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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设,,则“”是“”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.在原点附近的部分图象大概是()A. B.C. D.3.下列与函数定义域和单调性都相同的函数是()A. B. C. D.4.设,,,则的大小关系是()A. B. C. D.5.已知等差数列中,若,则此数列中一定为0的是()A. B. C. D.6.运行如图所示的程序框图,若输出的的值为99,则判断框中可以填()A. B. C. D.7.网格纸上小正方形边长为1单位长度,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为()A.1 B. C.3 D.48.某四棱锥的三视图如图所示,该几何体的体积是()A.8 B. C.4 D.9.已知函数满足:当时,,且对任意,都有,则()A.0 B.1 C.-1 D.10.集合,则()A. B. C. D.11.音乐,是用声音来展现美,给人以听觉上的享受,熔铸人们的美学趣味.著名数学家傅立叶研究了乐声的本质,他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述,它们是一些形如的简单正弦函数的和,其中频率最低的一项是基本音,其余的为泛音.由乐声的数学表达式可知,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波.下列函数中不能与函数构成乐音的是()A. B. C. D.12.已知的面积是,,,则()A.5 B.或1 C.5或1 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.某高中共有1800人,其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列,现用分层抽样的方法从中抽取60人,那么高二年级被抽取的人数为________.14.设为数列的前项和,若,,且,,则________.15.在中,为定长,,若的面积的最大值为,则边的长为____________.16.各项均为正数的等比数列中,为其前项和,若,且,则公比的值为_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在四棱锥中,平面,底面是矩形,,,分别是,的中点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)设,求三棱锥的体积.18.(12分)已知非零实数满足.(1)求证:;(2)是否存在实数,使得恒成立?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由19.(12分)如图,四棱锥的底面为直角梯形,,,,底面,且,为的中点.(1)证明:;(2)设点是线段上的动点,当直线与直线所成的角最小时,求三棱锥的体积.20.(12分)百年大计,教育为本.某校积极响应教育部号召,不断加大拔尖人才的培养力度,为清华、北大等排名前十的名校输送更多的人才.该校成立特长班进行专项培训.据统计有如下表格.(其中表示通过自主招生获得降分资格的学生人数,表示被清华、北大等名校录取的学生人数)年份(届)2014201520162017201841495557638296108106123(1)通过画散点图发现与之间具有线性相关关系,求关于的线性回归方程;(保留两位有效数字)(2)若已知该校2019年通过自主招生获得降分资格的学生人数为61人,预测2019年高考该校考人名校的人数;(3)若从2014年和2018年考人名校的学生中采用分层抽样的方式抽取出5个人回校宣传,在选取的5个人中再选取2人进行演讲,求进行演讲的两人是2018年毕业的人数的分布列和期望.参考公式:,参考数据:,,,21.(12分)已知函数,.(1)当时,求不等式的解集;(2)若函数的图象与轴恰好围成一个直角三角形,求的值.22.(10分)在本题中,我们把具体如下性质的函数叫做区间上的闭函数:①的定义域和值域都是;②在上是增函数或者减函数.(1)若在区间上是闭函数,求常数的值;(2)找出所有形如的函数(都是常数),使其在区间上是闭函数.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
根据对数的运算分别从充分性和必要性去证明即可.【详解】若,,则,可得;若,可得,无法得到,所以“”是“”的充分而不必要条件.所以本题答案为A.【点睛】本题考查充要条件的定义,判断充要条件的方法是:①若为真命题且为假命题,则命题p是命题q的充分不必要条件;②若为假命题且为真命题,则命题p是命题q的必要不充分条件;③若为真命题且为真命题,则命题p是命题q的充要条件;④若为假命题且为假命题,则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.⑤判断命题p与命题q所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题p与命题q的关系.2、A【解析】
分析函数的奇偶性,以及该函数在区间上的函数值符号,结合排除法可得出正确选项.【详解】令,可得,即函数的定义域为,定义域关于原点对称,,则函数为奇函数,排除C、D选项;当时,,,则,排除B选项.故选:A.【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象,一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.3、C【解析】
分析函数的定义域和单调性,然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性,由此确定正确选项.【详解】函数的定义域为,在上为减函数.A选项,的定义域为,在上为增函数,不符合.B选项,的定义域为,不符合.C选项,的定义域为,在上为减函数,符合.D选项,的定义域为,不符合.故选:C【点睛】本小题主要考查函数的定义域和单调性,属于基础题.4、A【解析】
选取中间值和,利用对数函数,和指数函数的单调性即可求解.【详解】因为对数函数在上单调递增,所以,因为对数函数在上单调递减,所以,因为指数函数在上单调递增,所以,综上可知,.故选:A【点睛】本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.5、A【解析】
将已知条件转化为的形式,由此确定数列为的项.【详解】由于等差数列中,所以,化简得,所以为.故选:A【点睛】本小题主要考查等差数列的基本量计算,属于基础题.6、C【解析】
模拟执行程序框图,即可容易求得结果.【详解】运行该程序:第一次,,;第二次,,;第三次,,,…;第九十八次,,;第九十九次,,,此时要输出的值为99.此时.故选:C.【点睛】本题考查算法与程序框图,考查推理论证能力以及化归转化思想,涉及判断条件的选择,属基础题.7、A【解析】
采用数形结合,根据三视图可知该几何体为三棱锥,然后根据锥体体积公式,可得结果.【详解】根据三视图可知:该几何体为三棱锥如图该几何体为三棱锥,长度如上图所以所以所以故选:A【点睛】本题考查根据三视图求直观图的体积,熟悉常见图形的三视图:比如圆柱,圆锥,球,三棱锥等;对本题可以利用长方体,根据三视图删掉没有的点与线,属中档题.8、D【解析】
根据三视图知,该几何体是一条垂直于底面的侧棱为2的四棱锥,画出图形,结合图形求出底面积代入体积公式求它的体积.【详解】根据三视图知,该几何体是侧棱底面的四棱锥,如图所示:结合图中数据知,该四棱锥底面为对角线为2的正方形,高为PA=2,∴四棱锥的体积为.故选:D.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积,由三视图正确复原几何体是解题的关键,考查空间想象能力.属于中等题.9、C【解析】
由题意可知,代入函数表达式即可得解.【详解】由可知函数是周期为4的函数,.故选:C.【点睛】本题考查了分段函数和函数周期的应用,属于基础题.10、D【解析】
利用交集的定义直接计算即可.【详解】,故,故选:D.【点睛】本题考查集合的交运算,注意常见集合的符号表示,本题属于基础题.11、C【解析】
由基本音的谐波的定义可得,利用可得,即可判断选项.【详解】由题,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波,由,可知若,则必有,故选:C【点睛】本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力.12、B【解析】∵,,∴①若为钝角,则,由余弦定理得,解得;②若为锐角,则,同理得.故选B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
由三个年级人数成等差数列和总人数可求得高二年级共有人,根据抽样比可求得结果.【详解】设高一、高二、高三人数分别为,则且,解得:,用分层抽样的方法抽取人,那么高二年级被抽取的人数为人.故答案为:.【点睛】本题考查分层抽样问题的求解,涉及到等差数列的相关知识,属于基础题.14、【解析】
由题可得,解得,所以,,上述两式相减可得,即,因为,所以,即,所以数列是以为首项,为公差的等差数列,所以.15、【解析】
设,以为原点,为轴建系,则,,设,,,利用求向量模的公式,可得,根据三角形面积公式进一步求出的值即为所求.【详解】解:设,以为原点,为轴建系,则,,设,,则,即,由,可得.则.故答案为:.【点睛】本题考查向量模的计算,建系是关键,属于难题.16、【解析】
将已知由前n项和定义整理为,再由等比数列性质求得公比,最后由数列各项均为正数,舍根得解.【详解】因为即又等比数列各项均为正数,故故答案为:【点睛】本题考查在等比数列中由前n项和关系求公比,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)见解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)取中点,连,,根据平行四边形,可得,进而证得平面平面,利用面面垂直的性质,得平面,又由,即可得到平面.(Ⅱ)根据三棱锥的体积公式,利用等积法,即可求解.【详解】(Ⅰ)取中点,连,,由,可得,可得是平行四边形,则,又平面,∴平面平面,∵平面,平面,∴平面平面,∵,是中点,则,而平面平面,而,∴平面.(Ⅱ)根据三棱锥的体积公式,得.【点睛】本题主要考查了空间中线面位置关系的判定与证明,以及利用“等体积法”求解三棱锥的体积,其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理,以及合理利用“等体积法”求解是解答的关键,着重考查了推理与论证能力,属于基础题.18、(1)见解析(2)存在,【解析】
(1)利用作差法即可证出.(2)将不等式通分化简可得,讨论或,分离参数,利用基本不等式即可求解.【详解】又即即①当时,即恒成立(当且仅当时取等号),故②当时恒成立(当且仅当时取等号),故综上,【点睛】本题考查了作差法证明不等式、基本不等式求最值、考查了分类讨论的思想,属于基础题.19、(1)见解析;(2).【解析】
(1)要证明,只需证明平面即可;(2)以C为原点,分别以的方向为轴、轴、轴的正方向,建立空间直角坐标系,利用向量法求,并求其最大值从而确定出使问题得到解决.【详解】(1)连结AC、AE,由已知,四边形ABCE为正方形,则①,因为底面,则②,由①②知平面,所以.(2)以C为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,所以,,,设,,则,所以,设,则,所以当,即时,取最大值,从而取最小值,即直线与直线所成的角最小,此时,则,因为,,则平面,从而M到平面的距离,所以.【点睛】本题考查线面垂直证线线垂直、异面直线直线所成角计算、换元法求函数最值以及等体积法求三棱锥的体积,考查的内容较多,计算量较大,解决此类问题最关键是准确写出点的坐标,是一道中档题.20、(1);(2)117人;(3)分布列见解析,【解析】
(1)首先求得和,再代入公式即可列方程,由此求得关于的线性回归方程;(2)根据回归直线方程计算公式,计算可得人数;(3)和被选中的人数分别为2和3,利用超几何分布分布列的计算公式,计算出的分布列,并求得数学期望.【详解】(1)由题,所以线性回归方程为(若第一问求出.)(2)当时,所以预测2019年高考该校考入名校的人数约为117人(3)由题知和被选中的人数分别为2和3,进行演讲的两人是2018年毕业的人数的所有可能取值为0,1,2,,的分布列为012【点睛】本小题主要考查平均数有关计算,考查回归直线方程的计算,考查期望的计算,考查超几何分布和数据处理能力,属于中档题.21、(1)(2)【解析】
(1)当时,,由可得,(所以,解得,所以不等式的解集为.(2)由题可得,因为函数的图象与轴恰好围成一个直角三角形,所以,解得,当时,,函数的图象与轴没有交点,不符
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