2024年广东省广州市海珠区第四十一中学中考二模数学试题

2024年广东省广州市海珠区第四十一中学中考二模数学试题一、选择题（本大题共10小题，共30分）1．（3分）要使在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≤1 B．x＞1 C．x≥0 D．x≥12．（3分）已知点A（2﹣a，a+1）在第一象限，则a的取值范围是（）A．a＞2 B．﹣1＜a＜2 C．﹣2＜a＜﹣1 D．a＜13．（3分）下列运算中，正确的是（）A．x3•x3＝x6 B．（x2）3＝x5 C．3x2÷2x＝x D．（x﹣y）2＝x2﹣y24．（3分）下列说法中，正确的是（）A．为了解某市中学生的睡眠情况实行全面调查 B．一组数据﹣1，2，5，5，7，7，4的众数是7 C．明天的降水概率为90%，则明天下雨是必然事件 D．若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更稳定5．（3分）如图，AC是⊙O的直径，点B、D在⊙O上，，∠AOB＝60°，则CD的长度是（）A． B． C．3 D．66．（3分）将等腰直角三角形纸片和长方形纸片按如图方式叠放，若∠1＝25°，则∠2的度数为（）A．45° B．30° C．25° D．20°7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D和点E分别是BC和AB上的点，已知DE⊥AB，，AC＝8，CD＝2，则DE的长为（）A．3.2 B．4 C．4.5 D．4.88．（3分）已知，如图，点C是以AB为直径的半圆O上一点，过点C作⊙O的切线CD，BD⊥CD于点D，若∠DCB＝50°，则∠ABC的度数是（）A．25° B．40° C．45° D．50°9．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）上的一个动点，连接OA，过点O作OB⊥OA，并且使OB＝2OA，连接AB，当点A在反比例函数图象上移动时，点B也在某一反比例函数y＝图象上移动，则k的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．210．（3分）如图，直角三角形BEF顶点F在矩形ABCD的对角线AC上运动，连接AE．∠EBF＝∠ACD，AB＝6，BC＝8，则AE的最小值为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题，共18分）11．（3分）某种芯片每个探针单元的面积为0.0000064cm2，0.0000064用科学记数法可表示为．12．（3分）分解因式：2a2﹣8＝．13．（3分）已知一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是边形．14．（3分）某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥．他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径为10cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是．15．（3分）已知a，b是方程x2+3x﹣7＝0的两个实数根，则a2﹣3b+2023的值是．16．（3分）如图，BC＝8cm，点D是线段BC上的一点，分别以BD、CD为边在BC的同侧作等边三角形ABD和等边三角形CDE，AC、BE相交于点P，则点D从点B运动到点C时，点P的运动路径长（含与点B、C重合）为．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（4分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．18．（4分）已知：如图，E为BC上一点，AC∥BD，AC＝BE，BC＝BD．求证：AB＝DE．19．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中m＝+1．20．（6分）某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团．学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：（1）求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；（2）若全校共有学生3600人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；（3）甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．21．（8分）五一节前，某商店拟用1000元的总价购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台．已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用400元．（1）求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？（2）销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为180元/台，B种品牌电风扇定价为250元/台，为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？22．（10分）如图，BD为⊙O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC于E点，AE＝2，ED＝4．（1）求证：△ABE∽△ABD；（2）求tan∠ADB的值．23．（10分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C、D．若tan∠BAO＝2，BC＝3AC．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△OCD的面积．24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，连接CD．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动、速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．PQ交AC于点F，连接CP，EQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：（1）当EQ⊥AD时，求t的值；（2）设四边形PCDQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．25．（12分）已知抛物线y＝x2+tx﹣t﹣1（t＞0）过点（h，﹣4），交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，且对于任意实数m，恒有m2+tm﹣t﹣1≥﹣4成立．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使得∠BMC＝∠BAC，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若P1（n﹣2，y1），P2（n，y2），P3（n+2，y3）三点都在抛物线上且总有y3＞y1＞y2，请直接写出n的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，共30分）1．（3分）要使在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≤1 B．x＞1 C．x≥0 D．x≥1【解答】解：∵在实数范围内有意义，∴x﹣1≥0，∴x≥1．故选：D．2．（3分）已知点A（2﹣a，a+1）在第一象限，则a的取值范围是（）A．a＞2 B．﹣1＜a＜2 C．﹣2＜a＜﹣1 D．a＜1【解答】解：∵点A（2﹣a，a+1）在第一象限，∴解得：﹣1＜a＜2．故选：B．3．（3分）下列运算中，正确的是（）A．x3•x3＝x6 B．（x2）3＝x5 C．3x2÷2x＝x D．（x﹣y）2＝x2﹣y2【解答】解：x3•x3＝x6，故选项A正确，符合题意；（x2）3＝x6，故选项B不正确，不符合题意；，故选项B不正确，不符合题意；（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故选项B不正确，不符合题意；故选：A．4．（3分）下列说法中，正确的是（）A．为了解某市中学生的睡眠情况实行全面调查 B．一组数据﹣1，2，5，5，7，7，4的众数是7 C．明天的降水概率为90%，则明天下雨是必然事件 D．若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更稳定【解答】解：A．为了解某市中学生的睡眠情况实行抽样调查，故A选项不符合题意；B．一组数据﹣1，2，5，5，7，7，4的众数是5和7，故B选项不符合题意；C．明天的降水概率为90%，则明天下雨是随机事件，故C选项不符合题意；D．若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更稳定，故D选项符合题意，故选：D．5．（3分）如图，AC是⊙O的直径，点B、D在⊙O上，，∠AOB＝60°，则CD的长度是（）A． B． C．3 D．6【解答】解：∵AB＝AD，∴∠AOD＝∠AOB＝60°，∵OD＝OC，∴，在Rt△ACD中，，即，∴CD＝3，故选：C．6．（3分）将等腰直角三角形纸片和长方形纸片按如图方式叠放，若∠1＝25°，则∠2的度数为（）A．45° B．30° C．25° D．20°【解答】解：如图，由题意可知，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴，由题意可知，AD∥CE，∠1＝25°，∴∠ACE＝∠1＝25°，∴∠2＝∠ACB﹣∠ACE＝45°﹣25°＝20°．故选：D．7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D和点E分别是BC和AB上的点，已知DE⊥AB，，AC＝8，CD＝2，则DE的长为（）A．3.2 B．4 C．4.5 D．4.8【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，∴，即，解得AB＝10，∴，∵CD＝2，∴BD＝BC﹣CD＝4，∵DE⊥AB，∴，即，解得DE＝3.2．故选：A．8．（3分）已知，如图，点C是以AB为直径的半圆O上一点，过点C作⊙O的切线CD，BD⊥CD于点D，若∠DCB＝50°，则∠ABC的度数是（）A．25° B．40° C．45° D．50°【解答】解：连接OC，如图，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°．∵∠DCB＝50°，∴∠OCB＝90°﹣∠DCB＝40°，∵OC＝OB，∴∠ABC＝∠OCB＝40°．故选：B．9．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）上的一个动点，连接OA，过点O作OB⊥OA，并且使OB＝2OA，连接AB，当点A在反比例函数图象上移动时，点B也在某一反比例函数y＝图象上移动，则k的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【解答】解：∵点A是反比例函数y＝（x＞0）上的一个动点，∴可设A（x，），∴OC＝x，AC＝，∵OB⊥OA，∴∠BOD+∠AOC＝∠AOC+∠OAC＝90°，∴∠BOD＝∠OAC，且∠BDO＝∠ACO，∴△AOC∽△OBD，∵OB＝2OA，∴＝＝＝，∴OD＝2AC＝，BD＝2OC＝2x，∴B（﹣，2x），∵点B反比例函数y＝图象上，∴k＝﹣•2x＝﹣4，故选：A．10．（3分）如图，直角三角形BEF顶点F在矩形ABCD的对角线AC上运动，连接AE．∠EBF＝∠ACD，AB＝6，BC＝8，则AE的最小值为（）A． B． C． D．【解答】解：过点B作BH⊥AC于点H，连接EH，如图所示：∴∠BEF＝∠BHF＝90°，∴E、B、F、H四点共圆，∴∠EHB＝∠EFB，∵∠AHE+∠EHB＝90°，∠EBF+∠EFB＝90°，∴∠AHE＝∠EBF，∵∠EBF＝∠ACD，∴∠AHE＝∠ACD＝定值，∴点E在射线HE上运动，当AE⊥EH时，AE的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，∠D＝90°，∴AC＝＝＝10，∴sin∠AHE＝sin∠ACD＝＝，∵S△ACB＝AB•CB＝AC•BH，即×6×8＝×BH，∴BH＝，在Rt△AHB中，由勾股定理得：AH＝＝＝，∴AE的最小值＝AH•sin∠AHE＝＝．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，共18分）11．（3分）某种芯片每个探针单元的面积为0.0000064cm2，0.0000064用科学记数法可表示为6.4×10﹣6．【解答】解：0.0000064＝6.4×10﹣6．故答案为：6.4×10﹣6．12．（3分）分解因式：2a2﹣8＝2（a+2）（a﹣2）．【解答】解：2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2），故答案为：2（a+2）（a﹣2）．13．（3分）已知一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是五边形．【解答】解：360÷72＝5．故这个多边形是五边形．故答案为：五．14．（3分）某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥．他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径为10cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是120°．【解答】解：设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是n°，2π×10＝，解得n＝120，即这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是120°，故答案为：120°．15．（3分）已知a，b是方程x2+3x﹣7＝0的两个实数根，则a2﹣3b+2023的值是2039．【解答】解：∵a，b是方程x2+3x﹣7＝0的两个实数根，∴a2+3a﹣7＝0，a+b＝﹣＝﹣3，a2﹣3b+2023＝a2+3a﹣3（a+b）+2023＝7+9+2023＝2039，故答案为：2039．16．（3分）如图，BC＝8cm，点D是线段BC上的一点，分别以BD、CD为边在BC的同侧作等边三角形ABD和等边三角形CDE，AC、BE相交于点P，则点D从点B运动到点C时，点P的运动路径长（含与点B、C重合）为．【解答】解：如图，设AC交BE于点T．∵△ABD，△DCE都是等边三角形，∴BA＝BD，DE＝DC，∠BDA＝∠EDC＝60°，∴∠BDE＝∠ADC，∴△BDE≌△ADC（SAS），∴∠DBE＝∠DAC，∵∠BTD＝∠ATP，∴∠APT＝∠BDT＝60°，∴∠BPC＝120°＝定值，∴点P的运动轨迹是以O为圆心OB为半径的弧BC，在优弧BC收入取一点F，连接BF，CF，∵∠F+∠BPC＝180°，∴∠F＝60°，∴∠BOC＝2∠F＝120°，作OH⊥BC，∵OB＝OC，∴BH＝CH＝4，∠BOH＝∠COH＝60°，∴OB＝＝8，∴的长＝＝．∴点P的运动轨迹的长为．故答案为．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（4分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．【解答】解：解不等式x﹣2≤1，得：x≤3，解不等式4x+5＞x+2，得：x＞﹣1，将不等式解集表示在数轴如下：则不等式组的解集为﹣1＜x≤3．18．（4分）已知：如图，E为BC上一点，AC∥BD，AC＝BE，BC＝BD．求证：AB＝DE．【解答】证明：∵AC∥BD，∴∠ACB＝∠DBC，∵AC＝BE，BC＝BD，∴△ABC≌△EDB，∴AB＝DE．19．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中m＝+1．【解答】解：原式＝＝＝，m＝+1时，原式＝＝＝．20．（6分）某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团．学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：（1）求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；（2）若全校共有学生3600人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；（3）甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．【解答】解：（1）本次调查的学生人数为：80÷40%＝200（人），则科普类的学生人数为：200﹣40﹣50﹣80＝30（人），补全条形统计图如下：（2）愿意参加劳动社团的学生人数为：（人）；（3）把阅读、美术、劳动社团分别记为A、B、C，画出树状图如下：共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选中同一社团的结果有3种，∴甲、乙两名同学恰好选中同一社团的概率为．21．（8分）五一节前，某商店拟用1000元的总价购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台．已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用400元．（1）求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？（2）销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为180元/台，B种品牌电风扇定价为250元/台，为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？【解答】解：（1）设A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是x元、y元，，解得，答：A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是100元、150元；（2）设购进A种品牌的电风扇a台，购进B种品牌的电风扇b台，利润为w元，w＝（180﹣100）a+（250﹣150）b＝80a+100b，∵某商店拟用1000元的总价购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台，∴100a+150b＝1000且a≥1，b≥1，∴2a+3b＝20（a≥1，b≥1），∴或或，∴当a＝1，b＝6时，w＝80×1+100×6＝680，当a＝4，b＝4时，w＝80×4+100×4＝720，当a＝7，b＝2时，w＝80×7+100×2＝760，由上可得，当a＝7，b＝2时，w取得最大值，答：为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风2台．22．（10分）如图，BD为⊙O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC于E点，AE＝2，ED＝4．（1）求证：△ABE∽△ABD；（2）求tan∠ADB的值．【解答】（1）证明：如图，连接AC，∵点A是弧BC的中点，∴∠ABC＝∠ACB，又∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ABC＝∠ADB．又∵∠BAE＝∠BAE，∴△ABE∽△ABD；（2）解：∵AE＝2，ED＝4，∴AD＝AE+ED＝2+4＝6，∵△ABE∽△ABD，BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵△ABE∽△ABD，∴＝，∴AB2＝AE•AD＝2×6＝12，∴AB＝2，在Rt△ADB中，tan∠ADB＝．23．（10分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C、D．若tan∠BAO＝2，BC＝3AC．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△OCD的面积．【解答】解：（1）在Rt△AOB中，tan∠BAO＝＝2，∵A（4，0），∴OA＝4，OB＝8，∴B（0，8），∵A，B两点在直线y＝ax+b上，∴，∴，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8，过点C作CE⊥OA于点E，∵BC＝3AC，∴AB＝4AC，∴CE∥OB，∴＝＝，∴CE＝2，∴C（3，2），∴k＝3×2＝6，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）由，解得或，∴D（1，6），过点D作DF⊥y轴于点F，∴S△OCD＝S△AOB﹣S△BOD﹣S△COA＝•OA•OB﹣•OB•DF﹣•OA•CE＝×4×8﹣×8×1﹣×4×2＝824．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，连接CD．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动、速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．PQ交AC于点F，连接CP，EQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：（1）当EQ⊥AD时，求t的值；（2）设四边形PCDQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图：在Rt△ABC中，AC＝＝＝4，∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，∴AD＝AB＝5，DE＝BC＝3，AE＝AC＝4，∠AED＝∠ACB＝90°，∵EQ⊥AD，∴∠AQE＝∠AED＝90°，∵∠EAQ＝∠DAE，∴△AQE∽△AED，∴＝，即＝，∴AQ＝，∴t＝＝；答：t的值为；（2）过P作PN⊥BC于N，过C作CM⊥AD于M，如图：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，∴∠BAD＝90°，即∠BAC+∠CAM＝90°，∵∠B+∠BAC＝90°，∴∠B＝∠CAM，∵∠ACB＝90°＝∠AMC，∴△ABC∽△CAM，∴＝，即＝，∴CM＝，∴S△ACD＝AD•CM＝×5×＝8，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝×3×4+8＝14，∵∠PBN＝∠ABC，∠PNB＝90°＝∠ACB，∴△PBN∽△ABC，∴＝，即＝，∴PN＝t，∴S△BCP＝BC•PN＝×3×t＝t，∴S＝S四边形ABCD﹣S△BCP﹣S△APQ＝14﹣t﹣（5﹣t）•t＝t2﹣t+14；答：S与t之间的函数关系式是S＝t2﹣t+14；（3）存在某一时刻t，使PQ∥CD，理由如下：过C作CM⊥AD于M，如图：由（2）知CM＝，