北师大版七年级下册数学第二章《相交线与平行线》教学设计

《两条直线的位置关系》（一）

课题基本信息

课题《两条直线的位置关系》（一）

学科数学年级七年级单元第二章：

版本北师大版册别下册

1.教学背景分析

1.教材内容分析：学生在小学己经认识了平行线、相交线、角；在七年级上册中，已经

对角及其分类有了一定的认识。是为后续学习“空间与图形”这一数学领域而打下坚实

的基础;激发学生从数学的角度认识现实，能够敏锐的发现问题、提出问题，并运用所

掌握的数学知识初步解决问题。

2.学生情况分析：在小学己经认识了平行线、相交线、角；在七年级上册中，已经对角

及其分类有了一定的认识。

3.教学方式与教学手段：探究教学法，多媒体教学法

4.信息技术（配套课件）准备：多媒体课件，三角尺

2.学习目标与学习效果评价设计

学习目标评价方式与内容

1.知道平面内两条直线的位置关系，并能进行辨析；1、能准确理解平面内两条直线

2.在具体情景中了解对顶角、补角、余角，知道对顶的位置关系，并能进行辨析；

角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角2、能运用互为余角、互为补角、

相等；对顶角等相关的知识解决一些

3.能运用互为余角、互为补角、对顶角等相关的知识实际问题

解决一些实际问题.

3.学习重难点及突破方法

学习重点：1.知道平面内两条直线的位置关系，并能进行辨析；

2.在具体情景中了解对顶角、补角、余角，知道对顶角相等、同角或等角的余角相等、

同角或等角的补角相等。

学习难点：探索同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等、对顶角相等的过程以

及对其意义的理解，并能解决一些实际问题。

突破方法：实际操作。

4.教学过程

教学环节及

师生活动设计意图教师备注

预计时间

学习目标了解本节课学习的目

师生共同解读学习目标。

（1分钟）标

让学生观察图片，不但

问题：在我们的生活世界中，蕴涵着可以体会到几何来源

大量的相交线和平行线，大家对它们于生活，激发学生学习

问题情境

也不陌生，你能再找出一些身边的相的兴趣，还可以为下面

（3分钟）

交线、平行线的实例吗？的分类提供依据，为了

解平行线、相交线的概

念打下基础.

探究一：平行线与相交线让学生用两支笔

拿出两支笔，用它们代表两条直动手操作，不但培养了

线，随意移动笔，观察笔与笔有几种学生的动手能力，还能

位置关系？各种位置关系，分别叫做让学生更深层次的体

什么？会到平行线的含义，进

提示：有可能平行、相交、重合.一步明确同一平面内

给出相交线、平行线的定义：两条直线的位置关系.

若两条直线只有一个公共点，我

们称这两条直线为相交线.

不相交的两条直线叫做平行线.让学生从实物中

结论：同一平面内的两条直线的观察，从直观的角度去

探究新知

位置关系有平行和相交两种.感受对顶角的概念.并

（16分钟）

探究二：对顶角的概念和性质用语言去表达这两个

1.观看一组生活中的图片，你们概念，培养口语表达能

觉得这些图片有什么共同点吗？力.

对顶角的概念：两个角的两边互

为反向延长线，则这两个角叫做对顶

角.

特别关注：（1）对顶角只有在两教师演示，让学生

条直线相交时才出现.通过观察，从直观的角

（2）对顶角是指两个角的位置度去感受互为余角、补

关系.角的概念.并用语言去

在纸上任意画两条相交直线，分表达这两个概念，培养

别度量所成的四个角的大小，你发现口语表达能力。

形成对顶角的两个角的大小有什么关

系？

2.对顶角的性质：对顶角相等.考查学生对补角与余

探究三：余角、补角的概念和性角的定义和性质的掌

质活动1.计算：握与运用能力，此题考

(1)44°+46°=__________；查学生的列举，通过题

(2)30°20'34"+59°39'26"设信息得出所有补角

-__________;和余角的对数，再运用

(3)10°+25°+55°=_________；余角(或补角)的性质：

(4)96°+84°=__________；等角或同角的余角(或

(5)58°45'+121°15'=_______；补角)相等.两角之和

(6)50°+25°+105°=________.等于直角90°,则两

总结：角互余；两角之和等于

互为余角、互为补角的概念：平角180°,则两角互

如果两个角的和是90°,那么称这两补.运用角平分线的定

个角互为余角义与判断，得出一个角

如果两个角的和是180°,那么称这平分线的结论.

两个角互为补角。

活动2.如图：打台球时，选择适当的

方向用白球击打红球，反弹后的红球

会直接入袋，此时N1=N2.

(1)有哪些角互为补角？有哪些

角互为余角？

(2)N3和N4有什么关系？为

什么？

(3)N/%与/时有什么关

系？为什么？你还能得到哪些结论？

互为余角、互为余角的性质：

同角或等角的余角相等.

同角或等角的补角相等.

例1.如图，直线/二两条相交直线构

Ay£

CD,环'相交于点0,Zl=次成对顶角，这时应注意

F/

40°,ZBOC=110°,求N2的度数.“对顶角相等”这一隐

（学生根据对顶角、互余、互补含的结论.在图形中正

知识先独自完成再交流。）确找到对顶角，利用角

例2.直线a,6相交，Zl=40°,的和差及对顶角的性

求N2、N3、N4的度数。（按照题意质找到角的等量关系，

典型例题

画出图形并根据自己的图求出各角的然后结合已知条件进

（8分钟）

度数。）行转化

例3.（1）已知N/与N6互余，设计意图：此题把

且N4的度数比N6度数的3倍还多角的关系结合方程问

30°,求N8的度数。题一起解决，即把相等

（2）已知一个角的补角是它的余关系的问题转化为方

角的4倍，求这个角的度数。（引导学程问题，利用方程来解

生用方程的思维进行解答）决。

紧扣定义，紧贴模型，

随堂练习学生完成课件上的随堂练习，完成后

构造模型，让学生学以

（13分钟）进行集体交流。练习设计，层层深入。

致用。

课堂小结你学到了哪些知识？你还有哪些困小结新知及学习历程，

（3分钟）惑？巩固提升。

作业布置

完成本课时对应大小练巩固新知

（1分钟）

5.板书设计

2.1两条直线的位置关系

两条直线的位置关系：有平行和相交两种.

对顶角相等

互为补角互为余角

结论：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等

6.教学反思与改进

《两条直线的位置关系》（二）

课题基本信息

课题《两条直线的位置关系》（二）

学科数学年级七年级单元第二章

版本北师大版册别下册

1.教学背景分析

1.教材内容分析：学生在小学已经认识了平行线、相交线、角；在七年级上册中，已经

对角及其分类有了一定的认识；上一节课又进一步的学习了两直线的位置关系，两角互

补、互余等概念，这些知识储备为这节课的学习奠定了良好的基础。也是后续学习三角

形等几何的必备知识。

2.学生情况分析：学生在小学已经认识了平行线、相交线、角；在七年级上册中，已经

对角及其分类有了一定的认识；上一节课又进一步的学习了两直线的位置关系，两角互

补、互余等概念，学生的动手操作能力增强。

3.教学方式与教学手段：探究-一发现式教学法，多媒体教学法。

4.信息技术（配套课件）准备：多媒体课件，三角尺，直尺和方格纸。

2.学习目标与学习效果评价设计

学习目标评价方式与内容

1.理解两直线位置关系中垂直的含义，会用符号表示1.课堂上能准确地运用多种方

两直线垂直；法画出两条直线互相垂直；

2.能借助三角板、直尺和方格纸画垂线；通过折纸、2.在动手操作等活动中探究并

动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质；归纳垂直的有关性质；

3.会利用两直线垂直的性质解决有关推理与画图中的3.练习中会利用两直线垂直的

问题；善于举一反三，学会运用类比、数形结合等思性质解决有关推理与画图中的

想方法解决新问题。问题。

3.学习重难点及突破方法

学习重点：会用工具按要求画垂线，掌握垂线（段）的性质。

学习难点：理解垂线的性质以及点到直线的距离的意义，能用性质解决问题。

突破方法：通过画、折等活动，引导学生积极动手、动口、动脑来进行学习。

4.教学过程

教学环节及教师

师生活动设计意图

预计时间备注

学习目标了解本节课学习的

师生共同解读学习目标。

（1分钟）目标

引导学生从身

边熟悉的图形出发，

既复习了上一节课

上节课我们知道了两条直线的位置关系

的知识点----两条

有相交和平行两种。、

直线的位置关系，又

观察下面三个图形,你能找出其中相交的

问题情境体会到生活中大量

直线吗？他们有什么特殊的位置关系？

（2分钟）存在特殊的相交线

提示：它们相交并且所成的夹角是90°。

----垂直，在比较中

今天我们继续来探究两条直线的位置关

发现新知，加深了学

系。

生对垂直和平行的

感性认识，感受垂直

“无处不在”。

探究一：垂线、垂足：结合问题情境，

在上面我们刚刚观察到的三个图形中，我让学生理解两条直

们发现了相交成90°角的两条直线，这种特线垂直的位置关系，

殊的两直线间的位置关系我们怎么定义它体会它是两条直线

呢？相交的特殊情况，两

给出垂线、垂足的定义：条直线垂直是利用

两条直线相交成四个角，如果有一个角是两条直线相交所成

直角，那么这两条直线互相垂直，其中一条直的角的数量关系来

探究新知线叫做另一条直线的垂线.它们的交点叫做垂刻画的.结合文字语

（15分钟）足.言、图形语言使学生

通常用表示两直线垂直，如图，如从不同角度认识垂

果用/a切表示两条互相_r,.直，加深对垂直的认

垂直的直线，可以记作of识和理解.

上CD；如果直线/与直线勿互相垂直，记作/

-L/n,其中，点。是垂足。

探究二：垂线的画法

1.借助三角尺在白纸上画出两条互相垂直的

直线（复习小学学习过的画法）

2.借助直尺在方格纸上画出两条互相垂直的

直线

3.能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗？

(教学生回归到生活实际)

探究三：探究垂线的性质

1.做一做：

①点/在直线/上，过点/画直线/的垂

线，你能画出多少条？如果点力在直线，外

呢？

'A.

②点尸是直线/外一点，P0上1,点、。是

垂足，点/、B、a〃在直线/上，比较线段

PO、PA、PB、PC、阳的长短，你发现了什么？

J2•，相口、一，相Qj、•.

垂线的性质：

(1)平面内，过一点有目另有一条直线与已教师演示，让学

生通过观察，从直观

知直线垂直

的角度去感受;并用

(2)直线外一点与直线上各点连接的所有线

语言去表达这两个

段中，垂线段最短。

概念，培养口语表达

3.解决问题：回忆体育课上老师是怎样测

能力.

量跳远成绩的?你能说出其中的道理吗？

提示：以距离踏板最近的跳远落地点为零

点，将尺子拉直并与踏板所在的直线垂直垂

足上尺子表示的数即是跳远成绩.

例L如图所示，修一条路将48两村庄与

与垂线段有关的作

公路助V连起来，怎样修才,/能

图，一般是过一点作

使所修的公路最短？画出版"线

已知直线的垂线，作

典型例题路图，并说明理由.

图的依据是“垂线段

(8分钟)分析：连接四，过点6作比工松唧可.

最短”.

例2.如图，ACLBC,47=3,BC=\,AB=5.

⑴试说出点4到直线8。的

点到直线的距

----________

距离；点6到直线4。的距离；离是过这一点作已

（2）点。到直线46的距离是多少？知直线的垂线，垂线

分析：（1）点力到直线回的距离就是线段的长度才是这一

段力C的长；点8到直线的距离就是线段点到直线的距离。

8C的长；（2）过点。作切，48,垂足为〃点

。到直线46的距离就是线段切的长，可利用

面积求得。

加深对垂直概念垂

随堂练习学生完成课件上的随堂练习，完成后进行集体

线判定的理让学生

（15分钟）交流。练习设计，层层深入。

学以致用。

课堂小结小结新知及学习历

你学到了哪些知识？你还有哪些困惑？

（3分钟）程，巩固提升。

作业布置

完成本课时对应大小练巩固新知

（1分钟）

5.板书设计

2.1两条直线的位置关系（2）

一、垂线、垂足：

二、垂线的画法：

三、垂线的性质：

6.教学反思与改进

《探索两直线平行的条件》（一）

课题基本信息

课题《探索两直线平行的条件》（一）

学科数学年级七年级单元第二章

版本北师大版册别下册

1.教学背景分析

1.教材内容分析：在七年级上学生已经直观认识了平行与垂直的基础上，本章将进一步

探索平行线、相交线的有关事实，并将直观与简单推理相结合，借助平行的有关结论解

决一些现实的实际问题。“探索直线平行的条件”一节主要学习三种常用的判别平行线

的方法，这是进一步学习平行线特征的基础。本课时主要教学任务是初步认识同位角并

探索出“同位角相等，两直线平行”的结论。

2.学生情况分析：学生直观认识了两条直线的平行关系，了解了平行线的定义，会借助

方格纸、利用直尺、三角板用多种方法画平行线，经历了在操作活动中探索图形性质的

过程，初步掌握了平行线的有关性质，并用自己的语言加以描述，初步具有了有条理地

思考与表达的能力，为本章的深入学习奠定了基础。

3.教学方式与教学手段：探究--发现式教学法，讲练结合法，直观操作。

4.信息技术（配套课件）准备：多媒体课件

2.学习目标与学习效果评价设计

学习目标评价方式与内容

1.会识别同位角，掌握利用同位角相等判别直线平行的1.操作中能在三线八角中正

结论，并能解决一些问题；确的找到同位角；

2.掌握平行公理，会用三角尺过已知直线外一点画这条2.课堂中能用符号语言描述

直线的平行线；同位角相等两直线平行；

3.经历探索直线平行条件的过程，经历观察、操作、想3.练习中能用同位角相等两

象、推理、交流等活动，体会利用操作、归纳获得数学直线平行解决相关的实际问

结论的过程，进一步发展空间想象、推理能力和有条理题。

表达的能力.

3.学习重难点及突破方法

学习重点：在操作、观察的基础上总结出同位角与直线平行的条件，能解决简单问题。

学习难点：画平行线的方法与平行公理.利用，能灵活运用同位角相等两直线平行的条

件解决一些实际问题。

突破方法：多媒体课件演示

4.教学过程

教学环节及教师

师生活动设计意图

预计时间备注

学习目标了解本节课学习

师生共同解读学习目标。

（1分钟）的目标

如图，装修工人正在向墙上钉木条，如创设问题情

问题情境果木条6与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙境，实验操作激发

（2分钟）壁边缘夹角为多少度时，才能使木条a与木学生的创新意识、

条8平行？营造课堂氛围

探究一、同位角的概念

这里依然采

如下图1：Z1与N5具有什么样的位

用分类分步的方

置关系？他们是两条直线被第三条直线所

法，从简单开始探

截形成的，可以从下面几个方面逐步思考它

索。由于同位角的

们的位置关系：

名称已经固定，所

以探索的重点在

发现位置关系和

用准确词语概括

（1）它们在被线c截直线a、b的什么

这种位置关系，按

位置？

照观察一描述一

探究新知（2）它们在截线c的哪一侧？

归纳一再现的流

（15分钟）总结：/1与N5都在直线a、8的上方，

程，认识同位角。

且在直线c的右方。同位角的含义：N1与

N5是直线a、6被直线c所截得到的一对

同位角.（在图中把N1与N5分离出来）这

两个角分别在直线a、8的同一方，并且都

在直线c的同侧，具有这种位置关系的一对

角叫同位角。

（3）还能发现其他同位角吗？N2和

Z6；N3和/7；N4和N8.垂线的性质：

探究二：平行线的判定方法

活动L如图2,三根木条相交成Nl,N2,

固定木条枚C,转动木条a,观察Nl，Z

2大小关系以及直线a与。的位置关系。

(1)当NDN2时，a〃8吗？结论：不平行。

(2)当N1=N2时，a〃6吗？结论：平行。

(3)当N1VN2时，a〃b吗?结论：不平行。

判定方法：两条直线被第三条直线所

截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。通过学生动

简单说成：同位角相等，两条直线平行。手操作，探究平行

符号语言：•••/：!=N2(已知)，线的判定方法，并

."6〃切(同位角相等，两能用几何语言表

直线平行).不。

活动2.如图3,你能说出木工用图中的角尺

画平行线的道理吗？用角尺画平行线，实际

上是画出了两个直角，根据“同位角相等，

两条直线平行”，可知这样画出的就是平行

线。

图2图3

探究三：平行线的画法与平行公理

(1)我们已学过用直尺和三角尺画平

行线，如下图4,请说明理由.

Z1与/2是三角板经过点尸的边与靠

在直尺上的边所成的角移动前后所形成的，

显然N1与N2是同位角并且它们相等，由

此我们可以知道什么？

简化图5：

并且它们相等，由此我们可以知道什

么？从不同的角

N1与N2是三角板经过点P的边与靠度帮助学生进一

在直尺上的边所成的角移动前后的位置，显步加深对利用同

然N1与N2是同位角，同位角相等，两条位角相等判定两

直线平行。直线平行的认识，

形成初步技能。

图4图5

（2）试着做一做：

①点尸在直线1外，过点尸画直线1的平行

线，能画出多少条？

②点c、。是直线力夕外两点，分别过点a

〃画直线46的平行线跖/EF与GH有

怎样的位置关系？

你有什么发现？与同伴交流。

结论：

1.过直线外一点有且只有一条直线与

这条直线平行。

2.平行于同一条直线的两条直线互相

平行。

明确判断两个角

是否是同位角的

例1.下列图形中，N1和22不是同位角方法描图法：

的是（）①把两个角在图

中“描画”出来；

ABCD②找到两个角的

明确判断两个角是否是同位角的方法公共直线；③观察

典型例题

----描图法。所描的角，是否符

（5分钟）

例2.在同一平面内，如果两条直线都垂直合同位角的特点。

于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为巩固平行线的判

什么？定方法，经过证明

（引导学生画出图形，再请学生说明判后得到：在同一平

定方法。）面内，垂直于同一

条直线的两条直

线平行。

加深对同位角的

随堂练习学生完成课件上的随堂练习，完成后进行集

概念及平行判定

（18分钟）体交流。练习设计，层层深入。

的理解。

小结新知及

课堂小结

你学到了哪些知识？你还有哪些困惑？学习历程，巩固提

（3分钟）

升%

作业布置

完成本课时对应大小练巩固新知

（1分钟）

5.板书设计

2.2探索两直线平行的条件

一、同位角的概念：

二、平行线的判定方法：

三、平行线的画法与平行公理

6.教学反思与改进

《探索两直线平行的条件》（二）

课题基本信息

课题《探索两直线平行的条件》（二）

学科数学年级七年级单元第二章

版本北师大版册别下册

1.教学背景分析

1.教材内容分析：本课时为探索两直线平行的条件的第二课时，学生在第一课时已经通

过三线八角的同位角，学会了证明同位角相等两直线平行。本节课，继续探索三线八角

中的内错角和同旁内角，得出“内错角相等，两直线平行”，“同旁内角互补，两直线平

行”的结论。

2.学生情况分析：学生直观认识了两条直线的平行关系，了解了平行线的定义，探究了

同位角相等，两直线平行的判定定理经历了在操作活动中探索图形性质的过程，初步掌

握了平行线的有关性质，并用自己的语言加以描述，初步具有了有条理地思考与表达的

能力，为本章的深入学习奠定了基础。

3.教学方式与教学手段：探究-一发现式教学法，讲练结合法。

4.信息技术（配套课件）准备：多媒体课件

2.学习目标与学习效果评价设计

学习目标评价方式与内容

1.会识别由“三线八角”构成的内错角合同旁内角。1.操作中能在三线八角中正确的

2.经历探索直线平行条件的过程，掌握利用同位角找到内错角，同旁内角；

相等、同旁内角互补判别直线平行的结论，并能解2.课堂中能用符号语言描述“内错

决一些问题。角相等，两直线平行”，“同旁内角

3.经历观察、操作、想象、图利、交流等活动，体互补，两直线平行”；

会利用操作、归纳获得数学结论的过程，进一步发3.能用“内错角相等，两直线平

展空间想象、推理能力和有条理表达的能力。行”，“同旁内角互补，两直线平行”

解决相关的实际问题。

3.学习重难点及突破方法

学习重点：会识别内错角、同旁内角；能用内错角相等、同旁内角互补判别两直线平行。

学习难点：在稍为复杂的图形中识别内错角和同旁内角。

突破方法：多媒体课件演示

4.教学过程

教学环节及教师

师生活动设计意图

预计时间备注

学习目标了解本节

师生共同解读学习目标。

（1分钟）课学习的目标

小明有一块小画板，他想知道它的上下边缘是否创设问题

平行，于是他在两个边缘之间画了一条线段AB情境，实验操

（如图所示）.小明只有一个量角器，他通过测作激发学生的

问题情境

量某些角的大小就能知道这个画板的上下边缘创新意识、营

（2分钟）

是否平行.你知道他是怎样做的吗？画板上下边造课堂氛围。

缘是否平行？能利用同位角来判断吗？如果不

能，是否可以利用其他角来判断？

（-）探索内错角、同旁内角在认识了

1.看下图中N3与/5,这两个角同位角的概念

都在直线46、切之间，且N3在直线安一后，自主探索

）左侧，N5在直线）右侧，像这样同旁内角、内

的一对角叫做内错角。同样，N4与N6也具有错角是一种发

类似位置特征，/4与N6也是内错角。展的眼光认识

变式图形如下：图中N1与N2都是内错角。事物的过程，

图形特征：在形如的图形中有内错角。探索的意义在

£IA/K于描述和理解

位置关系，并

探究新知⑴⑵（3）（4）

2.在下图中，N3和N6也在直线/8、CD把同种位置关

（15分钟）

之间，但它们在直线）的同一旁，像这样的一系的角归为一

对角，我们称它为同旁内角。具有类J-类。

似的位置特征的还有N4与/5,因此‘[

它们也是同旁内角。

变式图形：图中N1与N2都是同旁内角.

图形特征：在形如“户的图形中有同旁内

角。

」口工天歹

（1）（2）⑶⑷

3：同位角和同旁内角在位置上有什么相同

点和不同点？内错角和同旁内角在位置上有什

么相同点和不同点？这三类角的共同特征是什

么？

（二）探究平行线的判定方法，彳.

1.如图，直线"，CD被EF所。。

截，我们知道N1和N7是一对内错"

角，如果N1=N7,直线与切平行吗？

直观上看AB//CD.

理由如下：VZ1=Z7（已知），

Z1=Z3（对顶角相等），通过学生

AZ3=Z7（等量代换）.动手操作，探

.•"8〃切（同位角相等，两直线平行）.究平行线的判

你能用文字语言概括上面的结论吗？定方法，并能

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相用几何语言表

等，那么这两条直线平行.zj\0

简单说成：内错角相等，两直线平行.

2.如图，我们知道N4和N7是一对同旁内

角，如果N4+N7=180能判定,让学生经历从

AB〃CD吗26/

图形到文字到

c~s^-——D

S

直观上看16〃5./符号的转换过

理由如下：VZ4+Z7=180°,Z4+Z1=程，使学生加

180°（已知）,深对数学语言

AZ1=Z7（同角的补角相等），的理解.发展

•••力6〃5（内错角相等，两直线平行）.推理能力，引

你能用文字语言概括上面的结论吗？导学生及时反

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角思，养成更正、

互补，那么两条直线平行.归纳的学习习

简单说成：同旁内角互补，两直线平行.惯。

例1.如图所示，若/ACE=/BDF,那么综合运用补角

典型例题

CE〃DF吗R的性质及等量

（12分钟）

分析：要判定CE//DF,需满足/£%=/曲，代换，将已知

利用“内错角相等，两直线平行”即可判定.条件转换为内

例2.如图，已知点£在46上，且龙平分错角相等来判

/BCD,DE平■分乙ADC,且/应C=90°,试判断定两条直线平

49与回的位置关系，并说明理由.行，充分运用

分析：先根据三角形内角和定理得出N龙。转化思想。

+/员7+/庞。=180°.再由N庞。=90°得出本题考查

AEDC+ZECD=^°.由"平分/以力，庞平分的是平行线的

ZADC,可知AADC+ABCD=2{AEDC+乙EC》=判定，熟知

180°,得出结论.“同旁内角互

补，两直线平

行”是解答此

J7f例1„!__m例2

题的关键。

加深对内错

随堂练习学生完成课件上的随堂练习，完成后进行集体