湖南省衡阳县创新实验班2025届高一下数学期末考试试题含解析

湖南省衡阳县创新实验班2025届高一下数学期末考试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设a,b,c均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是A．B．C．D．2．设为锐角，，若与共线，则角（）A．15° B．30° C．45° D．60°3．已知函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，等式恒成立，若数列满足，且，则的值为（）A．4037 B．4038 C．4027 D．40284．已知两条直线m，n，两个平面α，β，下列命题正确是（）A．m∥n，m∥α⇒n∥α B．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．α⊥β，m⊂α，n⊂β⇒m⊥n D．α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β5．若,,则的终边所在的象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．设的内角，，所对的边分别为，，,且，，面积的最大值为（）A．6 B．8 C．7 D．97．在中，，，，则=（）A． B．C． D．8．在平行四边形中，，若点满足且，则A．10 B．25 C．12 D．159．已知定义在上的偶函数满足：当时，，若，则的大小关系是（）A． B． C． D．10．若向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝3，则|2|＝（）A．2 B．14 C．2 D．8二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知在数列中，且，若，则数列的前项和为__________．12．已知向量，且，则_______．13．若直线与直线互相平行，那么a的值等于_____．14．若在等比数列中，，则__________．15．给出以下四个结论：①平行于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若，是两个平面；，是异面直线；且，，，，则；④若三棱锥中，，，则点在平面内的射影是的垂心；其中错误结论的序号为__________．（要求填上所有错误结论的序号）16．给出下列五个命题：①函数的一条对称轴是；②函数的图象关于点（,0）对称；③正弦函数在第一象限为增函数；④若，则，其中；⑤函数的图像与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围为.以上五个命题中正确的有（填写所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在等差数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18．已知三棱柱中,三个侧面均为矩形,底面为等腰直角三角形,,点为棱的中点,点在棱上运动.（1）求证；（2）当点运动到某一位置时，恰好使二面角的平面角的余弦值为，求点到平面的距离；（3）在（2）的条件下，试确定线段上是否存在一点，使得平面？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由.19．已知集合，集合.（1）求；（2）若不等式的解集为，求不等式的解集.20．已知幂函数的图像过点.（1）求函数的解析式；（2）设函数在是单调函数，求实数的取值范围.21．平面直角坐标系中，圆M与y轴相切，并且经过点，．（1）求圆M的方程;（2）过点作圆M的两条互垂直的弦AC、BD，求四边形ABCD面积的最大值．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

根据对数运算的规律一一进行运算可得答案.【详解】解：由a,b,c≠1.考察对数2个公式:，,对选项A:,显然与第二个公式不符，所以为假.对选项B:,显然与第二个公式一致，所以为真.对选项C:,显然与第一个公式不符，所以为假.对选项D:,同样与第一个公式不符，所以为假.所以选B.【点睛】本题主要考查对数运算的性质，熟练掌握对数运算的各公式是解题的关键.2、B【解析】由题意，，又为锐角，∴．故选B．3、A【解析】

由，对任意的实数，等式恒成立，且，得到an+1＝an+2，由等差数列的定义求得结果．【详解】∵，∴f（an+1）f（﹣2﹣an）＝1，∵f（x）•f（y）＝f（x+y）恒成立，∴令x＝﹣1，y＝0，则f（﹣1）•f（0）＝f（﹣1），∵当x＜0时，f（x）＞1，∴f（﹣1）≠0，则f（0）＝1，则f（an+1）f（﹣2﹣an）＝1，等价为f（an+1）f（﹣2﹣an）＝f（0），即f（an+1﹣2﹣an）＝f（0），则an+1﹣2﹣an＝0，∴an+1﹣an＝2.∴数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列，首项a1＝f（0）＝1，∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，∴＝2×2019﹣1＝4037.故选：A【点睛】本题主要考查数列与函数的综合运用，根据抽象函数的关系结合等差数列的通项公式建立方程是解决本题的关键，属于中档题．4、D【解析】

在A中，n∥α或n⊂α；在B中，m与n平行或异面；在C中，m与n相交、平行或异面；在D中，由线面垂直的判定定理得：α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β．【详解】由两条直线m，n，两个平面α，β，知：在A中，m∥n，m∥α⇒n∥α或n⊂α，故A错误；在B中，α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m与n平行或异面，故B错误；在C中，α⊥β，m⊂α，n⊂β⇒m与n相交、平行或异面，故C错误；在D中，由线面垂直的判定定理得：α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5、B【解析】由一全正二正弦三正切四余弦可得的终边所在的象限为第二象限，故选B.考点：三角函数6、D【解析】

由已知利用基本不等式求得的最大值，根据三角形的面积公式，即可求解，得到答案.【详解】由题意，利用基本不等式可得，即，解得，当且仅当时等号成立，又因为，所以，当且仅当时等号成立，故三角形的面积的最大值为，故选D.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，以及三角形的面积公式的应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题.7、C【解析】

根据正弦定理,代入即可求解.【详解】因为中,,,由正弦定理可知代入可得故选:C【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.8、C【解析】

先由题意，用，表示出，再由题中条件，根据向量数量积的运算，即可求出结果.【详解】因为点满足，所以，则故选C.【点睛】本题主要考查向量数量积的运算，熟记平面向量基本定理以及数量积的运算法则即可，属于常考题型.9、C【解析】

根据函数的奇偶性将等价变形为，再根据函数在上单调性判断函数值的大小关系，从而得出正确选项.【详解】解因为函数为偶函数，故，因为，，所以，因为函数在上单调增，故，故选C.【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性的运用，解题的关键是要能根据奇偶性将函数值进行转化.10、A【解析】

由已知可得||，根据数量积公式求解即可．【详解】||．故选A．【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查了利用数量积进行向量模的运算求解方法，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据递推关系式可证得数列为等差数列，利用等差数列通项公式求得，得到，进而求得；利用裂项相消法求得结果.【详解】由得：数列是首项为，公差为的等差数列，即：设前项和为本题正确结果：【点睛】本题考查根据递推关系式证明数列为等差数列、等差数列通项的求解、裂项相消法求数列的前项和；关键是能够通过通项公式的形式确定采用的求和方法，属于常考题型.12、【解析】

先由向量共线，求出，再由向量模的坐标表示，即可得出结果.【详解】因为，且，所以，解得，所以，因此.故答案为【点睛】本题主要考查求向量的模，熟记向量共线的坐标表示，以及向量模的坐标表示即可，属于基础题型.13、；【解析】由题意得，验证满足条件，所以14、【解析】

根据等比中项的性质，将等式化成即可求得答案．【详解】是等比数列，若，则．因为，所以，．故答案为：1．【点睛】本题考查等比中项的性质，考查基本运算求解能力，属于容易题.15、②【解析】

③①可由课本推论知正确；②可举反例；④可进行证明.【详解】命题①平行于同一直线的两条直线互相平行,由课本推论知是正确的；②垂直于同一平面的两个平面互相平行，是错误的，例如正方体的上底面，前面和右侧面,是互相垂直的关系；③根据课本推论知结论正确；④若三棱锥中，，，则点在平面内的射影是的垂心这一结论是正确的；作出B在底面的射影O,连结AO,DO,则，同理，，进而得到O为三角形的垂心.

故答案为②【点睛】这个题目考查了命题真假的判断，一般这类题目可以通过课本的性质或者结论进行判断；也可以通过举反例来解决这个问题.16、①②⑤【解析】试题分析：①将代入可得函数最大值,为函数对称轴；②函数的图象关于点对称,包括点；③,③错误；④利用诱导公式,可得不同于的表达式；⑤对进行讨论,利用正弦函数图象,得出函数与直线仅有有两个不同的交点，则．故本题答案应填①②⑤.考点：三角函数的性质．【知识点睛】本题主要考查三角函数的图象性质.对于和的最小正周期为.若为偶函数,则当时函数取得最值,若为奇函数,则当时,.若要求的对称轴,只要令,求.若要求的对称中心的横坐标,只要令即可.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

（1）利用等差数列的性质可求出，进而可求出的通项公式；（2），由裂项相消求和法可求出.【详解】解：（1）设等差数列的公差为，则.因为所以，解得，，所以数列的通项公式为.（2）由题意知，所以.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式的求法，考查了利用裂项相消求数列的前项和，属于基础题.18、（1）见解析；（2）；（3）存在，为中点.【解析】

（1）以CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，C为原点建立坐标系，设E（m，0，2），要证A1C⊥AE，可证,只需证明，利用向量的数量积运算即可证明；（2）分别求出平面EA1D、平面A1DB的一个法向量，由两法向量夹角余弦值的绝对值等于，解得m值，由此可得答案；（3）在（2）的条件下，设F（x，y，0），可知与平面A1DB的一个法向量平行，由此可求出点F坐标，进而求出||，即得答案.【详解】（1）以CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，C为原点建立坐标系，设E（m，0，2），C（0，0，0），A（0，2，0），A1（0，2，2），D（0，0，1），B（2，0，0），＝（0，﹣2，﹣2），＝（m，﹣2，2），因为＝0+（﹣2）×（﹣2）﹣2×2＝0，所以⊥，即A1C⊥AE；（2）＝（m，0，1），＝（0，2，1），设＝（x，y，z）为平面EA1D的一个法向量，则即，取＝（2，m，﹣2m），＝（2，0，﹣1），设＝（x，y，z）为平面A1DB的一个法向量，则，即，取＝（1，﹣1，2），由二面角E﹣A1D﹣B的平面角的余弦值为，得||＝，解得m＝1，平面A1DB的一个法向量＝（1，﹣1，2），根据点E到面的距离为：.（3）由（2）知E（1，0，2），且＝（1，﹣1，2）为平面A1DB的一个法向量，设F（x，y，0），则＝（x﹣1，y，﹣2），且，所以x﹣1＝﹣1，y＝1，解得x＝0，y＝1，所以＝（﹣1，1，﹣2），＝＝，故EF的长度为，此时点F（0，1，0）．存在F点为AC中点.【点睛】本题考查重点考查直线与平面垂直的性质、二面角的平面角及其求法、空间点、线、面间距离计算，考查学生空间想象能力、推理论证能力．19、（1）（2）【解析】

（1）由一元二次不等式的解法分别求出集合，再求交集即可；（2）由待定系数法求得，再代入不等式，解不等式即可得解.【详解】解：（1）因为集合，集合，即；（2）由不等式的解集为，则不等式等价于，即，即，即不等式等价于，即，解得或，故不等式的解集为.【点睛】本题考查了集合的运算，重点考查了一元二次不等式的解法，属基础题.20、（1）；（2）.【解析】

（1）利用幂函数过点即可求出函数的解析式；（2）利用二次函数对称轴与区间的位置，即可求出实数的取值范围.【详解】（1）因为的图像过点，所以，则，所以函数的解析式为：；（2）由（1）得，所以函数的对称轴为，若函数在是单调函数，则或，即或，所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查了幂函数解析式的求解，二次函数单调区间与对称轴的位置关系，属于一般题.21、(1)；(2)最大值为1．【解析】

（1）通过分析题意，可设圆心坐标为