数学选择性必修第一册3数学选择性必修第一册4数学选择性必修第一册3

第1课时直线与直线、直线与平面的夹角

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［教材要点］

要点一空间两直线的夹角

若向量“，》分别为直线。，b的方向向量，则直线。与b所成的角。G,且。

与两个方向向量所成的角〈”，b)或,也就是说：当0W〈4,b)W泄，

0=,

当(a,b)W兀时，0=71—〈a,b),故cos6=.

要点二直线与平面的夹角

设向量/为直线/的一个方向向量，”是平面a的一个法向量，则直线/与平面a所成

的角<e|o,］，且0=；—〈/,加(图1),或6=〈/,〃〉一］(图2),故sin0=|cos(I,n)

［基础自测］

1.思考辨析(正确的画“J”，错误的画“义”)

(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.()

(2)直线与平面的夹角都是锐角.()

(3)直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角.()

(4)当直线与平面的夹角为0。时，说明直线与平面平行.()

2.若直线/的方向向量与平面a的法向量的夹角等于120。，则直线/与平面a所成的

角等于()

A.120°B.60°

C.30°D.以上均错

3.设直线/1的方向向量为S1=(1,1,1),直线，2的方向向量为S2=(-2,2,-2),则

11,/2夹角的余弦值为()

C.—D.—

32

4.已知直线/的方向向量为s=(l,0,0),平面兀的法向量为"=(2,1,1),则直线

与平面夹角的正弦值为

勿勿加勿川勿川卅卅勿"勿州"川川勿勿"勿勿勿州卅时国国陶庭I•I课I堂I解I海“勿勿卅加加川勿勿勿勿勿川勿勿川勿勿勿"勿用”卅加,

题型一直线间的夹角

例1如图所示，在三棱柱。IROiAIi中，平面0250i_L平面。48,/OiO2=60。,

ZAOB^90°,且。2=。。1=2,0A=®求异面直线4出与。小夹角的余弦值.

方法归的

求异面直线的夹角，用向量法比较简单，若用基向量求解，则必须选好空间的一组基向

量，若用坐标系求解，一定要将每个点的坐标写正确.

跟踪训练1如图，在棱长为。的正方体中，求异面直线84和AC的

夹角.

题型二直线与平面间的夹角

例2正三棱柱A8C-A41G的底面边长为°,侧棱长为Via,求AG与侧面4234的

夹角.

方法核他

求直线与平面所成角的步骤

1.分析图形关系，建立空间直角坐标系；

2.求出直线的方向向量a和平面的法向量〃；

3.求出夹角〈a,"〉；

4.判断直线和平面所成的角。和〈a,n)的关系，求出角9.

跟踪训练2在正方体ABCDAIiCQi中，求A/与平面AiBiCD所成的角.

题型三线面角的综合问题

例3如图，在四棱锥尸-ABC。中，AP_L平面尸CD,AD//BC,ABLBC,AP^AB^BC

=|A。，E为的中点，AC与BE相交于点。.

(1)证明：PO_L平面ABC。；

(2)求直线BC与平面PBD所成角的正弦值.

方法归的

根据图形与已知条件，建立适当的空间直角坐标系，本题建系是解决线面角的关键所在.

跟踪训练3如图，已知三棱柱ABC-AliG，平面AiACCi，平面ABC,ZABC=90°,

NBAC=30。，AiA=4C=AC,E,尸分别是AC,4S的中点.

(1)证明：EF±BC；

(2)求直线EF与平面A\BC所成角的余弦值.

［课堂十分钟］

1.若平面a的一个法向量为〃=(4,1,1),直线/的一个方向向量为a=(—2,—3,

3),则直线/与平面a夹角的余弦值为()

A.B

11-f

Viio・甯

C.D

11

2.已知在棱长为2的正方体ABCD-AiBigDi中，E是。C的中点，建立如图所示的空

间直角坐标系,则直线ABi与E9夹角的余弦值为()

D.-唱

如图，在正方体ABCD-AiBiCOi中，E,P分别是上底棱CD、BC的中点，4囱与平

面BDiEE所成的角的大小是()

A.30°B.45°

C.60°D.90°

4.已知直线乙的一个方向向量为a=(l,—1,2),直线办的一个方向向量为。=(3,

-2,0),则两条直线夹角的余弦值为.

5.已知三棱锥中，H_L平面ABC,AB±AC,PA=AC=1AB,N为AB上一点、,

AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.

(1)求异面直线CM与SN的夹角；

(2)求SN与平面CMN的夹角.

第1课时直线与直线、直线与平面的夹角

新知初探•课前预习

要点一

［o,外相等互补b〉|cos〈a,b)\

［基础自测］

1.(1)X(2)X(3)X(4)X

2.解析：设直线/与平面。所成的角为仇则sin9=|cos120。|=5又.'•0W0W90。，

=30°.

答案：C

(一2)X1+2X1+(—2)Xl__1

3.解析：:COS〈Sl,S2〉

V3X2V33

*,•119，2夹角的余弦值为:

故选B.

答案：B

4.解析：Yeos〈s,n}=彳7=7^=粤＞。，故〈s，〃〉

\s\\n\1XV632

.,•直线/与平面兀的夹角子一口,加，

.•.sin8=sing—〈s,n))=cos(s,n)

宏案.渔

I=I■3

题型探究•课堂解透

例1解析：以。为坐标原点，OA,所在直线分别为x轴，y轴,建立空间直角坐

标系。-孙z,则0(0,0,0),01(0,1,V3),A(V3,0,0)

,Ai(V3,1,V3),B(0,2,0),

/.A1B=(—V3,1,—V3),

O±A—(y/3,—1,—V3).

.-.Icos〈砧，取〉|=®B

11阳即。1川

.•.异面直线48与QA夹角的余弦值为去

答案:

跟踪训练1解析：以。为原点，DA,DC,。。所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如

图所示的空间直角坐标系，则4(。,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),4(a,0,a).

，BAi=(0,—a,a),AC=(—a,a,0),

cos西，AC)

I西Wi

V2a2-V2a2

〈风，AC)=拳.•.异面直线BAi和AC的夹角为去

例2解析：建立如图所示的空间直角坐标系，()

则4(0,0,0),B(0,a,0),41(0,0,伍0,

G(-ya,pV2a),囱(0,a,V2a),

则AB=(O,a,0),AAi=(0,0,V2«),

设侧面A8814的法向量为〃=(九x,y),则〃•屈=0,且〃."；=(),

.\ax=Q,且&缈=0,.9.x=y=09故〃=(九0,0).

又AC1=(-号a,,V2a),

・/Tk\—ACt-n—乎al—A

..cos\AC-i,n)---------1-———TT.

1IAC1IMI^3a-|A|2|A|

设AG与侧面ABBA的夹角为仇则sin6=|cos〈而］加|=5

...6=30°,即ACi与侧面ABSA1的夹角为30°.

跟踪训练2解析：如图，建立空间直角坐标系》肛z,设正方体的棱长为1,

则。(0,0,0,),4(1,0,1),B(l,1,0),51(1,1,1).所以42=(0,1,-

1)由,

=(一1,0,-1),AiBi=(0,1,0).设平面ALBICO的一个法向量为"=(无，y,z),

n1A1D9,(n-ArD=0,(x+z=0f

---->知J------>即彳

.n1A]Biln・AiBi=0Iy=0,

x=—z,

所以

y=0,

故可取〃=(1,0,-1).

故cos〈A®n)=Ji

Ji2+(-D2-JI2+(-D2

所以〈硒，n}=60°,

所以A3与平面AiBCZ)所成的角为30°.

例3解析：(1)证明：TAP，平面尸CD,COu平面尸CD,：.AP1.CD9

,JAD//BC,BC=：AD,E为4。的中点，则BC//DE且BC=DE.

四边形BCDE为平行四边形，C.BE//CD,：.AP±BE.

}L\-AB±BC,AB=BC^AD,且E为的中点，四边形A8CE为正方形，.,.BE_LAC,

又APCAC=A,.，.成，平面P4C.

：尸。＜=平面APC,J.BE1PO.

平面尸C£»,PCu平面PC。，：.AP±PC,

XAC=V2AB=V2AP,.♦.△E4C为等腰直角三角形，

'：0为斜边AC上的中点，...尸。_14。且4。口8石=。，

；.PO_L平面A3C。

p

(2)以O为坐标原点，建立空间直角坐标系。-孙z,如图所示.

不妨设OB=1,则2(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,1),D(-2,1,0),

则前=(—1,1,0),PB=(1,0,-1),丽=(—2,1,-1).

设平面尸8。的法向量为"=(尤，y,z),

n-PB=0x-z=0

则—,即HM)9

.n-PD=0k—2x+y—z—0,

即X=Z，

ly=3z,

令z=l,得”=(1,3,1).

设2C与平面P3D所成角为e,

跟踪训练3解析：(1)证明：方法一：如图，连接4E,因为E是AC的中

点，所以4EUC

又平面4ACG_L平面ABC,

AiEc平面AiACG,

平面4ACGn平面ABC^AC,

所以，4E_L平面ABC,则AiE_LBC.

又因为Ai歹〃48,ZABC=90°,ikBCLAiF,

又AiEAAiP=Ai,

所以BC_L平面4EF.

因此EFLBC.

方法二：连接因为4A=4C,E是AC的中点，

所以AiE_LAC.

又平面4ACCi_L平面ABC,4Eu平面4ACG,平面4ACGC平面ABC=AC,所以

4E_L平面4BC.

如图，以点E为原点，分别以射线EC,EAM，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系

E-xyz.

不妨设AC=4,则4(0,0,2V3),

B(V3,1,0),Bi(V3,3,2V3),

F(^,|,2V3),C(0,2,0).

因此，EF=(y,|,2V3),

BC=(-V3,1,0),

由品.前=0,得£F_LBC.

⑵设直线EF与平面ABC所成角为G.

由⑴可得元=(一遍，1,0),

中=(0,2,-2V3).

设平面A/C的法向量为〃=(x,y,z),

由(瓦,？i=0得(一百K+y=0,

-n—0Iy—V3z=0

取〃=(1,V3,1),

故sind=|cos<EF,加

|EFHM|5

因此，直线EF与平面ABC所成角的余弦值为|.

［课堂十分钟］

an——8—3+3——4

1.角星析：*.*cos〈a,n〉

\a\\n\V18xV223A/T1，

直线/与平面a夹角的正弦值为高，余弦值为J1—(嘉)’=萼.故选D.

答案：D

2.解析：：A(2,2,0),6(2,0,2),£(0,1,0),Di(0,2,2),

.•.福=(0,-2,2),即=(0,1,2),

|AB^|=2V2,|ED7l=V5,砥•两=0—2+4=2,

_砥.向=2_同

/.cos〈AB】，ED。

IABIIJEDII2>/2xV510

直线A氏与Mi夹角的余弦值为噜.故选A.

答案：A

3.解析：建立以Di为坐标原点，以。Mi,AG,。。所在直线分别为x,y,z轴的

空间直角坐标系Di-xyz,设正方体棱长为1,贝I：A(l,0,1),Bi(l,1,0),Z)i(0,0,0),

E(0,j,1),设平面。出iE的法向量为"=(x,y,z)

则P晒=°：P+Z=°