专题12 函数模型及其应用-2021年新高考数学基础考点一轮复习

专题12函数模型及其应用【考点总结】1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)2.三种函数模型性质比较y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同【常用结论】1．“对勾”函数形如f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－eq\r(a))和(eq\r(a)，＋∞)上单调递增，在[－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a)]上单调递减．(2)当x>0时，x＝eq\r(a)时取最小值2eq\r(a)，当x<0时，x＝－eq\r(a)时取最大值－2eq\r(a).2．解决函数应用问题应注意的3个易误点(1)解应用题的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年”)，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错．(2)解应用题建模后一定要注意定义域．(3)解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案．【易错总结】(1)对三种函数增长速度的理解不深致错；(2)建立函数模型出错；(3)分段函数模型的分并把握不准．例1．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)解析：选B.由图象知，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x)．故选B.例2．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝eq\f(1,2)x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为______万件．解析：利润L(x)＝20x－C(x)＝－eq\f(1,2)(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．答案：18例3．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100km，票价是0.5元/km，如果超过100km，超过100km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行程千米数x(km)之间的函数关系式是________．解析：由题意可得y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.5x，0<x≤100，,0.4x＋10，x>100.))答案：y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.5x，0<x≤100，,0.4x＋10，x>100))【考点解析】【考点】一、应用所给函数模型解决实际问题例1、(1)某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)()A．30元 B．60元C．28000元 D．23000元(2)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m＞0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．【解析】(1)设毛利润为L(p)元，则由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．当p∈(0，30)时，L′(p)>0，当p∈(30，＋∞)时，L′(p)<0，故L(p)在p＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L(30)＝23000.(2)因为m＝6.5，所以[m]＝6，则f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.【答案】(1)D(2)4.24求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该模型求解实际问题．【变式】1．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系式f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(C，0＜x≤A，,C＋B（x－A），x＞A.))已知某家庭2016年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为()A．11.5元 B．11元C．10.5元 D．10元解析：选A.根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝eq\f(1,2)，C＝4，所以f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4，0＜x≤5，,4＋\f(1,2)（x－5），x＞5，))所以f(20)＝4＋eq\f(1,2)(20－5)＝11.5.【变式】2．一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解析：当t＝0时，y＝a；当t＝8时，y＝ae－8b＝eq\f(1,2)a，故e－8b＝eq\f(1,2).当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝eq\f(1,8)a，e－bt＝eq\f(1,8)＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16min容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案：16【考点】二、构建函数模型解决实际问题角度一构造一次函数、二次函数模型例1、(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)之间的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为______kg.(2)将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个．为了赚得最大利润，每个售价应定为______元．【解析】(1)由图象可求得一次函数的解析式为y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19.(2)设每个售价定为x元，则利润y＝(x－80)·[400－(x－90)·20]＝－20[(x－95)2－225]．所以当x＝95时，y最大．【答案】(1)19(2)95角度二构建指数函数、对数函数模型例2、某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2018年 B．2019年C．2020年 D．2021年【解析】根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2016年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{an}，其中，首项a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以an＝130×1.12n－1.由130×1.12n－1>200，两边同时取对数，得n－1>eq\f(lg2－lg1.3,lg1.12)，又eq\f(lg2－lg1.3,lg1.12)≈eq\f(0.30－0.11,0.05)＝3.8，则n>4.8，即a5开始超过200，所以2020年投入的研发资金开始超过200万元，故选C.【答案】C角度三构建函数y＝ax＋eq\f(b,x)(a＞0，b＞0)模型例3、某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．【解】设该养殖场x(x∈N*)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y元．因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x天饲料的保管费与其他费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x2－3x(元)．从而有y＝eq\f(1,x)(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝eq\f(300,x)＋3x＋357≥417，当且仅当eq\f(300,x)＝3x，即x＝10时，y有最小值．故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．角度四构建分段函数模型例4、某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？【解】(1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115＞0，解得x＞2.3，因为x为整数，所以3≤x≤6，x∈Z.当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，结合x为整数得6＜x≤20，x∈Z.所以y＝f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(50x－115（3≤x≤6，x∈Z），,－3x2＋68x－115（6＜x≤20，x∈Z）.))(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)，显然当x＝6时，ymax＝185；对于y＝－3x2＋68x－115＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(34,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(811,3)(6＜x≤20，x∈Z)，当x＝11时，ymax＝270.因为270＞185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．【变式】1．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少eq\f(1,3)，至少应过滤______次才能达到市场要求．(已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)解析：设至少过滤n次才能达到市场需求，则2%eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\s\up12(n)≤0.1%，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n)≤eq\f(1,20)，所以nlgeq\f(2,3)≤－1－lg2，所以n≥7.39，所以n＝8.答案：8【变式】2．大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R与门面经营天数x的关系是R(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x