导数复习教案1（共7份） 人教课标版

函数的零点

【题型一】函数的零点个数

【解题技巧】用导数来判断函数的零点个数，常通过研究函数的单调性、极值后，描绘出函

数的图象，再借助图象加以判断。

【例】已知函数—3<2¥—1,4。0

⑴求/(X)的单调区间；

(0)若/(x)在％=-1处取得极值，直线与y=/(x)的图象有三个不同的交点，求的取值

范围。

变式：已知定义在上的奇函数/(X),满足/(X—4)=—/(%),且在区间门上是增函数，

若方程于(x)=0：在区间［-8,8］上有四个不同的根石,々，毛，及，则

+12+%3+%4=-

【答案】

【解析】因为定义在上的奇函数，满足/(X—4)=—/(x),所以/(x—4)=/(—%),所以,

山/(x)为奇函数，所以函数图象关于直线x=2对称且/(0)=0,山/(x—4)=—/(x)知

/(%-8)=/(%),所以函数是以为周期的周期函数，又因为/(x)在区间口上是增函数，

所以了(%)在区间口上也是增函数.如图所示，那么方程()(>)在区间［-8,8］上有四个不

同的根%”％2,工3,工，不妨设不<%2<&<：，由对称性知%+%2=—12，

电+%4=4所以％］+z+Xj+z=—12+4=—8

【题型二】复合函数的零点个数

复合函数是由内层函数与外层函数复合而成的，在处理其零点个数问题时，应分清内层

和外层函数与零点的关系。

【解题技巧】函数〃(x)=/(/(x))-C的零点个数的判断方法可借助换元法解方程的思想

分两步进行。即令/(x)=4,则/z(x)=/(d)—c

第一步：先判断/(d)=c的零点个数情况

第二步：再判断/(x)=d的零点个数情况

【例】已知函数/(x)=V-3x设〃(x)=/(/(x))-c,其中cw[-2,2],求函数y=〃(x)的

零点个数

.(江苏省连云港市届高三上学期摸底考试(数学)已知函数/(x)=d—3依2—9/x(a。0).

若方程f(x)=121nx-6ar-9/—q在口恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围(注

七):

【题型三】如何运用导数求证函数“存在、有且只有一个“零点

【解题技巧】()要求证一个函数存在零点，只须要用“函数零点的存在性定理”即可证明。

即：

如果函数/(x)在区间[。，同上是一条连续不断曲线，并且/(。)"(。)<0,则函数

/(X)在区间(a，b)上至少有一个零点。即存在一点/w(ah)，使得/(毛)=0,

这个/也就是方程/(x)=0的根..

()要求证一个函数“有且只有一个"零点，先要证明函数为单调函数，即存在零点；再用

“函数零点的存在性定理”求证函数零点的唯一性。其依据为：

如果函数/(x)在区间[a，々上是单调函数，并且/(a>/S)<0,则函数/(x)在区间

(a,匕)上至多有一个零点。

a9，

【例】设函数f(x)=x3--x2+6x-a.

()对于任意实数x,7'(x)N加恒成立，求机的最大值；

()若方程/(x)=0有且仅有一个实根，求a的取值范围.

变式:设函数/(%)=ln%,g{x}=—,网幻=/00+以幻.若方程八幻二如

x

在区间［1,e?］上有唯一实数解，求实数利的取值范围；

解析：方程/(%)=出％在区间［1,e?］上有唯一实数解等价于

Inx,2i

方程加=——在区间r［1,e［上有唯一实数解。

X

，/、Inx,2、〃/、1-lnx,,、八

记//(%)=----xe［rl,e'］,则〃(%)=--------,令&(zx)=0,得：x=e,

xx

当了e［l,e］时，”(％)>0,"(%)递增；

,1

当％w［e,e］时,h\x)<01/z(x)递减。所以用(％*仇="(e)=—。

e

、2

易求得：力(1)=0,h{e)=—o

e

Inx2i

为使方程加=——在区间r［i1,上有唯一实数解，

x

，/、Inx

则直线y="1与函数y=/z(x)=---的图象有唯一交点，

x

12

根据/?(%)的图象可知：m=-或04/72<—7。

「八2、fl]

故的取值范围是0,—《一上

【例】已知函数/(x)="—蛆在(-1,+00)上没有零点，求机的取值范围;

【题型四】如何运用导数来判断与求证含参函数的零点

【例】(•江苏卷)设函数/(x)=lnx-ax,g{x)-ex-ax,其中a为实数.若g(x)在

(-1,+8)上是单调增函数，试求/(幻的零点个数，并证明你的结论.

基础练习：

.己知/(x)=e*-alnx-a,其中常数a>0.

O当a=e时，求函数/(x)的极值；

.己知函数()=(-)一++,G.当〉时，若曲线=()在点(,)处的切线与曲线=

O有且只有一个公共点，求实数的值.

.己知函数/(无)=x—l+e(aeR,e为自然对数的底数).若直线/:y=fcc—1与曲线

y=/(x)没有公共点，求女的最大值.

.已知函数()J其中〉.若函数()在区间()内恰有两个零点，求的取值范围；

.设”>1,函数/(外=(1+/)/—。.

()求/(x)的单调区间；

()证明：/(x)在(-00,+0。)上仅有一个零点；

参考答案与解析

【例】解析：()f(x)=3x2-3a-3(x2—a),

当a<()时，对xeR,有f(x)>0,

当a<()时，/(x)的单调增区间为(-8,+8)

当。>()时，由/''(X)>0解得x<或x>；

由了‘(X)<0解得—<x<\[a,

当。>0时，/(%)的单调增区间为(—8,—6),(丁£,+8)；/(幻的单调减区间为

(-s1~Clo

()因为/(外在X=-l处取得极大值，

所以尸(_1)=3X(-1)2-3a=0,a=1.

所以/Xx)=x3-3x-l,f(x)=3x2-3,

由f(x)=0解得玉=-1,/=1。

由()中/(幻的单调性可知，/(x)在x=-l处取得极大值/(-1)=1,

在x=1处取得极小值/(I)=-3o

因为直线旷=加与函数丫=/(x)的图象有三个不同的交点，又/(-3)=-19<一3,

/(3)=17>1,

结合/(幻的单调性可知，加的取值范围是(-3,1)。

【例】令/(x)=x3-3x=d,则：

Kx)=f(f(x))-c=f(d)-c

()先讨论关于”的方程/(d)=c即/—33=。根的情况：ce[-2,2]

(3)=3/—3=3(4-1)(J+1)

在区间(f,—1)上单调递增，在区间(—1,1)单调递减，在区间(1,+0。)单调递增。

/3)极小值=/⑴=-2/3)极大值=/(-1)=2

描绘出函数的草图，并据草图可得：方程f(d)=c根的情况如下表所示：

的取值范围根的个数根或根的范围

C--2个根"=一2或"=1

—2vcv2个根d］、d］、d2

c=2个根d=-1或d=2

()下面考虑方程/(x)="即x3-3x=d根的情况^/

据上述表格及图形/(x)=d和/3)=(/淑勺情况亦表

\

f(d)=c：/-1

曲范围hl/虚围),=。/。)=4根的个数

根的个W

f2

c=-2个根4、d24=1个根个根

d2=-2个根

-2v4V2个根

个根

—2vcv2—2<d，2v2个根个根

4、4、4

-2v4<2个根

4=—1个根

c=2个根4、4个根

4=2个根

综上所述：

当问=2时，函数y=/i(x)有个零点；

当同v2时，函数y=〃(x)有个零点。

【例】解：()/(x)=3f-9x+6=3(x-l)(x-2),

因为xw(-oo,+oo),/(x)N"z,即3f-9x+(6-m)20恒成立，

33

所以△=81—12(6—加)<0,得加<一一,即6的最大值为一一

44

()因为当工<1时，f'(x)>0;当1c<2时,/(幻〈0；当%>2时，/(%)>0；

所以当X=1时,/*)取极大值/(1)=|-«;

当x=2时,/(x)取极小值/(2)=2-a；

故当/(2)>(或/⑴<0时，方程/0)=0仅有一个实根.解得。<2或

5

a>—.

2

【例】方法一：当〃=0,可得〃'(x)=(e*—/nr)'=e'—m,因为x>-l,所以e"〉］，

e

①当加V1时，〃'直)="—加>0,函数/z(x)在(-1,+8)上单调递增，而〃(0)=1,

e

所以只需〃(—1)=1+加20,解得加从而—

eeee

②当相>一时，由〃(x)="-相=0,Wf#x=lnmG(-l,+oo),

当xe(-l,ln/n)时,/z\x)<0,/z(x)单调递减；当％e(ln九+oo)时,hr(x)>0,%(x)单

调递增.

所以函数/z（光）在（一1,+8）上有最小值为〃（ln〃z）=加一〃21n根,

令加一mln6>（）,解得利vs,所以

e

综上所述，me]—,e）.

e

方法二：当〃=0,ex-iwc

①当x=0时，显然不成立；

“Xpxx-exex（x-W

②当X>—1且xwon寸，〃1=一，令丁=一，则了=—彳—=I」，当一1VXV0

xxx~x

时，y<0,函数y=J单调递减，0<x<l时，y<0,函数y=《单调递减，当X>1

XX

X11

时，y>0,函数y=一单调递增，又y|小一一，y|=e,由题意知相£[一一⑼.

xege

【例】/（x）=e"在（一L+°o）上恒成立，则4W,故：a<.

/（X）=L-"上竺（x>0）.

XX

（i）若令ra）>得增区间为（，）；

令/'（X）〈得减区间为（，+8）.

当一时，（）—--°°；当f+8时，（）--OO.

当=0寸，（）=-一>，当且仅当。=时取等号.

故：当。=时，（）有个零点；当时，（）有个零点.

（ii）若=,则（）=-,易得（）有个零点.

（iii）若<,则/''（x）=L—。>（）在（0,+8）上恒成立，

X

即：/（无）=1!1元一。工在（0,+8）上是单调增函数，

当一时，（）一-8；当f+8时，（）一+8.

此时，O有个零点.

综上所述：当。=或<时，（）有个零点；当VqV时，（）有个零点.

练习、【答案】（）/（X）有极小值，没有极大值

【解析】函数/(X)的定义域为(0,+00),

()当a=e时，f(x)-ex—elnx—e,f'(x)=e',

x

而/'(x)=e*-£在(0,+8)上单调递增，又/XI)=0,

x

当0＜x＜l时，r(x)＜/'(l)=0,则/(x)在(0,1)上单调递减；

当x＞l时，f'(x)＞/(1＞I,则/(x)在(1,+oo)上单调递增，所以/(x)有极小值

/(1)=G没有极大值.

、【解析】由'()=一一+,得'()=一，

所以曲线=()在点(,)处的切线的方程为=—+.

由题意得，关于的方程()=一+有且只有一个解，

即关于的方程(一)一++=有且只有一个解.

令()=(-)-++(＞).

则'()=(-)—+==(＞).

①当VV时，由，()＞得＜＜或＞，由，()＜得＜v,

所以函数()在(，)为增函数，在(，)上为减函数，在(,+8)上为增函数.

又()=,且当f8时，()f8,此时曲线=()与轴有两个交点.

故＜＜不合题意.

②当二时，，()》，()在(,+8)上为增函数，且()=,故=符合题意.

③当〉时，由，()＞得＜＜或＞，由，()＜得＜＜,

所以函数()在(，)为增函数，在(，)上为减函数，在(，+°°)上为增函数.

又()=,且当一时，()-8,此时曲线=()与轴有两个交点.

故》不合题意.

综上，实数的值为=.

、【答案】解：当。=1时,/(x)=x—l+5

令g(x)=/(x)-(依-l)=(l-%)x+5，

则直线/：y=点―1与曲线y=/(X)没有公共点，

等价于方程g(x)=0在R上没有实数解.

1=-1+^—<0,

假设/>1,此时g(O)=l>O,g

1^1

ek~'

又函数g(x)的图象连续不断，由零点存在定理，可知g(x)=O在R上至少有一解，与“方程

g(x)=0在R上没有实数解”矛盾，故k<\.

又％=1时,g(x)=">0，知方程g(x)=0在R上没有实数解.

所以攵的最大值为L

解法二：

(I)(n)同解法一.

(III)当”=1时,/(x)=x-l+C.

直线/：y=fcc-1与曲线y=/(x)没有公共点，

等价于关于x的方程依-1=x-1+-5-在R上没有实数解，即关于x的方程:

e

(Z:-l)x=^-(*)

e

在R上没有实数解.

①当左=1时，方程(*)可化为工=0,在R上没有实数解.