幂函数与二次函数课件-2025届高三数学一轮复习

第二章函数的概念与性质第6课时幂函数与二次函数考试要求通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)，能用二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系解决简单问题．链接教材夯基固本第6课时幂函数与二次函数1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数_____叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点________和________，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点________，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y＝xα为______；当α为偶数时，y＝xα为______．y＝xα(1，1)(0，0)(1，1)奇函数偶函数2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝__________________．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为________．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的____．(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)

定义域Rax2＋bx＋c(a≠0)(m，n)零点值域对称轴方程顶点坐标奇偶性当____时是偶函数，当____时是非奇非偶函数单调性

b＝0b≠0减增增减

×√√×二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P86T7改编)函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为(

)A．[－6，2]

B．[－6，1]

C．[0，2]

D．[0，1]A

[函数f(x)＝－2x2＋4x图象的对称轴为x＝1，则f(x)在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，∴f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(－1)＝－2－4＝－6，即f(x)的值域为[－6，2].]2．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T4改编)若函数f(x)＝3x2－kx－8在[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围为__________________________．

(－∞，30]∪[120，＋∞)

4．(人教A版必修第一册P91练习T2改编)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是________．(用“<”连接)c<b<a

[由指数函数，幂函数的单调性可知0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3，即c<b<a.]

(0，＋∞)c<b<a典例精研核心考点第6课时幂函数与二次函数

名师点评

与幂函数有关问题的解题思路(1)关于幂函数y＝xα，若α∈Z且函数是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将xα先化为根式，再分析函数的性质．(2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.(3)在比较幂值的大小时，结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．

考点二二次函数的图象与解析式[典例2]

(1)(多选)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，则(

)A．b2＞4ac

B．2a－b＝1C．a－b＋c＝0

D．5a＜b(2)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝____________．

－4x2＋4x＋7

名师点评

研究二次函数图象及解析式应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取零点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．

f(x)＝x2－4x＋5(答案不唯一)

考点三二次函数的单调性与最值[典例3]已知函数f(x)＝x2－tx－1.(1)若f(x)在区间(－1，2)上不单调，求实数t的取值范围；(2)若x∈[－1，2]，求f(x)的最小值g(t)．

[拓展变式]本例条件不变，求当x∈[－1，2]时，f(x)的最大值G(t)．

【教师备选资源】已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3，若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值．

名师点评

二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．[跟进训练]3．(1)已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，若f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，则实数k的取值范围为____________．(2)设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．(1)(－∞，1)

[由题意得x2＋x＋1>k在区间[－3，－1]