2025优化设计一轮第4节 第1课时　分组转化法、并项转化法和错位相减法

第4节数列求和高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025课标解读1.巩固等差数列、等比数列前n项和公式.2.掌握数列求和的裂项相消法、错位相减法、分组转化法、并项转化法、倒序相加法,能够解决数列的求和问题.研考点精准突破目录索引

强基础固本增分12强基础固本增分知识梳理推导方法:倒序相加法

推导方法:乘公比,错位相减法

2.非特殊数列求和的几种常用方法(1)倒序相加法:如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.(2)分组转化法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组转化法,分别求和后再相加减.如已知an=2n+(2n-1),求前n项和Sn.(3)并项转化法:若一个数列的前n项和中两两结合后可求和,则求和时可用并项转化法.如已知an=(-1)nf(n),求前n项和Sn.(4)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.(5)裂项相消法:把数列的通项公式拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.错位相减时,要注意最后一项的符号

自主诊断题组一

思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)2.利用倒序相加法可求得sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°=44.5.(

)3.1002-992+982-972+…+22-12=(100+99)+(98+97)+…+(2+1).(

)4.若Sn=a+2a2+3a3+…+nan,则当a≠0,且a≠1时,Sn的值可用错位相减法求得.(

)×√√√题组二

回源教材6.(人教A版选择性必修第二册习题4.3第3(2)题改编)1+2x+3x2+…+nxn-1=__________.(x≠0且x≠1)

A8.(2020·全国Ⅰ,理17)设{an}是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.(1)求{an}的公比;(2)若a1=1,求数列{nan}的前n项和.解

(1)设{an}的公比为q,由题设得2a1=a2+a3,a1≠0,即2a1=a1q+a1q2,所以q2+q-2=0,解得q=1(舍去)或q=-2.故{an}的公比为-2.(2)记Sn为{nan}的前n项和.由(1)及题设可得,an=(-2)n-1.所以Sn=1+2×(-2)+…+n×(-2)n-1,-2Sn=-2+2×(-2)2+…+(n-1)×(-2)n-1+n×(-2)n.第1课时分组转化法、并项转化法和错位相减法高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025研考点精准突破考点一分组转化法求和例1(2024·辽宁锦州模拟)已知数列{an}和{bn}满足an+bn=2n-1,数列{an},{bn}的前n项和分别记作An,Bn,且An-Bn=n.(1)求An和Bn;[对点训练1](2024·广东深圳模拟)已知等差数列{an}满足a3=10,a5-2a2=6.(1)求an;考点二并项转化法求和例2(2024·福建泉州模拟)在数列{an}中,a1=1,且an+1=2an+n-1.(1)证明:数列{an+n}为等比数列,并求出an;(2)记数列{bn}的前n项和为Sn,若an+bn=2Sn,求S11.(1)证明

因为an+1=2an+n-1,所以数列{an+n}是首项为2,公比为2的等比数列,故an+n=2×2n-1=2n,可得an=2n-n.(2)解

因为2Sn=an+bn=bn+2n-n,即2Sn=bn+2n-n,①所以当n=1时,2b1=b1+1,解得b1=1,当n≥2时,2Sn-1=bn-1+2n-1-n+1,②①-②得2bn=bn-bn-1+2n-1-1,整理得bn+bn-1=2n-1-1.所以S11=b1+b2+b3+b4+b5+…+b11=b1+(b2+b3)+(b4+b5)+…+(b10+b11)=1+(22-1)+(24-1)+…+(210-1)=(22+24+26+28+210)-4=1

360,即S11=1

360.规律方法并项转化法求和的关注点(1)一般地,当数列中的各项正负交替,且各项绝对值成等差数列时,可采用并项转化法求和.

(2)在利用并项转化法求和时,一般需要对项数n分奇数和偶数两种情况进行讨论.考点三错位相减法求和规律方法错位相减法求数列{an}的前n项和的步骤与注意事项(1)适用条件若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列,{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列,求数列{an·