第二章直线和圆的方程章末题型归纳总结（原卷版）

第二章直线和圆的方程章末题型归纳总结模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：直线与线段相交问题经典题型二：直线方程综合应用经典题型三：直线与坐标轴围成的面积问题经典题型四：直线对称问题经典题型五：两直线的平行与垂直经典题型六：直线与圆的位置关系经典题型七：圆与圆的位置关系经典题型八：轨迹问题经典题型九：直线和圆的范围与最值问题模块三：数学思想方法①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：直线与线段相交问题例1．（2023·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知点，，过点的直线与线段相交，则的斜率的取值范围为（

）A． B．C． D．例2．（2023·山东枣庄·高二枣庄八中校考阶段练习）已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（

）A． B． C． D．例3．（2023·重庆·高二重庆第二外国语学校校考期中）直线经过点和以，为端点的线段相交，直线斜率的取值范围是（

）A． B． C． D．例4．（2023·宁夏银川·高二校考阶段练习）经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（

）A． B．C． D．例5．（2023·安徽阜阳·高二安徽省阜南实验中学校考开学考试）已知两点，过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（

）A． B．C． D．例6．（2023·全国·高二阶段练习）设点､，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．例7．（2023·江苏·高二专题练习）已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（

）A． B．C．或 D．经典题型二：直线方程综合应用例8．（2023·高二课时练习）已知的三个顶点、、.(1)求的三个内角；(2)求的平分线所在直线的方程.例9．（2023·山东烟台·高二山东省烟台第一中学校考阶段练习）已知的顶点，高CD所在直线方程为，角的平分线BE所在直线方程为．求：(1)点的坐标；(2)BC边所在直线方程．例10．（2023·北京·高二人大附中校考期中）在平面直角坐标系xOy，已知的三个顶点A(m，n)，B(2，1)，，且的面积为4.(1)求BC边所在直线的一般式方程；(2)请写出n与m的关系式；(用m表示n)(3)BC边上中线AD的方程为，求点A的坐标.例11．（2023·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知的顶点的坐标为，边上的中线所在的直线方程为，的角平分线所在的直线方程为．(1)求顶点的坐标；(2)求直线的方程．例12．（2023·江苏连云港·高二东海县石榴高级中学校考阶段练习）已知直线.(1)求证：直线经过定点，并求出定点P；(2)经过点P有一条直线l，它夹在两条直线与之间的线段恰被P平分，求直线l的方程.例13．（2023·北京海淀·高二校考期中）已知平行四边形的三个顶点坐标为（1）求平行四边形的顶点的坐标；（2）求平行四边形的面积；（3）在中，求外心的坐标.例14．（2023·高二单元测试）已知直线和点（1）直线l上是否存在点C，使得为直角三角形，若存在，请求出C点的坐标；若不存在，请说明理由；（2）在直线l上找一点P，使得最大，求出P点的坐标.例15．（2023·高二课时练习）在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，边上的中线所在的直线方程为，的角平分线所在的直线方程为.（1）求点的坐标；（2）求直线的方程.例16．（2023·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，（1）求顶点的坐标；（2）求的面积．经典题型三：直线与坐标轴围成的面积问题例17．（2023·江苏·高二专题练习）已知直线：恒过点，且与轴，轴分别交于，两点，为坐标原点.(1)求点的坐标；(2)当点到直线的距离最大时，求直线的方程；(3)当取得最小值时，求的面积.例18．（2023·宁夏银川·高二校考阶段练习）已知直线，.(1)若直线，求k的值.(2)O为坐标原点，若，直线交x轴正半轴于A，交y轴正半轴于B，若的面积为，求k的值.例19．（2023·湖南株洲·高二校考期中）设直线的方程为．(1)求证：不论为何值，直线一定经过第一象限；(2)若直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，，当面积为12时，求的周长．例20．（2023·安徽宣城·高二安徽省宣城中学校考阶段练习）已知直线的方程为：(1)求证：不论为何值，直线必过定点；(2)过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．例21．（2023·四川乐山·高二校考阶段练习）解决下列问题：(1)一直线被两直线：，：截得线段的中点是，求此直线方程；(2)过点的直线交轴、轴的正半轴于A、B两点，求使：面积最小时的方程．例22．（2023·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）设直线l的方程为(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.(2)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程.例23．（2023·辽宁·高二辽宁实验中学校考阶段练习）已知直线的方程为：．(1)求证：不论为何值，直线必过定点；(2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．例24．（2023·江苏苏州·高二江苏省震泽中学校考阶段练习）一条直线经过点.分别求出满足下列条件的直线方程.(1)与直线垂直；(2)交轴､轴的正半轴于，两点，当三角形的面积最小值时直线方程.经典题型四：直线对称问题例25．（2023·江苏常州·高二常州高级中学校考阶段练习）两直线方程为，则关于对称的直线方程为（

）A． B． C． D．例26．（2023·安徽宣城·高二安徽省宣城中学校考阶段练习）如下图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点，的坐标分别为（

）A．， B．，C．， D．，例27．（2023·江苏·高二专题练习）若直线和直线关于直线对称，则直线恒过定点（

）A． B． C． D．例28．（2023·高二单元测试）已知直线，点关于直线的对称点为，直线经过点，且，则直线的方程为（

）A． B．C． D．例29．（2023·甘肃兰州·高二兰州一中校考阶段练习）将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m+n=（

）A． B．10 C． D．5例30．（2023·高二单元测试）若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A．3 B．2 C．3 D．4例31．（2023·全国·高二专题练习）关于原点对称的直线是（

）A． B． C． D．例32．（2023·江苏·高二专题练习）直线关于点对称的直线方程为（

）A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0例33．（2023·全国·高二期中）如果直线与直线关于轴对称，那么直线的方程为（

）A． B．0 C． D．例34．（2023·安徽宣城·高二安徽省宣城中学校考阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是（）A． B．C． D．例35．（2023·江苏·高二专题练习）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（）A． B．C． D．经典题型五：两直线的平行与垂直例36．（2023·江苏泰州·高二泰州中学校考阶段练习）两条直线：，：互相垂直，则a的值是（

）A．0 B．－1 C．－1或3 D．0或－1例37．（2023·河北保定·高二校联考阶段练习）连接两点的直线无限延展，与其平行的直线无论走多远都无法碰面.设，则“”是“直线与直线平行”的（

）A．充分必要条件 B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件 D．必要不充分条件例38．（2023·辽宁·高二辽宁实验中学校考阶段练习）已知直线，互相垂直，则实数的值为（

）A． B．或 C． D．或例39．（2023·全国·高二专题练习）已知，“直线与平行”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件例40．（2023·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）已知直线与直线，则“”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件例41．（2023·全国·高二期中）已知直线，动直线，则下列结论错误的是（

）A．存在，使得的倾斜角为；B．对任意的，与都有公共点；C．对任意的，与都不重合；D．对任意的，与都不垂直；例42．（2023·江苏·高二专题练习）已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（

）A． B． C． D．经典题型六：直线与圆的位置关系例43．（2023·四川雅安·高二校考期中）直线与圆O：的位置关系是．例44．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）已知直线和曲线有两个不同交点，则实数的取值范围是．例45．（2023·宁夏银川·高二银川唐徕回民中学校考阶段练习）已知圆：，圆上恰有3个点到直线：的距离为，则．例46．（2023·浙江·高二校联考期中）已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则.例47．（2023·江苏·高二专题练习）已知圆C与直线相切于点，且圆心C在直线上．过原点引圆C的切线，则切线长为．例48．（2023·安徽·高二校考期中）直线：与圆相交、两点，则．例49．（2023·江苏·高二专题练习）过点向圆引切线，则其切线方程为.例50．（2023·江苏·高二专题练习）过点的圆的切线方程例51．（2023·高二课时练习）过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为．例52．（2023·全国·高二专题练习）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为.例53．（2023·广西南宁·高二南宁市邕宁高级中学校考阶段练习）若直线与圆相切，则.例54．（2023·浙江杭州·高二浙江省杭州第七中学校考期中）若直线与曲线有且只有一个公共点，则实数m的取值范围是．例55．（2023·江苏·高二专题练习）圆与直线相交于，两点，则．例56．（2023·高二课时练习）若直线3x＋4y－8＝0被圆(x－a)2＋y2＝4截得的弦长为，则a＝．经典题型七：圆与圆的位置关系例57．（2023·四川雅安·高二校考期中）已知圆：和：，则两圆的位置关系是（

）A．内切 B．外切 C．相交 D．外离例58．（2023·江西·高二南昌市第十七中学校联考阶段练习）已知是坐标原点，若圆上有2个点到的距离为2，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．例59．（2023·河北邢台·高二河北南宫中学校考阶段练习）已知圆与圆相交，则的取值范围是（

）A． B．C． D．例60．（2023·高二课时练习）圆和圆的公切线的条数为（）A． B． C． D．例61．（2023·全国·高二期中）已知圆与圆交于两点，则（

）A． B． C． D．例62．（2023·四川巴中·高二四川省通江中学校考期中）已知：，：，则下列说法中，正确的个数有（

）个.（1）若在内，则；（2）当时，与共有两条公切线；（3）当时，与的公共弦所在直线方程为；（4），使得与公共弦的斜率为.A．1 B．2 C．3 D．4例63．（2023·福建漳州·高二校考期中）已知圆与圆交于，两点，则（

）A． B． C． D．例64．（2023·全国·高二校联考阶段练习）若圆与圆的公共弦长为，则（

）A． B． C．2 D．4例65．（2023·江苏·高二专题练习）已知直线是圆的切线，并且点到直线的距离是2，这样的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条经典题型八：轨迹问题例66．（2023·广西·高二桂林中学校联考阶段练习）已知圆，直线过点.(1)当直线与圆相切时，求直线的斜率；(2)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.例67．（2023·江苏·高二专题练习）已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，求弦的中点的轨迹方程．例68．（2023·江苏·高二专题练习）的顶点B，C的坐标分别是，，顶点A在圆上运动，求的重心G的轨迹方程.例69．（2023·江苏·高二专题练习）已知、两定点．若动点满足，求动点的轨迹方程．例70．（2023·江苏·高二专题练习）设平面上有一条长度为4的线段，试建立适当的平面直角坐标系，求：(1)到线段两端点的距离的平方差为16的点的轨迹方程；(2)到线段两端点的距离的平方和为16的点的轨迹方程．例71．（2023·高二课时练习）已知点、是距离为4的两个定点，动点满足，建立适当的平面直角坐标系，并求动点的轨迹方程．例72．（2023·全国·高二课堂例题）已知动点M到的距离与到的距离之比是，求M的轨迹方程，并指出轨迹曲线的形状．例73．（2023·高二课时练习）已知两点、，动点到点的距离是它到点的距离的3倍，求点的轨迹方程．例74．（2023·江苏·高二专题练习）已知点是圆上的定点，点是圆内一点，、为圆上的动点．(1)求线段AP的中点的轨迹方程．(2)若，求线段中点的轨迹方程．例75．（2023·江苏·高二专题练习）已知圆C经过点且圆心C在直线上.(1)求圆C方程；(2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程.例76．（2023·江苏·高二专题练习）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点.(1)求圆的方程；(2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程.例77．（2023·江苏·高二专题练习）如图，已知点A(1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.经典题型九：直线和圆的范围与最值问题例78．（多选题）（2023·重庆涪陵·高二校联考阶段练习）已知曲线上的动点满足，为坐标原点，直线过和两点，为直线上一动点，过点作曲线的两条切线为切点，则（

）A．点与曲线上点的最小距离为B．线段长度的最小值为C．的最小值为D．存在点，使得的面积为例79．（多选题）（2023·福建宁德·高二统考期中）已知点是圆：上的动点，则下面说法正确的是（

）A．圆的半径为2 B．的最大值为C．的最小值为 D．的最大值为6例80．（多选题）（2023·浙江嘉兴·高二校考期中）已知点，且点P在圆C：上运动，则下列结论正确的是（

）A．的最大值为B．的最小值为5C．的最大值为D．当最大时，例81．（多选题）（2023·河北沧州·高二泊头市第一中学校考阶段练习）已知圆，直线，点P在直线l上运动，直线，分别切圆C于点A，B.则下列说法正确的是（

）A．四边形的面积最小值为B．M为圆C上一动点，则最小值为C．最短时，弦直线方程为D．最短时，弦长为例82．（多选题）（2023·江苏扬州·高二统考开学考试）已知圆直线：，点P在直线上运动，直线PA，PB分别与圆切于点A，B．则下列说法正确的是（

）A．四边形的面积最小值为 B．|PA|最短时，弦AB长为C．|PA|最短时，弦AB直线方程为 D．直线AB过定点当|PA|最短时，则，又，所以，，，可设的直线方程为，圆心到直线的距离，解得，，由于直线在圆心的右侧，且在直线的左侧，所以，所以，（舍去）即直线的方程为．故C错误．设圆上一点为,，,，,，,，,，,，易知，由于，所以同理，．，，将代入得等号成立，故直线过定点为，故D正确．故选：ABD．例83．（多选题）（2023·云南昆明·高二校考阶段练习）已知点，，且点在直线：上，则（

）A．存在点，使得 B．存在点，使得C．的最小值为 D．最大值为3例84．（多选题）（2023·江苏·高二专题练习）若实数、满足条件，则下列判断正确的是（

）A．的范围是 B．的范围是C．的最大值为1 D．的范围是例85．（2023·江苏·高二专题练习）圆上点到直线距离的最小值是．例86．（2023·安徽淮南·高二校考阶段练习）已知⊙M：，直线l：，点P为直线l上的动点，过点P作⊙M的切线，切点为A，则切线段长的最小值为．例87．（2023·河南洛阳·高二校联考阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分.唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题———“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A（2，4），军营所在位置为B（6，2），河岸线所在直线的方程为x+y3=0，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程的最小值为.例88．（2023·河南南阳·高二统考阶段练习）已知点、，在直线上，则的最小值等于.例89．（2023·江苏·高二专题练习）的最小值为．例90．（2023·全国·高二阶段练习）已知圆：的图象在第四象限，直线：，：.若上存在点，过点作圆的切线，，切点分别为A，，使得为等边三角形，则被圆截得的弦长的最大值为.例91．（2023·全国·高二阶段练习）已知实数，，，满足，，，则的最大值是．例92．（2023·广西玉林·高二博白县中学校考期中）若直线与圆交于两点，则面积的最大值为模块三：数学思想方法①分类讨论思想例93．（2022·天津市市辖区·其他类型）过点引直线，使，到它的距离相等，则这条直线的方程是（

）A． B．C．或 D．或例94．（2022·四川省绵阳市·单元测试）已知直线与直线垂直，则实数a的值为（

）A．0 B．0或6 C．或2 D．例95．（2022·重庆市市辖区·月考试卷）在直角坐标系内，已知是上一点，对任意实数a，点A关于直线的对称点仍在上，点M，N的坐标分别为，，若上存在点P，使，则正数m的取值范围是（

）A． B． C． D．例96．古希腊数学家阿波罗尼奥斯约公元前公元前190年的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，圆C：上有且仅有一个点P满足，则r的取值可以为（

）A．2或3 B．3或4 C．4或5 D．1或5例97．（2022·广东省肇庆市·单元测试）如已知点，直线将三角形ABC分割成面积相等的两个部分，则b的取值范围是（

）A． B． C． D．例98．（2021·江苏省南通市·同步练习）“曼哈顿距离”是赫尔曼．闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如在平面直角坐标系中，点、的曼哈顿距离为：若点，点Q为圆C：上一动点，则的最大值为（

）A． B． C． D．②转化与化归思想例99．（2021·山东省菏泽市·单元测试）圆P：关于直线对称的圆Q的方程是（

）A． B．C． D．例100．（2023·全国·其他类型）在平面直角坐标系xOy中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆O的两条切线，A，B为切点，满足，则k的取值范围是．（

）A． B．C． D．例101．（2023·广东省·模拟题）过直线上一点P向圆作切线，切点为Q，则的最小值为（

）A． B． C． D．例102．（2023·天津市·阶段练习）圆上到直线的距离等于1的点的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4例103．（2023·北京市市辖区·期中考试）过直线