第1讲 形式各异最值题（含解析）

【例1】已知函数的最大值是m,最小值是n,则m+n=的值域.【例5】求函数的最大值.f(x)=sin2xcosx的最大值为则的最小值是【例8【例8】求函数的最大值.【例9】求函数的值域.【例10】已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+【例11】设a,b为正实数,则的最小值为的取值范围是()【例13】记min{a,b}为a,b两数的最小值.当正数x,y变化时t=min,则t的最大值为。1．已知函数.x<2,若关于x的方程f(x)=kx(k>0)有且仅有四个根，设其最大值为t,则函数t2-6t+7的值域为。-3x的最大值。.3．已知函数的最大值是M,最小值为N,则M+N=。4．求函数的值域。7．求f的最大值,并求出此时k的值。若方程f(x)=b有且仅有两个不相等实根,则实数b的取值范围为。9．函数f的值域为。24415．已知a,b都为正实数,且则的最大值为。H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=mi值,min{p,q}表示p,q中的较小值）,记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B的值为()A.16B.-16C.a2-2a-16D.a2+2a-163-b3=1,求a-b的取值范围。【解析】因为f所以函数f(x)的图象关于点0,),|成中心对称,所以f(x)max+f(x)min=1,即m+n=1.【点拨】研究函数的对称性,利用函数的对称中心解题.其中是R上的奇函数,故函数f(x)的图象关于点成中心对称,所以f(x)max+f(x)min=g(-x)+g(x)++=1,即m+n=1.【点拨】构造奇函数﹐利用奇函数的性质解题.【赏析】本题考查了函数图象的中心对称性,若函数f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=2b,则函数f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称,因此两个解法均从函数的对称性入手,不同的是解法1直接计算f(x)+f(-x),得到其结果为定值,进而得出函数的对称中心;解法2则对f(x)进行变形,利用函数和G(x)=(x∈R)是奇函数的特征得出f(x)的对称中心.【解析】其中y>0.利用等差数列的等差中项公式可知,由(3),(4)可得-22d2,即0d21.又因为y=·8-4d2是构造等差数列解题.,移项得y2-4=2所以.平方,化双根号为单根号,利用复合函数的性质解题.(4,.(4,.【点拨】由隐性条件(·1-x)2+(·x+3)2=4类比同角三角函数平方关系进行三角换元,利用三角函数有界性解题.【解法4】设·1-x=ycos2θ,·x+3=ysin2θ,所以1-x=y2cos4θ,x+3=y2sin4θ.所以4=y2cos4θ+y2sin4所以=cos4θ+sin4θ=2（也可这样处理=cos4θ+sin4θ=1-sin22θ∈【点拨】由条件等式出发﹐进行升幂三角换元﹐将问题转化为二次函数与三角函数的复合函数求值域问题.+v的最大值M与最小值m的比值."当直线u+v-y=0与圆u2+v2=4在第一象限相切时,y取到最大值当直线u+v-y=0由原点移动到刚好与圆弧u2+v2=4(u0,v0)相交时,y取到最小值m=2.如图1-1所示故.【点拨】采取双换元,注意隐性关系﹐将问题转化为动直线与定曲线的位置关系问题求解.b=(p,q)的终点表示圆心在原点,半径为2的圆在第一象限部分上的点(如图1-2,包含圆与x轴正半轴和y轴正半轴的交点).所以a,b的夹角范围为,所以y的最大值的最小值m=2，故.【点拨】构建向量,利用向量的数量积求解.所以-2z2,从而0z24,又因为y2+z2=8,所以y2=8-z2,所以4y28, 又y0,所以2y22,所以y的最大值的最小值m=2.故.【点拨】构造对偶函数,利用两个函数的关系解题.min所以.【点拨】利用导数﹐结合单调性解题.【解法9】由柯西不等式当且仅当时等号成立.所以当x=-1时,y有最大值.【点拨】利用柯.西不等式解题.根据该性质,记,的平均数为,则s2=0,所以0,所以y28.故y有最大值,【点拨】构造一组数据,利用方差性质求解.【赏析】从本题的特殊性考虑﹐由“求根式和的值域问题”想到去根号﹐首选平方法(如解法2),平方后必须注意自变量的取值范围(平方后会改变自变量的取值范围),然后利用二次函数求值域的方法求解.其次就是换元法去根号(如解法5),这里注意到两个被开方数之和为常数﹐故换元后可变为圆的问题﹐转化为直线与圆的位置关系.当被开方数之和不为常数﹐需要通过消元找到两个新变量之间的关系才可以求解.最常用的换元方法还有三角换元法(如解法3、4两种方法都基于两部分的值域是相同的,才可以这样换元),解法3实际上也是在观测出被开方数之和为定值4后的换元方法﹐这里由于两个根式都为非负数,因而三角换元时需要对角θ的范围加以限制然后转化为三角函数间题求值域.解法4的换元是在换元时考虑到非负数直接设成平方的形式,换元后要消去x得到y与6的关系(配方法)求解(实际上这里还有一次换元的思想).构造向量也是解题中常用的方法(如解法6).从所求函数的表达式联系到向量数量积的形式,因而设两个向量,由y=a.b注意到a为固定向量,向量b的长度为定值,且在第一象限内,a与b的夹角范围可以确定,因而可以直接利用向量数量积的定义来求值域.构造对偶函数(解法7)也是解决本题的方法之一,利用两个函数之间的关系求解.这里构造的x+3-为增函数,因而容易求出值域.利用导数求解(如解法8)也是求函数值域的常用方法,先利用导数研究函数的单调性求出极值点,再比较端点的函数值,得出最值,即为函数的值域.柯西不等式(如解法9)在求最值中也有它的独特之处,这里用柯西不等式求出最大值,还要用其他方法求最小值.对于本题来说还可以利用统计学中方差的性质求解,需要构造相关的数据来解題,构造等差数列也可以解决本题,请同学们自已体会.当然本题的多种解法的来源都是在观察后,对表达式进行适当的变形转化或换元,这也说明解题之前应该先观察分析题目的条件,再进行方法的选择.【解析】当x>-6时,f,当x<-时,f,(x)<0.所以f(x)即函数f(x)的最小值为·i6.【点拨】利用导数﹐研究函数的单调性.2-12(8-t2)0,ts6(负值舍去).即函数f(x)的最小值为·i6.【点拨】平方后转化为一元二次方程,利用其判别式解题.从而问题等价于定点A(0,-2)与单位圆在y轴右侧圆弧上的动点B连线的斜率的·倍,结合图1-3可知,当直线AB与圆弧相切时斜率最小,此时上OAB=,【点拨】三角换元,利用连线的斜率,转化为直线与圆相切解题.如图1-4,当直线t=2a+b与双曲线右支相切时,t有最小值,将直线方程与双曲线方程联立消去a得到关于b的一元二次方程,利用判别式非负得到t的最小值为·.【点拨】换元后﹐利用双曲线与直线的位置关系解题.【点拨】利用柯西不等式解题.【赏析】本题与上一题都是求函数值域,因而可利用导数法(解法1)求解,该方法属于通法;解法2是采用平方法去掉根号,再将x视为主元转化为一元二次方程有解的问题,利用判别式构建关于y的不等式而得解.用判别式法解题时需要注意自变量的范围确保等价转化,否则会扩大y的范围,这里x取任意实数因而可以只考虑判别式,如果不是任意实数,实际上转化为一元二次方程在某区间上有解问题,胔要增加其他条件的约束才能得到正确的结果,不能只考虑判别式;解法3是通过三角换元将被开方式转化为完全平方形式去根号的,使用此法要注意换元前后的变元的取值范围确保一致,经过这样处理后就可以采用数形结合的方法或采取主元法利用三角函数有界性求解;解法4是将单变元转化为多变元间题,这样有利于将问题转化为图形位置关系问题采取数形结合法解题;解法5利用柯西不等式配劮是关键,对思维能力要求较高,配凑可以在明确目标后采取待定系数法诵讨比较系数来完成.的值域.【解析】【解法1】如图1-5,设P(cosx,sinx),Q(-2,0),则动点P的轨迹是单位圆x2+y2=1,问题转化为求定点Q到单位圆上任意点P的连线斜率的取值范围.当直线PQ与单位圆相切时分别取最大值与最小,故即所求函数的值域为.右边结构形式,类比直线斜率坐标公式,将间题转化为定点（一2,0)与单位圆上连线的斜率取值范園问题,利用几何法求解.【解法2】变形为2y+ycosx=sinx,sinx-ycosx=2y,由三角函数的有界性得|sin(x+φ)|1,解得-y.【点拨】利用辅助角公式,结合三角函数的有界性求解.整理成关于t的二次方程yt-2t+3y=0.由Δ=4-12y0,解得-3y3.(化为y=之后,亦可以用均值不等式或用导数来求解.)【点拨】利用三角函数万能公式将问题转化为一元二次方程,再利用其判别式求解.所以当+2kπ时,y取最大值【点拨】直接用导数﹐研究单调性解题.先将y=两边同时平方,再将三角函数化异名为同名,将问题转化为分式函数与三角函数的复合函数问题,利用换元法结合均值不等式求解.·y2【点拨】构造向量,利用向量数量积不等式解题.【赏析】利用导数研究函数单调性(解法4)是求函数值域问题的常用方法,不过也不能见到值域题就用导数求解,有时求导数就不容易了，求极值点更难.所以还需考虑其他方法.就本题来说考虑分式的形式用斜率的几何意义,利用数形结合思想解题（解法1),设P(cosx,sinx),Q(一2,0),问题转化为求定点Q到单位圆上任意点P的连线斜率的取值范围,当直线PQ的范围,两种方法的目的只有一个:消去式子中的x,得到关于y的不等式;由万能公式(解法3)可以把三角函数的不同类型统一为同名三角函数形式,进一步利用一元二次方程有解时判别式非负来解题;解法5把表达式平方后,转化为cosx的表达式,通过换元利用均值不等式求解,这也是消元思想的体现.【例5】求函数y=(k>0)的最大值.【解析】2·i2,当且仅当k=时取等号.【点拨】分子移入根号内后﹐分离常数﹐利用均值不等式解题.所以,所以2,当且仅当k=时取等号.【点拨】借助公式a2+b2解题.【点拨】换元后﹐利用二次函数求最值.又k>0,所以4y216≠0.以上方程对于任意的实数k有解,所以上式的Δ=2564(4y216)(y24)0,即0y28, 【点拨】转化为一元二次方程﹐利用其判别式求解.【赏析】本题的分式形式中分子不含根号,分母含有根号,可将分子平方后移到根号内.对根式内的式子进行分离常数(解法1)(2k)^{2}+1^{2}$,分子为2(2k+1),因而想到利用平方和与均值不等式a2+b2利用不等式的性质求解;把函数看成方程,两边平方后去掉分母,得到关于k的一元二次方程,利用判别式也可以求解(解法4),严枚地说方程应该有正数解,需要给出有一个正䅐和两个正根的分类讨论情况(请读者自已完善).【例6】函数f(x)=sin2xcosx的最大值为【解析】所以y,故函数f(x)的最大值为.【点拨】对函数式两边平方，配凑出均值不等式结构.【解法2】因为f(x)=sin2xcosx=2sinxcos2x,【点拨】代数换元后,构造函数﹐利用导数求函数最值.【赏析】【解法1】利用均值不等式求最值,平方后可以奏配出因式的和为定值,但在使用时要注意“一正、二定、三相等”.【解法2】利用换元构造函数求最值,这是三角函数类型求最值的常用方法,先统一正、余弦,再还原构造函数,利用导数法求最值,主要体现了换元和构造的数学解题思想.【解法2】对学生要求较低,学生也容易想到,但是【解法1】不仅要平方,同时要配凑出三元均值不等式,这对学生能力的要求较高.,则的最小值是【解析】2由重要不等式得0<ab易知2ab关于ab在上单调递减, 【点拨】采取双换元a=sinx,b=cosx,注意隐性关系a2+b2=1,将问题转化为求对称式的最小值问题,利用基本对称式表示,最后转化为ab的代数式,从整体角度利用函数的单调性求最小值.所以(sinxcosx+sinxcos,当且仅当sinx=cosx,即x=时等号成立.【点拨】联想三角恒等式sinx2+cosx2=1,配凑出柯西不等式结构.当且仅当sinx=cosx,即x=时等号成立.【点拨】结合sin2x+cos2x=1添加常量，配凑基本不等式结构.法3】利用配凑,但都要用到sin2x+cos2x=1这个恒等式;【解法2】是利用柯西不等式求最值,需要合理搭配,才能实现等号的成立.【解法1】、【解法3】对学生的要求较低,属于通性通法.【解析】(2所以y2,则y.【点拨】三角换元后平方、换元﹐转化为函数问题，利用导数法求最值.【解法2】因为f(x)=x(1+)是奇【点拨】分析函数的性质﹐缩小区间﹐利用导数法求最值.22,从而【点拨】利用奇函数性质缩小研究范围﹐然后换元,平方有理化后利用均值不等式求解.【赏析】【解法1】是用三角换元法求最值,这是无理型函数求㬚值的常用方法,根据换元后的结构选择合适的方法求最值.【解法2】是结合函数的奇偶性利用导数法求最值,此法需要关注研究范围的变化.【解法3】是部分换元后配凑均值不等式求最值，灵活性较高【解析】f当且仅当,即x=1时等号成立.所以函数f(x)的值域为【点拨】转化为根式函数与分式函数的复合函数形式,然后利用导数法求解,但在转化时要对移入根号内的式子的值进行讨论.令x=tanθ利用tan2a+1=对问题中的x采取三角换元,利用三角函数有界性解题.【解可知<θπ且θ≠,【点拨】构造向量﹐利用向量夹角公式把所求式转化为三角函数问题.设P,如图1-7.当x所以可得的左边形式入手,类比斜率坐标公式,将问题转化为定点与定曲线上点的连线斜率取值范围问题.+2m+2,m所以【点拨】分式分母换元,转化为一元二次函数问题.【赏析】【解法1】、【解法5】基本属于同一类方法,通过分子或分母换元,利用均值不等式求最值,求解时需注意定义域的变化或变量的正负.【解法2】利用三角换元结合三角函数的有界性求最值.【解法3】从函数结构出发构造向量的数量积,利用向量的夹角求最值,灵活性较高.【解法4】仍是从函数结构出发,构造函数式的几何意义,结合图象,加以求解.求解过程中体现了分类讨论、换元构造、数形结合等方法,考查了推理和计算能力.【例10】已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a【解析】【解法1】由a+b+c=0得b+c=-a,将式子两边平方得b2+c2+2bc=a2,点-拶再把a2+b2+c2=1代人可得2bc=2a2-1,此时用不等式b2+c22bc放缩可得1-a22a2-1,解得-a,所以a的最大值是.【点拨】先利用等式消元﹐再结合基本不等式转化为关于a的不等式.【解法2】由a+b+c=0移项平方得a2=(b+c)2,代入a2+b2+c2=12+,解得-b+c.故a的最大值是.【解法3】将a+b+c=0两边平方后得a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0,继续消元,将c=-a-b代入化简,并将含有b的式子分离到一边,(2,2得2a2-1=-2b(a+b),而-2b(a+b)2×(|-b+a+b)|2=(2,2即2a2-1此时等号成立的条件是a=-2b=-2c), 所以a的最大值是.【点拨】对条件式平方﹐整体代入后消元﹐结合基本不等式转化为关于a的不等式.【解法4】将a+b+c=0两边平方后得a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0,将c=-a-b代人化简,得2a2+2b2+2ab-1=0,(2,22即2a2-1=-2b2-2ab=-2(|b+a)|2+(2,22【解法5】将c=-a-b代人a2+b2+c2=1,消去c得2b2+2ab+2a2-1=0,因为这个关于b的一元二次方程有实数解,所以Δ=(2a)2-4×2×(2a2-1)0,解得-a,所以a的最大值是.【点拨】利用已知条件代入消元﹐主元法结合判别式解决问题.【解法6】由a2+b2+c2=1,a+b+c=0,消去c得a2+b2+ab-=0,当b<-时,f,(b)<0;当b>-时,f,(b)>0.因为f(b)=b2+ab+a2-有零点,所以min=f0,所以-6,所以a的最大值是.【点拨】代入消元后﹐转化为函数有零点问题.【解法7】由a+b+c=0得b+c=-a,平方代人a2+b2+c2=1,得b2+c2+bc=,即bc=(b+c)2-=a2-,可将b,c看作方程x2+ax+a2-=0的两根,(2,333所以Δ=a2-4(|a2-1)|0,解得-6a6,所以a的最大值是(2,333【点拨】利用条件构造以b,c为根的一元二次方程,利用其判别式解决问题.【解法8】将a+b+c=0两边平方后得a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0,不妨设abc=m,则a,b,c是方程x3-(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x-abc=20的三个根.设f(x)=x3-1x-m,下面求函数f(x)的零点的最大值.2=x2=-6时,函数f的极大值点在x轴上,即m=-时,a取得最大值.【点拨】-a2sin1-a2cosθ+1-a2sinθ=0,所以-a,所以a的最大值是.【点拨】【解法10】设a=cosθ,b=sinθcosφ,c=sinθsinφ,依题意可知a=cosθ>0,所以cosθ+sinθcosφ+sinθsinφ=0,所以cosθ+sinθsinφ+),|=0,【点拨】b2+c2,所以a22(1-a2),解得a2,所以-a,故a的最大值是.【点拨】构造向量,利用向量数量积不等式解决问题.【解法12】用x,y替换b,c,则有x+y=-a,x2+y2=1-a2.点(x,y)同时满足两个式子,说明该点既在直线上,又在圆上.故圆心O到直线l的距离d不大,所以-a.当直线l与圆O相切时,a分别取得最大值和最小值.由此可知a的最大值是 .解贲名此安徽刘志勇【点拨】【解法13】设A(a,a2),B(b,b2),C(c,c2),则A,B,C三点都在函数y=x2的图由题设易知三点不全重合.当a,b,c互不相等时,△ABC的重心为设BC的中点为,易得D, 当b=c即B,C两点重合时,a的最大值是. 综上可知,a的最大值为.【点拨】222考虑到求a=-(b+c)的最大值,所以$b,c$为负数.原问题等价于:在△AB+AC的最大值.根据正弦定理得23所以AB+AC=-b-c=23,bc取得最大值,故a的最大值是.【点拨】消去a后﹐联想到余弦定理的结构,构造三角形,利用正弦定理解决问题.,所以a,当且仅当b2=c2时,a取得最大值.【点拨】利用柯西不等式把条件式化归为关于α的不等式.所以a21,所以a,所以a的最大值为.【赏析】本题的16种方法,总的来说分为六类:代数法、三角换元法、向量法、几何法、柯西不等式法、等差中项法.其中代数法主要体现在消元,可以是均值不等式消元,也可以是判别式消元,主要体现在灵活的性质化三元等式问题为一元不等式问题;柯西不等式法和等差中项法都是为了消元以实现最值的求解.学生要熟练掌握函数的最值问题,有选择地使用各类方法.【例11】设a,b为正实数,则的最小值为【解析】【点拨】分式分母换元后﹐利用基本不等式解决问题.【解法2】【解法3】令去分母得(2y-2)b2+(3y-2)ab+(y-1)a2=0（y≠1)于是Δ=(3y-2)2a2-4(2y-2)(y-1)a20 解得y2·2-2, 所以ymin=2·2-2.【解法4】【解法5】【解法6】1-t【解法7】【赏析】【解法1】将分母换元;【解法2】对分式通分,整体配湊;【解法4】是常数分离,构造二次齐次式.三种方法虽然最终都是运用均值不等式求解,但在构造形式上明显不同,体现了解题思想的多样性和解题角度的灵活性.解泽3构诰一次方程.枟用判别式求解:解汗5,解汗6,解汗7均是构诰函数,最后利用均值不等式求解.【解法3】构造二次方程,运用判别式求解;【解法5】、【解法6】、【解法7】均是构造函数,最后利用均值不等式求解.的取值范围是()所以直线系的斜率为所以.故选D.【解法2】令线性规划,用斜率型解答,如图1-9),所以故选D.【解法3】所以-52x+y0,03y-4x5,根据线性规划知识,知A,C,D三点的坐标分别为(2,-1),如图1-10,所以的取值范围是.故选D.【赏析】【解法1】采用整体代换,【解法2】、【解法3】结合条件,借三种解法都把问题化归到斜率问题进行求解.这些方法需要学生掌握灵活变形的技巧,化代数问题为几何问题.【例13】记min{a,b}为a,b两数的最小值.当正数x,y变化时t=min则t的最大值为。 所以t22,则0<t2,所以tmax=2.【解法2】由题意可得t2x+y【解法3】由题意可得t2x+y令x=ky(k>0),则t2,进而得t2k2-4k+2t2-20有正数解.设f(k)=t2k2-4k+2t2-2,因为对称轴>0,所以f,【赏析】三种方法都是利用最值的条件得到关于t的不等关系,只是【解法1】利用均值不等式实现最值的求解,【解法2】对分式进行齐次化,换元构造出均值不等式,【解法3】通过倍值换元,实现消元的目的,转化为不等式求解.相比较而言,【解法1】、【解法2】较常规,也容易想到,【解法3】是一种奇思妙解.【例14】设p>0,q>0且p3+q3=2,求证:p+q2.因为p3+1+13p(1),q3+1+13q(2).两式相加得p3+q3+43(p+q),因为p3+q3=2,所以p+q2,当且仅当p=q=1时等号成立.思路一：假设p+q>2,则p>2-q,所以p3>(2-q)3=8-12q+6q2-q3,即6q2-12q+8<p3+q3=2,化简得(q-1)2<0,与(q-1)20矛盾.假设错误,所以p+q2.q22=p3+q3=(p+q)(p2-pqq2=(p+q)(p+q)2-3pq所以p+q2.【解法4】因为p3+q3=,所以38,所以p+q2.【拓展】权方和不等式等号在ai=λbi时取得.【解法5】要证p+q2,即证(p+q)38,即p3+q3+3pq2+3p2q8=4(p3+q3),化简可得p3+q3-p2q-pq20,即p2(p-q)+q2(q-p)0,(p-q)(p2-q2)0,(p-q)2(p+q)0显然成立,得证.【解法6】令p+q=r,则p=rcos2q=rsin2则2=p3+q3=r3(cos6θ+sin6θ)=r3(cos2θ+sin2θ)(cos4θ-cos2θsin2θ+sin4θ)所以r38,所以p+q=r2.【解法7】因为2=p3+q3=(p+q)(p2-pq+q2),设p+q=t,则t,即t38,所以p+q=t2.【赏析】【解法1】是从对称角度通过三元均值不等式,由三次式转化为一次式,再利用不等式的同向可加性得证的,此方法求解主要体现了类比联想求解的策略;解法3、7均是将p3+q3利用基本对称式p+q,pq表示后再借助均值不等式pq进行放缩得证,此方法属于通法,学生易于掌握;【解法6】采取设值再三角换元,这样处理易于沟通条件与欲证问题的关系,体现了由相等到不等的辡证转化,但在三角函数恒等变形中对学生的计算能力要求较高;柯西不等式的推广一一权方和不等式是处理这类结构对称问题有效利器,快捷方便,如【解法4】;反证法、分析法是证明不等式的最为常用的方法（如【解法2】,【解法5】）.2211a2,根据OA.OBOAOB(向量柯西不等式),a1b2222)2 a22 ,222由已知得a由已知得a2222时取等号.【解法2】22设1b2=λ2a2,则a2=λa2 1λ2a2·1a221λ2a21a21λa2,,整理得a2(λ1)2=0,所以a=0或λ=1.2222【解法3】则cosasinβ+cosβsina=1,【解法4】设2222因为x2+a22ax,b2+y22by,2【解法5】1a22, 2所以22【解法6】设P(x0,y0)是圆x2+y2=1上的任意一点,则圆x2+y2=1在点P处的t线方程为设是单位圆x2+y2=1上的两点,2又点B在圆x2+y2=1上,所以点A与点B重合,【赏析】【解法1】利用向量不等式OA.OBOAOB及均值不等式,结合两个不等式取等号的条【解法2】首先对已知条件进行分析得出然后通过代换求值,进而得到a2+b2=1.【解法3】、【解法4】利用换元法进行证明,其中【解法3】,利用三角换元法进行证明,两角和与差求出a+β=,进而得到a2+b2=1.【解法4】利用均值不等式进行证明,结合取等号的条件得到结论.【解法5】利用代数式的恒等变形,将等式移项后整理,利用完全平方式得到b=11-a2,进而得到结论.【解法6】利用圆x2+y2=r2在其上一点P(x0,y0)处的切线方程为x0x0y2及切点的唯一性得到a2+b2=1.1．已知函数f(x).x<2,若关于x的方程f(x)=kx(k>0)有且仅有四个根，设其最大值为t,则函数g(t)t2-6t+7的值域为。【解析】当0x<2时,f(x)为圆(x-1)2+y2=1的上半部分(含点(0,0),但不含点(2,0)).如答图1-1.象以此类推.当直线y=kx与圆(x-5)2+ 1相切时,k=,联立,y2当直线y=kx与圆(x-3)2+y2=1相切时,k联立,y2又t2-6t+7的对称轴为所以min=g2．求函数g(x)=2-3x的最大值。.当且仅当2x=-3时，即时取等号.3．已知函数的最大值是M,最小值为N,则M+N=。因为f所以函数g(x)为奇函数,所以g(x)的最大值与最小值之和为0,所以f(x)的最大值与最小值之和为2,即M+N=2.1,所以4x4x-x24sin2θ.4cos2θ=8sin2θ-4sin4sin2θ.4cos2θ=8sin2θ-4sinθcosθ,即为所求值域.7．求f的最大值,并求出此时k的值。令72k2-48所以原式可变为当且仅当=时取等号，即t28．已知函数f(x)=x-·,若方程f(x)=b有且仅有两个不相等实根,则实数b的取值范围为。【解析】由f(x)=b可知x-·2x-x2=b，即·2x-x2=x-b与y=x-b有两个不同的交点.当直线y=x-b与半圆y=·相9．函数f的值域为。所以2L2,.所以-1g(t)<4，所以f(x)的值域为|「-12L2,.(2,sinx+cosx_______(2,sinx+cosx_______所以在上是单调递诚函数，12.求函数f(x)=4-2x2+x·的最大值与最小值。则y=4-2sin2a+sina