2月大数据模拟卷02（江苏专用）（解析版）高中数学

2月大数据精选模拟卷01（江苏专用）

数学

本卷满分150分，考试时间120分钟

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的.

〃+3i

1.若复数z=-----i是虚数单位）是纯虚数，则复数％的虚部为（）

1-2/

A.3B.3/C.-3D.-3z

【答案】C

【解析】

a+3i_++2。_a-63+2。.

由题意可得:z=l-2z-(l-2i)(l+2z)-55lf

工0

c5，解得：a=6,则2=。一63+2。..

满足题意时,有:-----1-------z=3z,

三支055

5

由共加复数的定义可得：5=一3"故复数彳的虚部为-3.

2.已知集合“=<X，集合N={x|2x+3>0},则低⑷P|N=()

3j

C.D.

2,2'

,：N={x|2x+3>0}

x〉-3(3)

N=4x--,+00

2[2>

I

3.在平面直角坐标系xOy内，已知直线/与圆。：/+尸=8相交于4B两点，且|AB|=4,若

定=2）一砺且M是线段AB的中点，则反.加的值为（）

A.百B.2X/2C.3D.4

【答案】D

【详解】

山|AB|=4,M是线段AB的中点厕OM±AB

所以|OM|=JR2-2?=7^=2

由反=2次-砺，则反+砺=2丽，则A为线段3。的中点，如图

所以|CM|=|C4|+|AM|=4+2=6

在直角△CMO中，无.丽=|丽■，丽|cosNCOM=|两=4

4.3位男生和3位女生共6位同学排成一排，若男生甲不站两端，且3位女生中有且仅有两位女生相邻,

则不同的排法共有（）种

A.360B.288C.216D.144

【答案】B

【详解】

先不管甲，仅考虑俩女生相邻，此时可以将俩女生捆绑在一起，这样三个女生可以视为2个整体，先将三

个男生排好，有4个空，然后将视为2个整体的女生插入到4个空中，一共有“否抬=432种：再减去俩

女生相邻，且甲在两端的情况，此时可以先将甲的位置固定，然后将剩下的两个男生排好位置，视为2个

2

整体的女生只能插入到3个空中，一共有6朗房房=144种，则符合题意的排列方式一共有432-144=

288种，

故选B.

5.下列图象中，可能是函数/(x)=x“e+e7)meZ)的图象的是()

【答案】D

【详解】

根据题意，函数/(x)—x11{e'+e'x),其导数/(x)(靖+<?.-，)+L(.e'e''),

又由aGZ,

当a=0,/(x)=er+e\(#0)其定义域为{X-0},〃x)为偶函数，不经过原点且在第一象限为增函数,

没有选项符合;

当“为正偶数时，f(x)(e'+e*),其定义域为R,7(x)为偶函数且过原点，在第一象限为增函数，

没有选项符合，

当。为正奇数时，/(x)=犬(F+eD,其定义域为R,f(x)为奇函数且过原点，在第一象限为增函数且

增加的越来越快，没有选项符合，

当a为负偶数时，/(x)=/("+-*),其定义域为{x后0},/(x)为偶函数，不经过原点且在第一象限先

减后增，。选项符合；

当a为负奇数时，/(x)=『S+D,其定义域为㈤#0},/(x)为奇函数，不经过原点且在第一象限先

减后增，没有选项符合，

综合可得：。可能是函数/(工)=x"S+D(t?GZ)的图象：

6.若正数％,y满足9+49一4=0,则％+y的最小值是()

4也

A.y/3DR.-----

5

3

【答案】A

【详解】

4—Y2

x>0,y>0,x2+4xy-4=0=>y=------->0,解得：（）vx<2

4x

……二金+'包」s

-4A-4x4x

当至=_1,即％=迪时等号成立,

4x3

即x+y的最小值是百.

22

7.过双曲线与=1的左焦点E(-c,0)作圆/+>2=。2的切线，切点为E，延长FE交抛物线

ab"

y2=4cx于点尸，若上是线段耳P的中点，则双曲线的离心率是()

A1+布D1+gp3+>/5n5/5

2222

【答案】A

【解析】

设双曲线的右焦点为居，则鸟的坐标为(C,0)

因为抛物线为y2=4cx,所以名为抛物线的焦点

因为。为耳玛的中点，E为KP的中点，所以OE为AP6居的中位线,

属于OE〃PK

因为|OE|=a,所以|PKl=2a

又PBJ_PK，|耳玛|=2c所以『用=2b

设P(x,y),则由抛物线的定义可得x+c=2a,

x=2a-c

过点6作x轴的垂线，点P到该垂线的距离为2a

由勾股定理y2+4a2=4b2,即4c(2a-c)+4a2=4(c2-a2)

得e?-e-1=0,

4

V5+1

2

1Y

8.设函数〃x)=t+a++b,a,人eR.若对任意无«l,+8)恒成立，则M的最

小值为()

3

C.D.

44

【答案】D

【详解】

ix,1x,

因为—+a4-J+b=M=max<—+a+———+Z?，—+a——；----b

Xx2+lXX+1\xX+1

当M=b“+e++寸，令g8TETH易知g(x)在［l,+00)上单调递减;

X

所以M=max

Ix尤

当〃=—+Q-------b时,令〃(x)=—

XX+1

12x2X3-X4-2X2-1-X2(X-1)2-(X2+1)

则勿(x)="­T-------T=-----------;=------------------<0

x(f+l)-x2(x2+l)-x2(x2+l)-

易知〃(x)在［1,+8)上单调递减;

,a-b+g

所以M=maxx

所..以,.所.以M2|'―〃一b|+__a__-_b_T_—1>_u__—_b__—_a__+_b__—_L

3

所以综上，M>~.

4

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

5

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.随着2022年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得

到释放，将引领户外用品行业市场增长.下面是2012年至2018年中国雪场滑雪人次(万人次)与同比增

长率的统计图，则下面结论中正确的是()

25.0%

20.0%

15.0%

10.0%

5.0%

0.0%

2012201320142015201620172018

「中国雪场滑雪人次(单位：万人)一同比增长率

A.2013年至2018年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年增加

B.2013年至2018年，中国雪场滑雪人次逐年增加

C.2013年与2018年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等

D.2012年到2018年，中国雪场滑雪人次增长率约为146.2%

【答案】BD

【详解】

由2012年至2018年中国雪场滑雪人次(万人次)与同比增长率的统计图可知：

对于A,2013年至2015年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年增加，而2015年至2018年，中国雪场

滑雪人次的同比增长率逐年减少，故A错误；

对于B,2013年至2018年，中国雪场滑雪人次逐年增加，故B正确；

对于C,2013年与2018年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，但是同比增长人数不相等，2018

年比2013年增长人数多，故C错误；

对于D,2012年至2018年，中国雪场滑雪人次增长率约为一^^x100%a146.2%,故D正确.

800

10.已知函数/(x)=3sinx+sin3x,则()

A./(x)是奇函数B.f(x)是周期函数且最小正周期为2"

C./(x)的值域是D.当xe(0,»)时/'(x)>0

6

【答案】ABD

【详解】

A.f(-x)=3sin(-x)+sin(-3x)=-3sinx-sin3x=-/(x),故f(x)是奇函数，故A正确;B.因为

27r

尸而”的最小正周期是2%，y=sin3x的最小正周期为手，二者的“最小公倍数”是2%,故2乃是F3

的最小正周期，故B正确；

C.分析/(X)的最大值，因为3sinXV3,sin3尤＜1,所以/(x)V4,等号成立的条件是sinx=1和sin3x=1

jr3冗

同时成立，而当sinx=l即x=2Z乃+—(keZ)时，3X=6ATTH-----(A:eZ),sin3尤=一1故C错误；

22

D.展开整理可得/(x)=3sinx+sinxcoslx+cosxsinlx-sin^(4cos2x+2),易知当xe(0,7)时，

f(x)＞0,故D正确.

11.设。>0,8>0,则下面不等式中恒成立的是()

A.cr+kr+\>a+hB.yj\a-b\>4a-4b

7114

c.-nr-^D.-+-<------

-+-aba+b

ab

【答案】ABC

【详解】

a+b1-b+\={a-—+[b~—+—>0

对于A,a1+b2+l-(a+b)=a2

I2；I2；2

所以4+。2+1＞。+6，故A正确;

对'于B,当a<b时，a->0,-yfh<0>所以—4N,

当时，耳+扬)=\a—b\+2yj\a—b\h+b=a—b+2yl^a—b^h+b>a»

即亚工f?JZ—〃，当且仅当a=b时取等号，故B正确；

2lab2abr--

对于C,•.•a>0,b>0,11a+b2y[ab，

一十一

ab

当且仅当。二〃时取等号，故C正确；

对于D,•・,〃>(),〃>0,.•.(々+/?)(工+2]=2+2+0之2+2/2・3=4,

\ab)ab\ab

7

114

/.-+->-当且仅当a=b时取等号，故D错误.

aha+b

12.如图，已知平行四边形ABC。中，ZBAD=60\AB=2AD，E为边AB的中点，将AADE沿直

线。E翻折成△4OE.若〃为线段AC的中点，则在AADE翻折的过程中，下列命题正确的有（）

A.异面直线OE与AC所成的角可以为90。

B.二面角。一4E-C可以为900

C.直线MB与平面AOE所成的角为定值

D.线段8M的长为定值

【答案】BCD

【详解】

对•于选项4若与4C所成的角为90'，因为A5=2AT>,N8A£>=60°，

可设。E=x,所以DC=2x,EC=s/3x，所以C£+。七2=，

所以CELDE,-.■A,CnCE=C,A,C,CEu面ACE,.•.£）£，面4。石，

又A£u面ACE,所以OE_LAE,与△4OE为等边三角形矛盾，故错误；

对于选项8：因为CE?+0^2=02,所以所以当点A与点E重合时，二面角。一4£一。

等于90°，故正确；

取0c的中点为MEC的中点为尸，因为8、N、?在同一条直线上，所以面ADE〃面MNP，因为A组与

平面MNP共面，所以直线MB〃面AOE，所以直线MB与平面4OE所成的角为定值，故正确：

对于D：幺DE=NMNB,

所以=MN、NB°-2MN•NBcosNMNB，所以线段3M的长为定值.

8

A1

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.曲线y=xe'+x+1在点（0,1）处的切线方程为.

【答案】y=2x+\

【详解】

v/=/+xe*+1,，切线的斜率为k=y'\x=0=e°+1=2

则切线方程为y-l=2x,即y=2x+l

rr

14.平面向量B的夹角为60、且a—b=1,则70+2B）的最大值为

【答案】1+巫

3

【详解】

a-b^a\\b\cos60,=；111|51,

rr2

因为所以（M—B）=1,所以|。『+出石=1,

所以|训2+|3|2一|万面上］,

I肝+|到5|

所以7仅+29=|矶2+2无5=|乔+|万||5|

|开+旧|2-|洲出I

1+囱

\a\

9

喟

1+回-3（囱+1]+3

\a\）I同）

1

1+回+3

-3

\a\

令”得

当且仅当，=百，即出=6一1时，等号成立.

|a|

7伍+2q的最大值为平

所以4•+1-

3

15.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为《，乙获胜的概率

为|,各局比赛相互独立，则恰好进行了4局结束比赛的概率为.

78

【答案】一

625

【详解】

由题得恰好进行了4局结束比赛，有两种情况：

323354

(1)甲第一局赢，第二局输，第三、四局赢，此时=X=X=；

5555625

232224

(2)乙第一局赢，第二局输，第三、四局赢，止匕时/J=-x=x—x—=)一；

5555625

所以恰好进行了4局结束比赛的概率为4+巴=5/4+丁24=78

625625625

16.设点尸是抛物线>2=4x的焦点，过点F作倾斜角为45。直线交抛物线于A，3两点，则以线段AB

为直径的圆的半径是,若该圆上恰有三个点到直线y=x+Z?(0>0)的距离为2,则》=.

【答案】4-1+272

【详解】

10

尸是抛物线V=4x的焦点，所以尸的坐标为(1,0),抛物线的准线方程为：％=-1

因为直线的倾斜角为45°,

所以直线A5的斜率为：tan45°=1,所以直线A3的方程为：y=x-l,直线钻的方程，与抛物线方程

)=龙一12,

联立得：\,=>X-6X+1=0,设A(M，y),B(x2,y2),

lr=4x

因此有％+彳2=6,

所以A5=x-(-l)+w-(-1)=8,因此以线段AB为直径的圆的半径是gx8=4.

设线段A3为直径的圆的圆心为。(毛,％)，所以有/=纭歪=3,%=%-1=2,即圆心£>的坐标

为：(3,2),

因为圆上恰有三个点到直线y=x+b(b>0)的距离为2,圆的半径为4,

所以圆心。到直线y=x+h(h>0)的距离为2,

即Pxl「(T)x2+q=2nb=_]±20,"〉(V)=_]+20

VI2+(-D2

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在①储+匕2-c、2=“匕，②asinB=。，③Gcos^=sinC这三个条件中任选一•个，补充在下面问

2

题中，若问题中的AABC存在，求出其面积；若不存在，说明理由.

问题：是否存在△ABC,它的内角A，B,。所对的边分别为a,。，C,且a+h=4,c=2,?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】答案见解析

【详解】

选择条件①：

由余弦定理得cosC=《+吐’二=生=!

2ab2ab2

7F

因为。£(0,万)，所以。二一.

3

结合q+/?=4,c2=a2+Z?2—afe=(a+Z?)2-3ab,可得而=4,

所以。=2,b=2,

ii

因此S^ABC=gaAsinC=G.

选择条件②：

b

由正弦定理得sinA=——

sin3

厂….，asinB.

所以sinA=--------=1,

b

TT

又Ae（O,乃），所以A=一,所以〃+°2=。2

2

/r+4=q-5,3

由*,解得。=一，b=-

。+。=422

所以SWBC=-Z?csinA=-

22

选择条件③：

因为6cosc=sinC=2sin—cos—，

222

又cos^HO,所以sinC=@，因此C=也.

2223

由余弦定理可得/=a2+b2+ah=(a+bf—ab,得"=12,

从而/+6=（。+份2-2。/7=42-2*12=-8,显然不成立,

因此，不存在满足条件的△MC.

18.已知数列｛勺｝是等差数列，S“是数列｛q,｝的前”项和，6=5,57=49.

（1）求数列｛%｝的通项公式及前〃项和S,；

（2）若数列也｝满足d用=2,求数列也｝的前〃项和7；.

【详解】

（1）设等差数列｛%｝的公差为。,

%=ci]+2d—5

则《S7=7q+竿d=49'解得日吐？，

/.an=1+("—1)x2=2〃—1,

2

12

221__1_"

⑵"=百=丽f2

n〃+1)

JL=2

H+1J〃+1

19.在三棱柱ABC—44G中，AB=AC=1,A4,=6，ABLAC,平面ABC,E是4c的

中点.

（1）求证：平面aqcJ•平面A844；

（2）求直线AE与平面A4GC所成角的正弦值.

【详解】

（1）由B|CJ•平面ABC，ABI平面ABC,得AB_L8C，

又A8LAC,CBtAAC=C,故他_1_平面4片。，

ABI平面AB4A，故平面ABB4J•平面ABC.

（2）以。为原点，C4为x轴，CS为z轴，建立如图所示空间直角坐标系,

则C（（）,0,0）,A（1,O,O）,80,1,0）

又BC=>/2，BB]—AAj-V3，

故C旦=1,4（0,0,1）,E（0,0,；）C4=（1,0,0）

设平面AAG。的一个法向量为％=（x,y,z）,则

n-CA=0[x=0】

<,八，即<八，令y=L则z=i，〃=（o,i』），

n-A41=0[-X-y-^-z=0''

13

设直线AE与平面AAG。所成的角为。，

n-AEVio

故sin6=2

丽lo"

即直线AE与平面A&GC所成角的正弦值为巫.

10

20.2020年国庆节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握国庆节期间

车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统

计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图

所示,其中时间段9:20-9:40记作［20,40)、9:40~10:00记作［40,60),10:00-10:20记作［60,80),10：20~10:40

记作［80,100),例如：10点04分，记作时刻64.

(1)估计这600辆车在9:20~10:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值(同一组中的数据用该组区间

的中点值代表);

(H)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车随机抽取

4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X,求X的分布列;

(山)根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T服从正态分布N~(〃,b2),其中〃可用3

14

日数据中的600辆车在9:20~10:40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，(/用样本的方差近似代

替(同一组中的数据用该组区间的中点值代表).假如4日全天共有1000辆车通过该收费站点，估计在

9:46~10:40之间通过的车辆数(结果保留到整数).

附：若随机变量T服从正态分布网〃,4),则P(〃一b<Tw〃+b)=0.6827,

—2cr<T<〃+2cr)=0.9545,P(〃-3cr<TW〃+3b)=0.9973.

【详解】

(I)这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为：

(30x0.005+50x0.015+70x0.020+90x0.010)x20=64,即10：04

(II)由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10:00前通过的车辆数就是位于时

间分组中在20,60这一区间内的车辆数，

即(0.005+0.015)x20x10=4,

所以X的可能的取值为0,1,2,3,4.

所以尸(X=0)=*q,尸"=1)=咎V,P(X=2)=等=：

joJojo/

4「41

P(X=3)=3=*，尸(X=4)=#

jo»jo210

所以X的分布列为:

X01234

18341

P

1421735210

(III)由⑴得〃=64,

端辆=(30-64)2x0.1+(50-64>x0.3+(70-64>x0.4+(90-^xO.2=324

所以cr=18，

估计在9:46-10:40之间通过的车辆数也就是在46,100通过的车辆数，

由T~N(64,182),得

P(64-18<T<64+2xl8)-.(匕"〈丁’吧功)=。另186,

勺%+°)+P

22

所以估计在在9：46~10：40之间通过的车辆数为1000x0.8186a819.

15

22

rv1

21.椭圆C:*+*=l(a>0>0)的左、右焦点分别为6、F2,离心率e=5,过K的直线/交C于点

A、B,且△片43的周长为8.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)点0为坐标原点，求AAOB面积S的取值范围.

【详解】

解：(1)因为的周长为8,由椭圆的定义知4a=8,

故a=2,又e=:=£,

2a

所以c=1=>="—c?=3,

v2

所以椭圆C的标准方程为±+2-=1.

43

(2)由题意可设直线1的方程为x=my+l,A(x，yJ,8伍,必)，

2

，x2।yv_]

由v43=>(3/n2+4)y2+6my-9=0,

x=my+1

—67Tz—9

显然△>()且/+%=不=^，,7,

34+43m-+4-

s=S.OAA+SMB=gIy-乂I=；小(必+%「-4弘%

1P-6mY36_64?2+1

-2\lw+4j+3/+4-3M2+4

令V/w2+1=t(t>1)'

6dM+16t6

♦.・S=W7=E=R(m).

t

易知S在re[L+co