满足交于点，分别是的中点，则的最小值为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由可得，从而由角的关系可知，故点在以为直径的半圆上移动，如图2，连，在上截取，连，得，从而得的最小值为线段的长度，如图3，作，垂足为，求出，则的最小值为．【详解】解：∵四边形是正方形，∴又∴，∴又∴∴即，∴点在以为直径的半圆上移动，如图，连，在上截取，连，

∵正方形边长为4，∴又，∴,，而的最小值为线段的长度，如图，作，垂足为，则四边形是正方形，

∴∴∴，∴的最小值为．故选：C【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解决本题的关键是证明，而的最小值为线段的长度，由勾股定理求出．5．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（

）．A．或4 B．或 C．或4 D．或4【答案】D【分析】本题主要考查二次函数的性质，分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答．【详解】解：二次函数的对称轴为：直线，（1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大，当时，取得最小值，，；（2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小，当时，取得最小值，，．故选：D．6．把二次函数：的图象作关于轴的对称变换，所得图象的解析式为：，若取最小值，则此时．【答案】2【分析】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数的性质．由变换后解析式可得变换前解析式，再展开，对应b和c，进而求解．【详解】解：变换后图象解析式为，抛物线顶点坐标为，原函数图象解析式为，∴，∴故答案为：2．7．如图，正方形中，，点为对角线上的动点，以为边作正方形，点H是上一点，，连接，则的最小值为．【答案】【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，正确判断点G的轨迹是解题关键．根据正方形的性质，证明，进而推断点G的轨迹是射线，根据垂线段最短可知，当时，有最小值，根据特殊角的正弦函数值求出的长即可．【详解】解：∵四边形是正方形，四边形是正方形，∴，，，，∴，∴，∴，∴点G的轨迹是射线，根据垂线段最短可知，当时，有最小值，∵，∴，∴，故答案为：．8．如图，在平面直角坐标系中，点、，点C在x轴上运动，点D在直线上运动，则四边形周长的最小值是．

【答案】/【分析】本题主要考查轴对称的性质及坐标中两点之间的距离，勾股定理等，理解题意，作出相应图象是解题的关键．作关于的对称点，作关于x轴的对称点，连接，交于点，交x轴于点，根据轴对称的性质得到四边形周长的最小值是，利用勾股定理算出，即可解题．【详解】解：作关于的对称点，作关于x轴的对称点，连接，交于点，交x轴于点，

两点之间线段最短，即最短，由轴对称的性质得到，，四边形周长的最小值为，即为，点、，，，，四边形周长的最小值是，故答案为：．9．在中，，，．点为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为．【答案】/【分析】本题考查了动点与隐圆条件下的点圆最值，涉及到点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等基础知识点．根据，，作的外接圆，连接，当、、三点共线时，的值最小．将问题转化为点圆最值．可证得为等腰直角三角形，，同样可证也为等腰直角三角形，，由勾股定理可求