四川省成都市蓉城名校2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题

【新结构】2023-2024学年四川省成都市蓉城名校高一下学期期末联考数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知，则(

)A. B. C. D.2.(

)A. B. C. D.3.在中，，，，则(

)A. B.16 C.32 D.4.一个水平放置的平面图形OABC按斜二测画法得到的直观图如图所示.已知，，则平面图形OABC的面积为(

)

A.3 B.6 C. D.5.把函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是(

)A.函数的最小正周期

B.函数在区间上单调递减

C.函数是奇函数

D.函数在区间上的最大值为6.某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量单位：小时降雨量的等级划分如下：24小时降雨量精确到降雨等级小雨中雨大雨暴雨在一次降雨过程中，用一个侧棱的三棱柱容器收集的24小时的雨水如图所示，当侧面水平放置时，水面恰好过AC，BC，，的中点.则这24小时的降雨量的等级是(

)

A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨7.如图，圆锥PO的底面直径和高均为12，过PO上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，我们称该圆柱为圆锥的内接圆柱.则该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值为(

)

A. B. C. D.8.在中，，，点P满足，且，则(

)A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知m，n是两条不同的直线，是平面，若，，则m，n的关系可能为(

)A.平行 B.垂直 C.相交 D.异面10.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论正确的是(

)A.若，则角

B.存在A，B，C，使成立

C.若，则为等腰或直角三角形

D.若，，，则有两解11.如图，在正方体中，E为棱AB上的动点，平面，F为垂足，下列结论正确的是(

)

A. B.三棱锥的体积为定值

C. D.与AC所成的角为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知，为共线向量，且，，则__________.13.在中，D，E分别为AC，BC的中点，AE交BD于点若，，，则__________.

14.降维类比和升维类比主要应用于立体几何的学习，将空间三维问题降为平面二维或者直线一维问题就是降维类比.平面几何中多边形的外接圆，即找到一点，使得它到多边形各个顶点的距离相等.这个点就是外接圆的圆心，距离就是外接圆的半径.若这样的点存在，则这个多边形有外接圆，若这样的点不存在，则这个多边形没有外接圆.事实上我们知道，三角形一定有外接圆，如果只求外接圆的半径，我们可通过正弦定理来求，我们也可以关注九年义教初中《几何》第三册第94页例2的结论：三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商.借助求三角形外接圆的方法解决问题：若等腰梯形ABCD的上下底边长分别为6和8，高为1，这个等腰梯形的外接圆半径为__________;轴截面是旋转体的重要载体，圆台的轴截面中包含了旋转体中的所有元素：高、母线长、底面圆的半径，通过研究其轴截面，可将空间问题转化为平面问题.观察图象，通过类比，我们可以找到一般圆台的外接球问题的研究方法，正棱台可以看作由圆台切割得到。研究问题：如图，正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为__________.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.本小题13分

已知是棱长为2的正方体.

求三棱锥的体积;若N是的中点，M是的中点，证明：平面16.本小题15分已知向量，满足，，，且在上的投影向量为求，及的值;若，求的值.17.本小题15分记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且求A及若点D在边BC上，且，，求的面积.18.本小题17分

在平行四边形ABCD中，，，，E，F分别为AB，AD的中点，将三角形ADE沿DE翻折，使得二面角为直二面角后，得到四棱锥

求证：平面求证：平面平面求EC与平面ACD所成角的正弦值.19.本小题17分

“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.如图1，三个内角都小于的内部有一点P，连接PA，PB，PC，求的最小值.我们称三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点为费马点.要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可求出这三条线段和的最小值.某数学研究小组先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题，具体的做法如图2，将绕点C顺时针旋转，得到，连接PD，BE，则BE的长即为所求，此时与三个顶点连线恰好三等分费马点P的周角.同时小组成员研究教材发现：已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量

已知平面内点，，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标;在中，，，，借助研究成果，直接写出的最小值;已知点，，，求的费马点P的坐标.

答案和解析1.【答案】D

【解析】【分析】本题考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题.

依题意，根据二倍角的余弦公式化简即可.【解答】

解：因为

，

故选2.【答案】A

【解析】【分析】本题考查了向量加减运算，是基础题.

根据向量加减运算可得结果.【解答】

解：

，

故选3.【答案】B

【解析】【分析】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．

根据题意得到，再根据数量积和向量的减法法则即可求解．【解答】

解：由，，，

则，所以，

所以

故选：4.【答案】C

【解析】【分析】本题考查斜二测画法，属于基础题.

根据斜二测画法得到平面图形，即可得解.【解答】

解：画出梯形OABC的原图，如图所示：

在直观图中，，，

得，

则在原图中，，，

四边形OABC是直角梯形，故，

故选5.【答案】B

【解析】【分析】本题考查三角函数的图象与性质，考查三角函数的图象变换，属于中档题.

根据三角函数的图象与性质及图象变换逐项计算判断即可.【解答】

解：依题有，函数的最小正周期，A错误;

当时，则，而在区间上单调递减，B正确;

，

函数是偶函数，C错误;

作草图，可知函数在区间上的最大值为0，D错误.6.【答案】D

【解析】【分析】本题主要考查函数的实际问题，考查转化能力，属于基础题．

设三棱锥的体积为V，然后求出容器水的体积，再得出液面的高，可得结论.【解答】

解：设三棱锥的体积为V，

按侧面水平放置时液面以上部分的体积为，故水的体积为，

设按底面ABC放置时液面的高为h，则，得，

则这24小时的降雨量的等级是暴雨，

故选7.【答案】C

【解析】【分析】本题考查了空间几何体圆柱的侧面积计算，属于基础题.

设，易得，再计算圆柱的侧面积，利用基本不等式可得其最大值.【解答】

解：设，

圆柱的底面圆半径为r，则，即，

，

当且仅当时等号成立，

故选8.【答案】A

【解析】【分析】本题考查了向量的运算和向量的数量积，是基础题.

取BC中点为D，，点P满足，由，可得t的值.【解答】

解：因为，，所以，

取BC中点为D，，点P满足，

则点P在直线BC上，所以，

由，则，

所以，所以，

故选

9.【答案】ABD

【解析】【分析】本题考查直线和直线的关系，属于基础题．

若m与n相交，得到m与有交点，这与题设矛盾，得到答案.【解答】

解：因为，，则m与n可能平行，异面和垂直，若m与n相交，，则，，所以，即直线m与平面有公共点，这与矛盾，故选10.【答案】ACD

【解析】【分析】本题考查了利用正弦定理，余弦定理解三角形，属于中档题.

A中，，化为，求角A，

B中，分类讨论，A，B，C都不等于，可得，

A，B，C有一个等于，无意义，

C中，，则或，

D中，由正弦定理得，求角B即可判断；【解答】

解：对于A，，，，

，A正确；

对于B，当，，

时，，

则，

当A，B，C，有一个为时，无意义，故B错误；

对于C，若，

①，即，则为等腰三角形，

②，即，则为直角三角形，

综上，若，则为等腰或直角三角形，C正确；

对于D，由，解得，

因为，所以，或，则有两解，D正确，

故选项为11.【答案】ABC

【解析】【分析】本题考查正方体的结构特征，三棱锥的体积，异面直线所成的角，三垂线定理的运用，属于中档题.

取中点O，运用三垂线定理得，可得F在线段的垂直平分线上，即可判断A；

因为三棱锥即为三棱锥，对于三棱锥的底面积和高都为定值，可判断B；

利用线面垂直证明判断C，利用平移法判断【解答】

解：对于A，取中点O，连接DO、FO，因为四边形为正方形，

所以，又因为平面，平面，，

，DO、平面DOF，平面DOF，而平面DOF，

所以，因为O为中点，

所以，故A正确；

对于B，三棱锥即为三棱锥，因为的面积为定值，

E点到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，

即三棱锥的体积为定值，故B正确；

对于C，因为，，、平面，

所以，故C正确；

对于D，将平移到，易知与AC所成的角为，所以D错误.12.【答案】6

【解析】【分析】本题考查平面向量共线的坐标表示，属于基础题.

根据向量共线的坐标运算性质求解方程即可.【解答】

解：因为，为共线向量，所以，解得，

故填13.【答案】

【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积以及线性运算，属于基础题.

先根据线性运算将，用，表示，再利用数量积公式即可求解.【解答】

解：由题意得，

，所以

，所以

所以，

所以，

故答案为14.【答案】5

；

【解析】【分析】本题考查了圆台、棱台的结构特征和球的体积，是中档题.

根据圆台、棱台的结构特征求解即可.【解答】

解：等腰梯形ABCD与三角形ABC的外接圆为同一圆，

由平面几何知识求出，，

根据结论，外接圆半径等于

设正三棱台上下底面所在圆面的半径分别为r，，

所以，，即，，

题中所给正三棱台补成圆台后上底圆直径为6，下底圆直径为8，高为1，

轴截面梯形为前面几何问题，则外接球半径为5，

所以外接球体积为15.【答案】解：四面体由正方体截去四个直角锥而得，

故；

，M分别是，的中点，

在中，，

面ABCD，面ABCD，

平面

【解析】本题考查了线面平行的判定和棱锥的体积，是基础题.

由四面体由正方体截去四个直角锥而得，计算即可；

由中位线得，由线面平行的判定即可得证.16.【答案】解：由题意得，即，因为|，，所以，得，，因为<，，所以<，，因为|，，与的夹角为，所以

由，得，即，得，解得

【解析】本题考查向量的数量积运算，向量的模，向量的数量积与向量的垂直关系，投影向量，属于中档题.

由题意得，即，因为|，，所以，得，，即可得向量和的夹角，再利用数量积公式即可得的值;

由题意可得，代入求解即可.17.【答案】解：，

，

，

，

，

又，，

，，，

，

由正弦定理得，，所以

，，

，

即，

化简有，解得，

【解析】本题考查了正弦定理、三角形面积公式和三角恒等变换，是中档题.

由三角恒等变换得，可得，再由正弦定理可得c的值；

易得，两边平方得b的值，再由三角形面积公式可得结果.18.【答案】解：取AC中点H，连接FH，HB，

，，，，

，，

四边形EBHF为平行四边形，

，平面ABC，平面ABC，

平面

为直二面角，，，

为二面角的平面角，，，

平面AED，，

平面AED，平面ACD，

平面平面

连接FC，易得为等腰直角三角形，F为斜边AD上的中点，

，

由知，，

平面ACD，CE在平面ACD的射影为CF，

为EC与平面ACD所成角，在中，

【解析】本题考查空间线面平行的判定及面面垂直的判定，考查线面所成角，考查学生空间想象能力，中等题．

取AC中点H，连接FH，HB，由条件即可得，根据线面平行的判定可得平面

由条件可得为二面角的平面角，进一步可得平面AED，，从而可得平面AED，进而可得平面平面

连接FC，易得为等腰直角三角形，F为斜边AD上的中点，结合可得平面ACD，CE在平面ACD的射影为CF，可得为EC与平面ACD所成角，进一步可求得EC与平面ACD所成角的正弦值.19.【答案】解：，绕着点A顺时针旋转，即逆时针旋转，代入公式，

，

，

点P的坐标为

由费马点的求法知：CA绕着点C顺时针旋转，与CE重合，，

为等边三角形，